Как вычислить длину дуги кривой: формула и пример

Дано: кривая $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ на отрезке $x \in [0;\,3]$. Найти: длину дуги $L$.

Длина дуги явно заданной кривой считается по формуле $L = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2}\,dx$. Здесь подкоренное выражение сворачивается в $1 + x$, поэтому интеграл берётся в две строки. Ответ: $L = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}667$. Калькулятор сверху строит дугу вместе с хордой и считает интеграл для всех трёх способов задания кривой, а ниже идёт решение по шагам.

Решение по шагам

Дано: $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$, нижний предел $a = 0$, верхний предел $b = 3$. Найти: $L$.

Шаг 1. Находим производную. Степень $3/2$ выносится вперёд и уменьшается на единицу:

$$y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = \sqrt{x}.$$

Шаг 2. Собираем подкоренное выражение. В формулу длины дуги производная входит в квадрате, и корень из неё исчезает:

$$\sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{1 + \left(\sqrt{x}\right)^2} = \sqrt{1 + x}.$$

Именно ради этого в задачниках берут дробные степени вида $x^{3/2}$: квадрат производной даёт многочлен первой степени, и подынтегральная функция остаётся элементарной.

Шаг 3. Составляем и вычисляем интеграл. Пределы берём прямо из условия, никакого поиска точек пересечения здесь не нужно:

$$L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx.$$

Делаем замену $u = 1 + x$, тогда $du = dx$, а пределы пересчитываются: при $x = 0$ получаем $u = 1$, при $x = 3$ получаем $u = 4$. Подробнее о том, как менять переменную и не забывать про пределы, разобрано в задаче про вычисление определённого интеграла.

$$L = \int_1^4 \sqrt{u}\,du = \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_{1}^{4} = \frac{2}{3}\left(8 - 1\right) = \frac{14}{3}.$$

Шаг 4. Проверяем по хорде. Концы дуги: $A(0;\,0)$ и $B\left(3;\,2\sqrt{3}\right)$, потому что $\frac{2}{3} \cdot 3^{3/2} = 2\sqrt{3}$. Длина отрезка $AB$ равна $\sqrt{9 + 12} = \sqrt{21} \approx 4{,}583$. Дуга обязана быть длиннее стягивающей её хорды, и это выполняется: отношение $4{,}667 / 4{,}583 \approx 1{,}018$, то есть кривая почти прямая на этом участке. Если бы ответ оказался меньше хорды, ошибку надо искать в производной.

Ответ: $L = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}667$.

Формула и откуда она берётся

Разобьём кривую на мелкие кусочки и каждый заменим отрезком. По теореме Пифагора длина такого отрезка равна $\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$. Вынесем $\Delta x$ за скобку:

$$\Delta l = \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\;\Delta x.$$

При измельчении разбиения отношение $\Delta y / \Delta x$ переходит в производную, сумма длин звеньев ломаной становится интегралом, а сама конструкция называется спрямлением кривой:

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(y'\right)^2}\,dx.$$

Формально требование к кривой такое: функция должна быть непрерывно дифференцируемой на отрезке, иначе предел сумм может и не существовать. На практике это значит, что излом или вертикальную касательную надо обходить: отрезок разбивают на куски и складывают длины по частям. Величину $dl = \sqrt{1 + (y')^2}\,dx$ называют дифференциалом дуги, и она встречается дальше в криволинейных интегралах и в формуле площади поверхности вращения.

Отсюда видно главное отличие от задачи про площадь фигуры под кривой: там под интегралом стоит сама функция и результат зависит от того, выше или ниже оси лежит график, а здесь под корнем всегда неотрицательное число. Длина дуги не может выйти отрицательной, поэтому пределы всегда ставят в порядке возрастания.

Параметрическая кривая

Если кривая задана парой функций $x = x(t)$ и $y = y(t)$, отдельной роли у $x$ больше нет, и формула становится симметричной:

$$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(x'\right)^2 + \left(y'\right)^2}\,dt.$$

Порядок работы не меняется: находим обе производные, складываем их квадраты, упрощаем корень и только потом расставляем пределы. Выигрыш параметрической записи в том, что ей безразличны вертикальные участки и самопересечения, из-за которых явная запись $y = f(x)$ просто не существует.

Разберём астроиду $x = 2\cos^3 t$, $y = 2\sin^3 t$. Производные равны $x' = -6\cos^2 t \sin t$ и $y' = 6\sin^2 t \cos t$, сумма квадратов сворачивается благодаря основному тригонометрическому тождеству:

$$(x')^2 + (y')^2 = 36\sin^2 t \cos^2 t\left(\cos^2 t + \sin^2 t\right) = 36\sin^2 t \cos^2 t.$$

Корень даёт $6\lvert \sin t \cos t \rvert = 3\lvert \sin 2t \rvert$. На четверти кривой, то есть при $t$ от $0$ до $\pi/2$, синус двойного угла неотрицателен, модуль снимается:

$$L_{1/4} = \int_0^{\pi/2} 3\sin 2t\,dt = -\frac{3}{2}\cos 2t \Big|_{0}^{\pi/2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3.$$

Вся астроида состоит из четырёх таких дуг, значит её полная длина равна $12$, что совпадает с известной формулой $L = 6a$ при $a = 2$. Так же устроена и циклоида $x = 2(t - \sin t)$, $y = 2(1 - \cos t)$: там подкоренное выражение сворачивается в $2R\lvert\sin(t/2)\rvert$, а длина одной арки равна $8R$, то есть $16$.

