Как найти объём тела вращения: разбор задачи

Дано: парабола $y = x^2$, ось $Ox$ и прямая $x = 2$, а во второй части та же парабола, ось $Oy$ и прямая $y = 4$. Найти: объёмы тел, полученных вращением первой фигуры вокруг оси $Ox$ и второй фигуры вокруг оси $Oy$.

Обе части решаются методом дисков: тело режут плоскостями, перпендикулярными оси вращения, каждое сечение оказывается кругом, и объём собирается интегралом от площади этого круга. Ответ: $V_x = \dfrac{32\pi}{5} \approx 20{,}11$ и $V_y = 8\pi \approx 25{,}13$. Калькулятор сверху рисует осевое сечение тела, отмечает элементарный диск и сравнивает объём с описанным цилиндром.

Решение по шагам

Дано: $y = x^2$, отрезок $x \in [0;\,2]$ по первой части и $y \in [0;\,4]$ по второй. Найти: $V_x$ и $V_y$.

Шаг 1. Разбираемся, какая фигура вращается. В первой части это криволинейная трапеция под параболой: снизу её держит ось $Ox$, справа отрезает прямая $x = 2$, сверху ограничивает сама парабола. Левая граница получается сама собой: парабола касается оси в точке $x = 0$, поэтому нижний предел равен нулю, а верхний берётся прямо из условия.

Шаг 2. Записываем формулу метода дисков. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$, это круг радиуса, равного ординате кривой. Площадь круга равна $\pi y^2$, а объём собирается интегрированием площади вдоль оси:

$$V_x = \pi \int_a^b y^2\,dx = \pi \int_0^2 \left(x^2\right)^2 dx = \pi \int_0^2 x^4\,dx.$$

Шаг 3. Вычисляем интеграл. Первообразная степенной функции находится по обычному правилу, дальше работает формула Ньютона-Лейбница:

$$V_x = \pi \cdot \frac{x^5}{5} \Big|_{0}^{2} = \pi \cdot \frac{32 - 0}{5} = \frac{32\pi}{5} \approx 20{,}106.$$

Шаг 4. Переходим ко второй части и меняем роли переменных. Теперь фигура прижата к оси $Oy$: она ограничена параболой справа, осью $Oy$ слева и прямой $y = 4$ сверху. Радиус сечения отсчитывается уже по горизонтали, значит под интегралом должен стоять $x^2$, а интегрировать надо по $y$. Из уравнения $y = x^2$ сразу получаем $x^2 = y$, отдельно извлекать корень не нужно.

Шаг 5. Пересчитываем пределы и берём второй интеграл. Пределы по $x$ здесь не годятся: переменной интегрирования стала $y$, а она пробегает от $0$ до $4$, потому что $y = 2^2 = 4$ в правом конце дуги.

$$V_y = \pi \int_0^4 x^2\,dy = \pi \int_0^4 y\,dy = \pi \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_{0}^{4} = 8\pi \approx 25{,}133.$$

Шаг 6. Проверяем оба ответа. Первое тело целиком помещается в цилиндр радиуса $4$ и длины $2$, объём которого равен $\pi \cdot 16 \cdot 2 = 32\pi$. Наш ответ составляет ровно пятую часть от него, и это не совпадение: для кривой $y = x^n$ доля цилиндра всегда равна $\dfrac{1}{2n + 1}$. Второе тело это параболоид вращения с радиусом основания $2$ и высотой $4$; ещё Архимед доказал, что параболоид занимает половину описанного цилиндра, а половина от $\pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$ и есть $8\pi$.

Ответ: $V_x = \dfrac{32\pi}{5} \approx 20{,}11$ и $V_y = 8\pi \approx 25{,}13$.

Формула объёма и откуда она берётся

Возьмём тонкий слой тела между сечениями с абсциссами $x$ и $x + \Delta x$. Он почти цилиндр: радиус меняется незначительно, поэтому объём слоя приближённо равен $\pi y^2 \Delta x$. Складываем слои и измельчаем разбиение, сумма превращается в интеграл:

$$V_x = \pi \int_a^b f^2(x)\,dx, \qquad V_y = \pi \int_c^d g^2(y)\,dy.$$

За этим стоит принцип Кавальери: если у двух тел площади сечений одной и той же плоскостью совпадают, совпадают и объёмы. Метод дисков и есть его вычислительная запись, где площадь сечения известна точно, потому что сечение это круг.

Сравни с задачей про площадь фигуры под кривой: там под интегралом стоит функция в первой степени и приходится следить, выше или ниже оси лежит график. Здесь функция входит в квадрате, поэтому знак ординаты роли не играет и модуль ставить не нужно. Общего с длиной дуги у объёма ещё меньше: в задаче на длину дуги под корнем стоит производная, а не сама функция.

Требование к функции обычное: непрерывность на отрезке. Техника взятия самих интегралов от этого не зависит, и если после возведения в квадрат получается что-то неудобное, работают все привычные приёмы из разбора определённого интеграла, включая замену переменной и интегрирование по частям.

Метод колец: тело с полостью

Если фигура не примыкает к оси вращения, у тела появляется сквозная полость, и вместо диска сечением становится кольцо. Его площадь равна разности площадей двух кругов, поэтому формула превращается в разность квадратов:

$$V = \pi \int_a^b \left(R^2(x) - r^2(x)\right) dx.$$

Здесь $R$ это расстояние от оси до дальней границы фигуры, а $r$ до ближней. Разберём фигуру между $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на отрезке $[0;\,1]$: на нём выше проходит корень, поэтому он и даёт внешний радиус.

$$V = \pi \int_0^1 \left(x - x^4\right) dx = \pi \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) = \frac{3\pi}{10} \approx 0{,}942.$$

Главное не перепутать порядок действий: возводить в квадрат надо каждый радиус отдельно, а потом вычитать. Запись $\pi \int (R - r)^2 dx$ даёт совсем другое число и встречается в работах чаще всех прочих ошибок.

