Как найти площадь фигуры интегралом: разбор задачи

Дано: парабола $y = 4 - x^2$ и прямая $y = x + 2$. Найти: площадь фигуры, которую эти линии ограничивают.

Пределов интегрирования в условии нет, и это главная особенность задачи: их дают точки пересечения графиков. Уравнение $4 - x^2 = x + 2$ приводит к корням $x = -2$ и $x = 1$, а площадь считается интегралом от разности «верхняя линия минус нижняя». Ответ: $S = 4{,}5$. Калькулятор сверху строит обе линии, сам решает уравнение на пересечение и закрашивает фигуру, а разбор ниже показывает все выкладки.

Решение по шагам

Дано: $y = 4 - x^2$, $y = x + 2$. Найти: $S$.

Шаг 1. Находим точки пересечения. Приравниваем правые части и решаем полученное уравнение:

$$4 - x^2 = x + 2 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + x - 2 = 0.$$

Дискриминант равен $D = 1 + 8 = 9$, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Эти два числа и есть нижний и верхний пределы: левее $-2$ и правее $1$ фигуры уже нет, там линии расходятся.

Шаг 2. Определяем, какая линия выше. Достаточно подставить любую внутреннюю точку отрезка, удобнее всего $x = 0$: парабола даёт $y = 4$, прямая даёт $y = 2$. Значит, на всём отрезке $[-2;\, 1]$ парабола идёт над прямой. Проверять несколько точек не нужно: между соседними пересечениями графики местами не меняются, иначе они пересеклись бы ещё раз.

Шаг 3. Составляем интеграл. Подынтегральная функция - разность верхней и нижней линий:

$$S = \int_{-2}^{1} \big[ (4 - x^2) - (x + 2) \big]\,dx = \int_{-2}^{1} \big( 2 - x - x^2 \big)\,dx.$$

Шаг 4. Берём первообразную и подставляем пределы.

$$F(x) = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}.$$ $$F(1) = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}, \qquad F(-2) = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}.$$

Шаг 5. Считаем разность значений первообразной.

$$S = F(1) - F(-2) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7 + 20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.$$

Ответ: $S = 4{,}5$ квадратной единицы.

Грубая прикидка подтверждает порядок величины. Разность $2 - x - x^2$ достигает максимума при $x = -0{,}5$ и равна там $2{,}25$, ширина фигуры равна трём, значит площадь заведомо меньше $3 \cdot 2{,}25 = 6{,}75$ и заметно больше половины этого числа. Результат $4{,}5$ в коридор укладывается. Технику взятия самой первообразной разбирает отдельная страница про вычисление определённого интеграла, а подбор подстановки - статья про замену переменной.

Формула площади: почему верхняя минус нижняя

Общее правило звучит так: если на отрезке $[a;\, b]$ выполняется неравенство $f(x) \ge g(x)$, то площадь фигуры между графиками равна

$$S = \int_a^b \big( f(x) - g(x) \big)\,dx.$$

Откуда она берётся, видно из определения интеграла как предела сумм. Разрежем фигуру вертикальными линиями на узкие полоски ширины $dx$. Каждая полоска почти прямоугольник: её высота - это вертикальный отрезок между графиками, то есть $f(x) - g(x)$, а площадь - произведение $\big( f(x) - g(x) \big)\,dx$. Сумма площадей всех полосок при измельчении разбиения превращается в интеграл.

Отсюда следует важная вещь: формула не требует, чтобы фигура лежала выше оси. Вертикальное расстояние между двумя графиками не зависит от того, где проходит ось $Ox$. Подними обе линии на одну и ту же константу $C$ - фигура сдвинется вверх целиком, разность $f - g$ не изменится, а значит, не изменится и площадь.

Криволинейная трапеция - частный случай той же формулы при $g(x) = 0$: фигура ограничена сверху графиком, снизу осью, слева и справа вертикальными прямыми, и её площадь равна $\int_a^b f(x)\,dx$. Именно поэтому определённый интеграл называют площадью под кривой, хотя эта формулировка верна только при $f(x) \ge 0$.

Если фигура лежит ниже оси Ox

Определённый интеграл - это площадь со знаком. Там, где график опускается ниже оси, значения функции отрицательны, и вклад участка в интеграл получается со знаком минус. Площадь же неотрицательна по определению, поэтому её считают по модулю подынтегральной функции:

$$S = \int_a^b \lvert f(x) \rvert \,dx.$$

Возьмём ту же параболу $y = 4 - x^2$, но на отрезке $[-3;\, 3]$. Её нули $x = \pm 2$ режут отрезок на три участка, и знаки на них разные:

Интеграл по всему отрезку равен шести, а площадь фигуры - примерно $15{,}333$: разница больше чем в два раза. Переключи калькулятор сверху в режим «Криволинейная трапеция» - он покажет ровно эти числа и закрасит отрицательные участки другим цветом.

Практический алгоритм такой. Сначала решаем уравнение $f(x) = 0$ и отбираем корни, попавшие строго внутрь отрезка. Затем считаем интеграл на каждом участке отдельно. В конце складываем модули полученных чисел, а не сами числа.

Несколько пересечений: разбиение на участки

С двумя кривыми ловушка та же, только роль оси играет вторая линия. Пусть надо найти площадь фигуры, ограниченной кубической параболой $y = x^3$ и прямой $y = x$. Уравнение $x^3 = x$ даёт три корня: $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Значит, фигура состоит из двух лепестков, и внутри них линии меняются местами.