Полярная кривая

Для кривой $r = r(\varphi)$ формулу получают из параметрической, подставив $x = r\cos\varphi$ и $y = r\sin\varphi$. После раскрытия скобок все смешанные слагаемые уничтожаются, и остаётся:

$$L = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{r^2 + \left(r'\right)^2}\,d\varphi.$$

Обрати внимание: под корнем стоит сама функция $r$, а не единица. Это самая частая описка в полярных задачах. Возьмём кардиоиду $r = 3(1 + \cos\varphi)$, у которой $r' = -3\sin\varphi$:

$$\sqrt{r^2 + (r')^2} = 3\sqrt{(1 + \cos\varphi)^2 + \sin^2\varphi} = 3\sqrt{2 + 2\cos\varphi} = 6\left\lvert\cos\frac{\varphi}{2}\right\rvert.$$

Модуль здесь принципиален: на промежутке от $0$ до $2\pi$ косинус половинного угла меняет знак в точке $\varphi = \pi$. Пользуемся симметрией и считаем половину:

$$L = 2\int_0^{\pi} 6\cos\frac{\varphi}{2}\,d\varphi = 2 \cdot 12 \sin\frac{\varphi}{2}\Big|_{0}^{\pi} = 24.$$

Это и есть табличный результат $L = 8a$ при $a = 3$. Площадь той же фигуры считается другим интегралом, разбор есть в статье про площадь кардиоиды.

Когда интеграл не берётся

Красивый ответ получается только у специально подобранных кривых. Уже для эллипса или синусоиды подкоренное выражение не сворачивается, и первообразная выражается через эллиптические интегралы. В контрольной такой интеграл либо оставляют в интегральной форме, либо считают численно, например методом Симпсона. Калькулятор сверху делает ровно это: численный ответ он сравнивает с точной первообразной, и для всех шести кривых значения совпадают до третьего знака.

Численный ответ полезен и как страховка: даже когда первообразная найдена, быстрая прикидка по Симпсону на десяти отрезках показывает, не потерян ли множитель. Разойтись в разы две оценки не могут, и любое крупное расхождение означает ошибку в производной или в пределах интегрирования.

Частые ошибки

• Пишут $\sqrt{1 + y'}$ вместо $\sqrt{1 + (y')^2}$. Квадрат производной обязателен: он появляется из теоремы Пифагора, а не из желания усложнить формулу.
• В полярной формуле теряют $r^2$ и по привычке пишут $\sqrt{1 + (r')^2}$. Правильно $\sqrt{r^2 + (r')^2}$, иначе для окружности $r = R$ длина получится нулевой.
• Снимают модуль там, где подынтегральная функция меняет знак. Для кардиоиды на полном обороте нужно либо считать по половине и удваивать, либо разбивать интеграл в точке $\varphi = \pi$.
• Подставляют в параметрическую задачу пределы по $x$. Если кривая задана через $t$, то и пределы должны быть по $t$: для арки циклоиды это $0$ и $2\pi$, а не $0$ и $2\pi R$.
• Считают площадь вместо длины. Интеграл $\int y\,dx$ отвечает на другой вопрос, и размерность у него другая.
• Забывают пересчитать пределы при замене переменной. После подстановки $u = 1 + x$ отрезок $[0;\,3]$ превращается в $[1;\,4]$, и подстановка старых чисел даёт неверный ответ.

FAQ

Почему в задачниках так часто встречается степень 3/2? Потому что для $y = c\,x^{3/2}$ производная равна корню, её квадрат - многочлен первой степени, и подынтегральная функция становится обычным корнем. Это один из немногих случаев, когда точный ответ получается школьными средствами.

Что делать, если кривая задана как $x = g(y)$? Поменять роли переменных: $L = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + (x')^2}\,dy$, где производная берётся по $y$. Формула та же, просто интегрируем вдоль другой оси.

Как проверить ответ, если под рукой нет ответа из задачника? Сравнить с длиной хорды между концами дуги: дуга всегда длиннее. Полезно и грубое сравнение с ломаной по трём-четырём точкам - она даёт оценку снизу, довольно близкую к истине на гладких кривых.

Нужно ли переводить угол в градусы в полярной задаче? Нет, наоборот: полярный угол в формуле длины дуги всегда в радианах, иначе множитель перед интегралом окажется неверным. Полный оборот - это $2\pi$, и именно эти пределы подставляются в интеграл для замкнутой кривой.

Длина дуги и длина ломаной для замкнутой кривой считаются одинаково? Да, только для замкнутой кривой хорда вырождается в ноль, и проверка по ней бесполезна. Вместо неё сравнивают ответ с периметром описанного или вписанного многоугольника.

Коротко

1. Явная кривая: $L = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2}\,dx$; параметрическая: $L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,dt$; полярная: $L = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\varphi$.
2. Порядок действий один и тот же: производная, сумма квадратов под корнем, упрощение, пределы, интеграл.
3. Для $y = \frac{2}{3}x^{3/2}$ на отрезке $[0;\,3]$ получаем $\sqrt{1 + x}$ под интегралом и ответ $L = \frac{14}{3} \approx 4{,}667$.
4. Модуль под корнем снимается только там, где выражение неотрицательно; на полном обороте кривую делят на симметричные куски.
5. Проверка: длина дуги больше длины хорды, а если корень не упрощается, интеграл считают численно.