Метод цилиндрических слоёв

Иногда выразить обратную функцию тяжело или граница фигуры состоит из нескольких кусков. Тогда фигуру режут не поперёк оси вращения, а вдоль: узкая вертикальная полоска шириной $dx$ при вращении вокруг оси $Oy$ заметает тонкую трубку радиуса $x$, высоты $f(x)$ и толщины $dx$. Её объём равен длине окружности, умноженной на высоту и толщину:

$$V_y = 2\pi \int_a^b x\,f(x)\,dx.$$

Проверим на нашей параболе, но возьмём при этом другую фигуру: криволинейную трапецию под кривой на отрезке $[0;\,2]$, ту самую, что в первой части вращали вокруг $Ox$.

$$V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2\,dx = 2\pi \cdot \frac{x^4}{4} \Big|_{0}^{2} = 8\pi.$$

Получилось ровно столько же, сколько в шаге 5, хотя вращали другую фигуру. Причина в том, что две наши фигуры дополняют друг друга до прямоугольника $2 \times 4$, а тела их вращения вокруг $Oy$ дополняют друг друга до цилиндра объёмом $16\pi$: парабола делит этот цилиндр строго пополам.

Тот же ответ даёт вторая теорема Гульдина: $V = 2\pi x_{\text{c}} S$, где $S$ площадь фигуры, а $x_{\text{c}}$ абсцисса её центра тяжести. Для трапеции под параболой $S = 8/3$ и $x_{\text{c}} = 3/2$, произведение даёт те же $8\pi$; как ищут центр тяжести плоской фигуры, разобрано в отдельной задаче.

Частые ошибки

• Теряют множитель $\pi$. Интеграл $\int f^2(x)\,dx$ сам по себе объёма не даёт: он суммирует квадраты радиусов, а площадь круга это $\pi R^2$.
• Пишут $\left(R - r\right)^2$ вместо $R^2 - r^2$. Вычитается объём внутренней части, а не радиус, поэтому квадраты берутся до вычитания.
• Вращают вокруг $Oy$, но интегрируют по $x$ со старыми пределами. В нашей задаче переход к оси $Oy$ меняет отрезок $[0;\,2]$ на $[0;\,4]$, и подстановка двойки вместо четвёрки занижает ответ.
• Не выражают $x$ через $y$. Под интегралом по $y$ должна стоять обратная функция, а не исходная: для $y = x^2$ это $x^2 = y$, а для $y = x^3$ уже $x^2 = y^{2/3}$.
• Считают, что фигура по обе стороны от оси даёт удвоенный объём. Верхняя и нижняя половины при вращении накладываются друг на друга, поэтому радиусом служит наибольшее расстояние до оси, а не сумма.
• Путают объём тела с площадью его поверхности. Поверхность вращения считается по другой формуле, с корнем $\sqrt{1 + (y')^2}$ под интегралом, и результат имеет другую размерность.

FAQ

Когда удобнее диски, а когда цилиндрические слои? Диски удобны, если ось вращения совпадает с переменной интегрирования: вращаем вокруг $Ox$ и интегрируем по $x$. Слои выручают в обратной ситуации, когда вращение идёт вокруг $Oy$, а обратную функцию выписывать долго или она неоднозначна. Ответ у обоих методов один, отличается только сложность выкладок.

Что делать, если ось вращения не координатная, например $y = -1$? Радиус отсчитывается от этой прямой, поэтому каждую ординату надо сдвинуть: внешний радиус станет $f(x) + 1$, внутренний $1$, и объём посчитается методом колец как $\pi \int \left(\left(f(x) + 1\right)^2 - 1\right) dx$. Сама схема не меняется, меняется только выражение для радиуса.

Может ли объём получиться отрицательным? Нет. Под интегралом стоит квадрат радиуса, то есть неотрицательная величина, поэтому минус в ответе означает перепутанный порядок пределов: нижний предел должен быть меньше верхнего.

Как быть, если кривая задана параметрически? Формула переписывается через параметр: $V_x = \pi \int_{t_1}^{t_2} y^2(t)\,x'(t)\,dt$. Пределы берутся по $t$, а знак производной $x'(t)$ подсказывает направление обхода, поэтому при движении справа налево пределы меняют местами.

Коротко

1. Вращение вокруг $Ox$: $V_x = \pi \int_a^b y^2\,dx$; вращение вокруг $Oy$: $V_y = \pi \int_c^d x^2\,dy$, где $x$ выражен через $y$.
2. Для параболы $y = x^2$ на отрезке $[0;\,2]$ вокруг оси $Ox$ получаем $\pi \int_0^2 x^4 dx = \dfrac{32\pi}{5} \approx 20{,}11$.
3. Для фигуры между той же параболой и осью $Oy$ при $y$ от $0$ до $4$ вокруг оси $Oy$ получаем $\pi \int_0^4 y\,dy = 8\pi \approx 25{,}13$.
4. Фигура, не примыкающая к оси, даёт тело с полостью: $V = \pi \int \left(R^2 - r^2\right) dx$, квадраты берутся до вычитания.
5. Проверка ответа: тело всегда меньше описанного цилиндра, причём параболоид занимает ровно его половину, а тело вращения кривой $y = x^n$ вокруг $Ox$ занимает долю $\dfrac{1}{2n + 1}$.