Как найти площадь в полярных координатах: разбор

Дано: кривая $r = 3\sin 2\varphi$, заданная в полярных координатах. Найти: площадь одного лепестка и площадь всей фигуры.

Площадь здесь считается не формулой криволинейной трапеции, а формулой сектора: $S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\varphi$. Пределов в условии нет, и это главная особенность задачи: их даёт само уравнение кривой, потому что лепесток начинается и заканчивается там, где радиус обращается в ноль. Ответ: один лепесток $S_1 = \frac{9\pi}{8} \approx 3{,}534$, вся роза из четырёх лепестков $S = \frac{9\pi}{2} \approx 14{,}137$. Калькулятор сверху строит кривую, закрашивает выбранный сектор и считает тот же интеграл численно, а разбор ниже показывает все выкладки.

Решение по шагам

Дано: $r = 3\sin 2\varphi$. Найти: $S_1$ - площадь одного лепестка, $S$ - площадь всей розы.

Шаг 1. Находим пределы по углу. Лепесток выходит из полюса и возвращается в полюс, поэтому его границы - соседние нули радиуса:

$$3\sin 2\varphi = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2\varphi = \pi n \quad \Longrightarrow \quad \varphi = \frac{\pi n}{2}.$$

Первая пара соседних нулей - это $\varphi = 0$ и $\varphi = \frac{\pi}{2}$. Между ними $\sin 2\varphi > 0$, радиус положителен и достигает максимума $r = 3$ при $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Значит, на отрезке $\left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]$ радиус-вектор рисует ровно один лепесток: выходит из полюса, разворачивается до трёх единиц и возвращается обратно.

Шаг 2. Подставляем кривую в формулу площади. Квадрат радиуса берётся целиком, вместе с числовым множителем:

$$S_1 = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\left(3\sin 2\varphi\right)^2 d\varphi = \frac{9}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^2 2\varphi\,d\varphi.$$

Шаг 3. Понижаем степень. Синус в квадрате не интегрируется напрямую, его раскрывают формулой половинного угла $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$, где роль $t$ играет $2\varphi$:

$$S_1 = \frac{9}{4}\int_{0}^{\pi/2}\left(1 - \cos 4\varphi\right) d\varphi = \frac{9}{4}\left[\varphi - \frac{\sin 4\varphi}{4}\right]_{0}^{\pi/2}.$$

Шаг 4. Подставляем пределы. На верхнем пределе $\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2\pi = 0$, на нижнем оба слагаемых нулевые, поэтому от скобки остаётся только $\frac{\pi}{2}$:

$$S_1 = \frac{9}{4}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{8} \approx 3{,}534.$$

Шаг 5. Переходим ко всей фигуре. У розы $r = a\sin k\varphi$ при чётном $k$ лепестков ровно $2k$, при нечётном - $k$ штук. Здесь $k = 2$, значит лепестков четыре, и все они одинаковы по площади, потому что отличаются только поворотом:

$$S = 4S_1 = 4\cdot\frac{9\pi}{8} = \frac{9\pi}{2} \approx 14{,}137.$$

Ответ: площадь одного лепестка $S_1 = \frac{9\pi}{8} \approx 3{,}53$ квадратных единицы, площадь всей розы $S = \frac{9\pi}{2} \approx 14{,}14$ квадратных единицы.

Быстрая прикидка подтверждает результат: вся роза вписана в круг радиуса $3$ площадью $9\pi \approx 28{,}3$, и занимает ровно его половину, а один лепесток - восьмую часть. Такая доля выглядит правдоподобно: лепестки узкие и между ними остаются пустые промежутки.

Формула площади: откуда берётся половина квадрата радиуса

Формула $S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\varphi$ собирается из площадей круговых секторов, а не из площадей прямоугольных полосок. Разобьём угол от $\alpha$ до $\beta$ на мелкие кусочки шириной $d\varphi$. На таком кусочке радиус почти не меняется, и фигура между двумя соседними лучами практически совпадает с сектором круга радиуса $r(\varphi)$.

Площадь кругового сектора с углом $d\varphi$ равна доле $\frac{d\varphi}{2\pi}$ от площади всего круга $\pi r^2$, то есть $\frac{1}{2}r^2\,d\varphi$. Отсюда и берётся та самая половина, которую чаще всего теряют. Сложив элементарные секторы и перейдя к пределу, получаем интеграл по углу.

Из этого вывода видно, что переменная интегрирования здесь всегда угол, а подынтегральная функция - квадрат радиуса, записанный как функция угла. Никакие $x$ и $y$ в формулу не входят, и переводить кривую в декартовы координаты не нужно: именно ради этого задачу и ставят в полярной системе. Тот же результат получается из двойного интеграла с множителем $r$, о котором подробно написано в разборе якобиана полярных координат: внутреннее интегрирование по $r$ от нуля до $r(\varphi)$ как раз и даёт $\frac{r^2}{2}$.

Как расставить пределы по углу

Пределы в таких задачах почти никогда не даны прямо, их нужно добыть из уравнения. Работает одно правило: сначала пойми, за какой поворот радиус-вектор обходит нужную фигуру ровно один раз.

Если кривая проходит через полюс, границы дают нули радиуса - так было в нашей розе. Если кривая замкнута и полюс не задевает, диапазон определяется периодом: кардиоида и обычная окружность $r = a$ замыкаются за полный оборот. А если фигуру ограничивают две кривые, пределы дают углы их пересечения, то есть корни уравнения $r_1(\varphi) = r_2(\varphi)$.

