Среднее значение функции на отрезке: формула и пример

Дано: функция $f(x) = x^2$ и отрезок $[1;\ 4]$. Найти: среднее значение функции на этом отрезке и точку $c$, в которой $f(c)$ равно найденному среднему.

Считаем определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и делим его на длину отрезка. Ответ: $f_{\text{ср}} = 7$, точка среднего значения $c = \sqrt{7} \approx 2{,}646$. Калькулятор сверху пересчитает оба числа для четырёх функций и любых границ, а ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = x^2$, $a = 1$, $b = 4$. Функция непрерывна на всём отрезке, значит формулой пользоваться можно.

Найти. Среднее значение $f_{\text{ср}}$ на $[1;\ 4]$ и точку $c \in [1;\ 4]$, для которой $f(c) = f_{\text{ср}}$.

Шаг 1. Записываем формулу. Среднее значение непрерывной функции на отрезке - это её определённый интеграл, поделённый на длину отрезка:

$$f_{\text{ср}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Шаг 2. Берём первообразную. Для степенной функции она находится по табличной формуле $\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$, поэтому

$$F(x) = \frac{x^3}{3}.$$

Шаг 3. Вычисляем интеграл. Подставляем пределы по формуле Ньютона-Лейбница:

$$\int_1^4 x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_1^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21.$$

Техника подстановки пределов и замены переменной разобрана отдельно в задаче как вычислить определённый интеграл - здесь она нужна только как один из шагов.

Шаг 4. Делим на длину отрезка. Длина равна $b - a = 4 - 1 = 3$, поэтому

$$f_{\text{ср}} = \frac{1}{3}\int_1^4 x^2\,dx = \frac{21}{3} = 7.$$

Шаг 5. Ищем точку $c$. По теореме о среднем внутри отрезка обязана найтись точка, где функция принимает своё среднее значение. Решаем уравнение $f(c) = 7$:

$$c^2 = 7 \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{7} \approx 2{,}646.$$

Второй корень $c = -\sqrt{7}$ отбрасываем: он не лежит на отрезке $[1;\ 4]$. Проверяем оставшийся: $1 < 2{,}646 < 4$ - условие выполнено.

Ответ. $f_{\text{ср}} = 7$; точка среднего значения $c = \sqrt{7} \approx 2{,}646$.

Быстрая прикидка на разумность: на концах отрезка функция принимает значения $f(1) = 1$ и $f(4) = 16$. Среднее обязано лежать между наименьшим и наибольшим значениями функции, и семёрка в этот коридор попадает. Заметь, что среднее по отрезку не равно полусумме крайних значений $(1 + 16)/2 = 8{,}5$: парабола растёт неравномерно, и маленькие значения занимают большую часть отрезка.

Формула и откуда она берётся

Буквы в формуле читаются так: $a$ и $b$ - границы отрезка, $b - a$ - его длина, $\int_a^b f(x)\,dx$ - определённый интеграл, а $f_{\text{ср}}$ - искомое среднее значение. Вся конструкция целиком повторяет обычное среднее арифметическое, только для бесконечного числа значений.

Проще всего это увидеть через предельный переход. Разобьём отрезок на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$ и возьмём среднее арифметическое значений функции в точках разбиения:

$$\frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} = \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x.$$

Справа стоит интегральная сумма, делённая на длину отрезка. При $n \to \infty$ сумма превращается в определённый интеграл, и получается ровно наша формула. Отсюда и главное различие с обычным средним арифметическим: там значения складываются с равными весами, а здесь весом служит длина участка, на котором функция принимает то или иное значение.

Теорема о среднем добавляет к формуле второе утверждение: если $f$ непрерывна на $[a;\ b]$, то найдётся хотя бы одна точка $c$ внутри отрезка, для которой

$$\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b-a), \qquad\text{то есть}\qquad f(c) = f_{\text{ср}}.$$

Доказывается это одной строкой из свойств непрерывной функции. На отрезке она достигает наименьшего значения $m$ и наибольшего $M$, поэтому интеграл зажат между $m(b-a)$ и $M(b-a)$, а значит $m \le f_{\text{ср}} \le M$. По теореме о промежуточном значении непрерывная функция принимает любое число из отрезка $[m;\ M]$, в том числе и $f_{\text{ср}}$. Непрерывность здесь обязательна: у функции со скачком среднее значение может оказаться ровно в разрыве, и точки $c$ не будет.

Геометрический смысл: прямоугольник той же площади

Интеграл от неотрицательной функции - это площадь криволинейной трапеции под графиком. Тогда равенство $\int_a^b f(x)\,dx = f_{\text{ср}}(b-a)$ читается как утверждение о двух фигурах с одинаковой площадью: криволинейная трапеция и прямоугольник с основанием $b - a$ и высотой $f_{\text{ср}}$ равновелики. Среднее значение - это высота, до которой нужно «срезать» горб графика, чтобы площадь не изменилась. Сама площадь криволинейной трапеции, включая случай двух пересекающихся графиков, разобрана в задаче про площадь фигуры через интеграл.