На отрезке $[-1;\, 0]$ выше проходит кубическая парабола: при $x = -0{,}5$ она даёт $-0{,}125$ против $-0{,}5$ у прямой. На отрезке $[0;\, 1]$ выше уже прямая. Поэтому интегралов два, и в каждом своя разность:

$$S = \int_{-1}^{0} \big( x^3 - x \big)\,dx + \int_{0}^{1} \big( x - x^3 \big)\,dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.$$

А теперь ошибка, которую допускают чаще всего. Если средний корень не заметить и записать один интеграл $\int_{-1}^{1} (x - x^3)\,dx$, получится ровно ноль. Лепестки симметричны относительно начала координат, их вклады входят с разными знаками и взаимно уничтожаются, так что формально верная арифметика даёт бессмысленный ответ. Поэтому корни уравнения $f = g$ ищут все до единого, а не только крайние.

Когда проще интегрировать по y

Иногда фигуру выгоднее резать не вертикальными полосками, а горизонтальными. Тогда оси меняются ролями: границы записывают в виде $x = \varphi(y)$, пределы берут по $y$, а формула превращается в разность правой и левой границ:

$$S = \int_{c}^{d} \big( x_{\text{пр}}(y) - x_{\text{лев}}(y) \big)\,dy.$$

Классический пример - фигура, ограниченная параболой $x = y^2$ и прямой $x = y + 6$. Подстановка $y^2 = y + 6$ даёт $y = -2$ и $y = 3$, справа на всём этом промежутке идёт прямая, и площадь считается одним интегралом:

$$S = \int_{-2}^{3} \big( y + 6 - y^2 \big)\,dy = \left[ \frac{y^2}{2} + 6y - \frac{y^3}{3} \right]_{-2}^{3} = \frac{125}{6} \approx 20{,}833.$$

Если решать ту же задачу по $x$, парабола распадается на две ветви $y = \pm\sqrt{x}$, фигуру приходится делить на две части с разными верхними границами и считать два интеграла вместо одного. Признак прост: когда из уравнения кривой удобнее выразить $x$ через $y$, чем наоборот, интегрируй по $y$. Для кривых в полярных координатах работает третья формула, она разобрана в статье про площадь кардиоиды.

Частые ошибки

• Взяли пределы из головы. В задаче про фигуру, ограниченную линиями, пределы не даны в условии: их обязательно доставляет уравнение $f(x) = g(x)$. Явный отрезок появляется только там, где он прямо прописан или задан вертикальными прямыми.
• Перепутали верхнюю и нижнюю линии. Если вычесть наоборот, ответ выйдет отрицательным. Проверка занимает секунду: подставь любую внутреннюю точку отрезка в обе функции и сравни значения.
• Нашли не все точки пересечения. Пропущенный средний корень склеивает два участка с разными знаками, и вклады гасят друг друга: вместо $1/2$ в примере с $y = x^3$ получается ноль.
• Забыли про участки ниже оси. В задачах «фигура ограничена кривой и осью $Ox$» интеграл берут по модулю функции, иначе вместо $15{,}333$ выходит $6$.
• Потеряли знак при подстановке отрицательного предела. В разборе $F(-2) = -10/3$, и вычитание отрицательного числа даёт плюс: $7/6 + 10/3$, а не $7/6 - 10/3$.
• Оставили в ответе минус. Площадь неотрицательна. Минус означает не «такую фигуру», а перепутанный порядок вычитания или переставленные местами пределы.

FAQ

Обязательно ли строить чертёж? Формально нет, но на практике он экономит время: по рисунку сразу видно, какая линия выше, сколько получилось участков и не уходит ли фигура под ось. Без чертежа те же три вещи приходится выяснять подстановками и решением неравенств.

Может ли площадь получиться отрицательной? Нет. Отрицательным бывает определённый интеграл, но не площадь. Минус в ответе всегда сигнал об ошибке: либо пределы переставлены местами, либо из нижней функции вычли верхнюю.

Что делать, если графики пересекаются в трёх и более точках? Разбить отрезок всеми корнями, посчитать интеграл на каждом куске отдельно и сложить модули результатов. Складывать интегралы со знаками нельзя: получится не площадь фигуры, а разность площадей её частей.

Как считать площадь фигуры, ограниченной тремя линиями? Найти все три точки попарного пересечения, отсортировать их по $x$ и записать сумму двух интегралов: на каждом участке своя пара «верхняя и нижняя». Если одна из линий вертикальная, она просто задаёт предел, и участок остаётся один.

Коротко

1. Найди пределы: реши уравнение $f(x) = g(x)$ и возьми все корни, а не только крайние.
2. На каждом участке определи, какая линия выше, подстановкой одной внутренней точки.
3. Составь интеграл от разности «верхняя минус нижняя» и вычисли его по формуле Ньютона-Лейбница.
4. Если фигура упирается в ось $Ox$ и уходит под неё, разбей отрезок нулями функции и сложи модули интегралов.
5. Для примера с $y = 4 - x^2$ и $y = x + 2$: пределы $-2$ и $1$, интеграл от $2 - x - x^2$, ответ $S = 4{,}5$.