Отдельная ловушка - кривые, которые обходятся быстрее, чем за полный оборот. Окружность $r = a\cos\varphi$ рисуется целиком уже за половину поворота, и интеграл по всему кругу от нуля до $2\pi$ даст ровно вдвое больше правды. То же самое с розой при нечётном $k$: три лепестка розы $r = a\sin 3\varphi$ обходятся за диапазон от $0$ до $\pi$.

Проверить любую строку таблицы можно калькулятором сверху: выбери кривую, поставь границы по углу и сравни число с формулой. Для кардиоиды подробный вывод с разбором точки возврата лежит в статье про площадь кардиоиды.

Проверка на окружности и площадь между двумя кривыми

Любую новую формулу полезно проверить на фигуре, площадь которой известна школьнику. Возьмём окружность $r = 4\cos\varphi$: это круг диаметра $4$, прижатый к полюсу, то есть круг радиуса $2$ с площадью $\pi \cdot 2^2 = 4\pi$. Считаем интегралом, обходя кривую за половину оборота:

$$S = \frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16\cos^2\varphi\,d\varphi = 4\left[\varphi + \frac{\sin 2\varphi}{2}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 4\pi.$$

Совпало, значит формула и техника понижения степени применены верно.

Когда фигура ограничена двумя кривыми, из квадрата внешнего радиуса вычитают квадрат внутреннего:

$$S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left(r_{\text{внеш}}^2 - r_{\text{внутр}}^2\right) d\varphi.$$

Например, площадь фигуры внутри окружности $r = 2$ и вне кардиоиды $r = 1 + \cos\varphi$ равна $\frac{1}{2}\left(8\pi - 3\pi\right) = \frac{5\pi}{2} \approx 7{,}854$. Тот же приём в декартовых координатах выглядит как разность верхней и нижней функций: его разбор есть в задаче про площадь фигуры через интеграл.

Частые ошибки

• Потеряли половину. Множитель $\frac{1}{2}$ в формуле не косметический: без него ответ ровно вдвое больше. Проверяется мгновенно на круге $r = a$, где интеграл обязан дать $\pi a^2$.
• Неверно возвели в квадрат. В выражении $(3\sin 2\varphi)^2$ квадрат берётся и от коэффициента, и от синуса: получается $9\sin^2 2\varphi$, а не $3\sin^2 2\varphi$ и тем более не $9\sin 4\varphi$.
• Интегрируют $r\,d\varphi$ вместо $\frac{1}{2}r^2\,d\varphi$. Это формула не площади, а чего-то промежуточного между площадью и длиной дуги, где подынтегральное выражение содержит $\sqrt{r^2 + (r')^2}$.
• Взяли пределы от $0$ до $2\pi$ по привычке. Для розы с нечётным $k$ и для окружности $r = a\cos\varphi$ полный оборот обводит фигуру дважды, и площадь удваивается.
• Забыли про число лепестков. Посчитали один лепесток и записали его как ответ, хотя в условии спрашивали площадь всей фигуры. Проверяй, сколько лепестков даёт коэффициент $k$.
• Не понизили степень. Попытка взять $\int\sin^2 2\varphi\,d\varphi$ в лоб приводит к неверной первообразной, обязательно нужна формула половинного угла.

FAQ

Чем эта формула отличается от площади криволинейной трапеции? Там фигура набирается из вертикальных полосок шириной $dx$ и высотой $y$, здесь - из круговых секторов с углом $d\varphi$ и радиусом $r$. Поэтому в декартовом случае под интегралом стоит сама функция, а в полярном - половина квадрата радиуса.

Что делать, если радиус получается отрицательным? В формулу входит квадрат, поэтому знак на результат не влияет. Но при расстановке пределов следить за знаком нужно: участок с отрицательным $r$ рисует лепесток в противоположной стороне плоскости, и его легко посчитать дважды.

Откуда в двойном интеграле берётся множитель $r$, а в этой формуле его нет? Он никуда не делся: площадь равна $\iint_D r\,dr\,d\varphi$, и внутреннее интегрирование по $r$ от нуля до $r(\varphi)$ даёт как раз $\frac{r^2}{2}$. Техника перехода к повторному интегралу разобрана в задаче про двойной интеграл.

Как быстро понять, сколько лепестков у розы? Смотри на коэффициент при угле: при чётном $k$ лепестков $2k$, при нечётном - $k$. Роза $r = a\sin 2\varphi$ даёт четыре лепестка, $r = a\sin 3\varphi$ - три.

Коротко

1. Площадь в полярных координатах считается по формуле сектора $S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\varphi$, переменная интегрирования - угол.
2. Пределы достаются из уравнения кривой: для фигур, проходящих через полюс, это соседние нули радиуса, для замкнутых кривых - диапазон одного полного обхода.
3. Для розы $r = 3\sin 2\varphi$ нули дают $\varphi = 0$ и $\varphi = \frac{\pi}{2}$, а квадрат синуса раскрывается формулой половинного угла.
4. Один лепесток равен $\frac{9\pi}{8} \approx 3{,}53$, лепестков четыре, вся роза равна $\frac{9\pi}{2} \approx 14{,}14$ - ровно половина описанного круга.
5. Для фигуры между двумя кривыми под интегралом стоит разность квадратов радиусов, а пределы дают углы пересечения кривых.