На калькуляторе сверху это видно напрямую: синяя область под кривой и зелёный прямоугольник имеют одну и ту же площадь, а горизонтальная линия среднего уровня пересекает график ровно в точке $c$. То, что срезано выше линии, в точности заполняет провалы ниже неё. Для нашего примера прямоугольник со сторонами $3$ и $7$ даёт площадь $21$ - столько же, сколько и фигура под параболой.

Из этой картинки сразу следует полезная привычка контроля: если у тебя получилось среднее значение выше максимума функции или ниже её минимума на отрезке, прямоугольник заведомо не равновелик трапеции, и где-то ошибка в арифметике. Сама техника подсчёта площадей подробно разобрана в статье про метод средних прямоугольников - в нём среднее значение на маленьком участке как раз заменяют значением в середине.

Вариации: другие функции и физический смысл

Формула не меняется, меняется только первообразная. Три типовых случая из контрольных:

Строка с синусом показывает важную деталь: точек $c$ может быть несколько. Теорема гарантирует существование хотя бы одной, но не единственность, и на симметричном полупериоде синуса их ровно две. В ответ обычно выписывают все точки отрезка, удовлетворяющие уравнению.

Физический смысл формулы - это среднее по времени, а не по пути. Если $v(t)$ - скорость тела, то средняя скорость за промежуток $[t_1;\ t_2]$ равна $\dfrac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$, то есть пройденный путь, делённый на время. Для закона $v(t) = 3t^2 + 1$ на промежутке от $0$ до $2$ секунд путь равен $\int_0^2 (3t^2+1)\,dt = 8 + 2 = 10$ м, а средняя скорость - $10/2 = 5$ м/с. Тот же приём даёт среднюю мощность, среднюю силу тока за период и среднее давление. Отдельный сюжет про усреднение по участкам пути разобран в статье про среднюю скорость на участках пути.

Частые ошибки

• Забывают поделить на длину отрезка. Самая частая потеря балла: посчитан интеграл $21$ и записан как ответ. Интеграл - это площадь, среднее значение - высота, между ними множитель $b - a$.
• Делят на число $b$ вместо разности $b - a$. На отрезке вида $[0;\ b]$ ошибка не проявляется, поэтому её легко не заметить в черновике и повторить на отрезке $[1;\ 4]$.
• Берут полусумму значений на концах. $\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ равно среднему значению только для линейной функции. Для параболы из примера это дало бы $8{,}5$ вместо $7$.
• Считают среднее от модуля вместо среднего функции. Если функция меняет знак, интеграл частично сокращается, и среднее значение может оказаться близким к нулю. Это не ошибка вычислений: среднее знакопеременной функции действительно бывает нулевым, а вот площадь фигуры - нет.
• Ищут точку $c$ вне отрезка. Уравнение $f(c) = f_{\text{ср}}$ часто имеет несколько корней, и в ответ идут только те, что попали в $[a;\ b]$.
• Применяют формулу к разрывной функции. Если на отрезке есть разрыв или функция не определена (как $1/x$ при $x = 0$), теорема о среднем не работает, а интеграл становится несобственным.

FAQ

Чем среднее значение функции отличается от среднего арифметического её значений? Среднее арифметическое считается по конечному набору точек и придаёт им равные веса. Среднее значение функции - предел таких средних при бесконечном измельчении разбиения, и весом там служит длина участка. Поэтому в формуле стоит интеграл, а не сумма.

Всегда ли существует точка $c$, в которой $f(c) = f_{\text{ср}}$? Для непрерывной на отрезке функции - да, это и есть теорема о среднем. Для функции с разрывом точки может не быть: например, у ступеньки, принимающей значения $0$ и $1$, среднее равно $0{,}5$, а такого значения функция нигде не принимает.

Может ли среднее значение функции быть отрицательным или нулевым? Да. Среднее значение $\sin x$ на полном периоде $[0;\ 2\pi]$ равно нулю, потому что интеграл обнуляется. Знак среднего совпадает со знаком интеграла и говорит о том, какая часть графика перевешивает - верхняя или нижняя.

Как найти среднее значение, если первообразная не берётся в элементарных функциях? Интеграл считают численно - методом трапеций, средних прямоугольников или Симпсона, - а затем делят результат на длину отрезка. Формула остаётся той же, меняется только способ получить интеграл.

Коротко

1. Формула: $f_{\text{ср}} = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ - интеграл, делённый на длину отрезка.
2. Порядок действий: первообразная, подстановка пределов по Ньютону-Лейбницу, деление на $b - a$.
3. Геометрия: $f_{\text{ср}}$ - высота прямоугольника с основанием $b-a$, равновеликого криволинейной трапеции под графиком.
4. Теорема о среднем: у непрерывной функции найдётся точка $c \in [a;\ b]$, где $f(c) = f_{\text{ср}}$; точек может быть несколько.
5. Для примера $f(x) = x^2$ на $[1;\ 4]$: интеграл равен $21$, длина отрезка $3$, среднее значение $f_{\text{ср}} = 7$, точка $c = \sqrt{7} \approx 2{,}646$.