Интеграл от нечётной функции: разбор задачи

Дано: $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x + 5$, отрезок интегрирования $[-2;\, 2]$. Найти: $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$.

Отрезок симметричен относительно нуля, и это меняет всю технику счёта. Слагаемые с нечётными степенями, $x^3$ и $-4x$, образуют нечётную функцию и дают в интеграле ровно ноль. Остаётся чётная часть $3x^2 + 5$: её достаточно проинтегрировать по половине отрезка и результат удвоить. Ответ: $36$. Калькулятор сверху раскладывает подынтегральную функцию на две части и закрашивает доли нечётной, которые гасят друг друга.

Решение по шагам

Дано: $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x + 5$, пределы $-2$ и $2$. Найти: значение определённого интеграла.

Шаг 1. Проверяем отрезок на симметрию. Свойство чётности работает только тогда, когда пределы противоположны по знаку, то есть отрезок имеет вид $[-a;\, a]$. Здесь пределы $-2$ и $2$, середина отрезка совпадает с нулём, значит, приём применим. Будь верхний предел равен трём, никакого обнуления не случилось бы, и пришлось бы считать обычным путём.

Шаг 2. Раскладываем функцию на чётную и нечётную части. У многочлена это делается по степеням: слагаемые с нечётными показателями собираются в нечётную функцию, слагаемые с чётными показателями и свободный член - в чётную.

$$f_{\text{неч}}(x) = x^3 - 4x, \qquad f_{\text{чёт}}(x) = 3x^2 + 5.$$

Проверка занимает одну подстановку: $f_{\text{неч}}(-x) = -x^3 + 4x = -f_{\text{неч}}(x)$, а $f_{\text{чёт}}(-x) = 3x^2 + 5 = f_{\text{чёт}}(x)$. Общая техника такой проверки, включая функции с корнями и логарифмами, разобрана в задаче про чётность функции.

Шаг 3. Нечётная часть обращается в нуль. Это и есть главное свойство: на симметричном отрезке интеграл от нечётной функции равен нулю без всяких вычислений.

$$\int_{-2}^{2} \big( x^3 - 4x \big)\,dx = 0.$$

Шаг 4. Чётную часть считаем на половине отрезка и удваиваем. Пределы становятся от нуля до двойки, а перед интегралом появляется множитель $2$:

$$\int_{-2}^{2} \big( 3x^2 + 5 \big)\,dx = 2\int_{0}^{2} \big( 3x^2 + 5 \big)\,dx = 2\Big[ x^3 + 5x \Big]_{0}^{2} = 2\,(8 + 10) = 36.$$

Шаг 5. Проверяем прямым счётом. Возьмём первообразную всей функции и подставим оба предела, не пользуясь чётностью:

$$F(x) = \frac{x^4}{4} + x^3 - 2x^2 + 5x, \qquad F(2) = 4 + 8 - 8 + 10 = 14, \qquad F(-2) = 4 - 8 - 8 - 10 = -22.$$

Разность равна $14 - (-22) = 36$, ответы совпали.

Ответ: $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 36$.

Выигрыш видно на пятом шаге: там пришлось возводить $-2$ в четвёртую степень, следить за знаками трёх слагаемых и вычитать отрицательное число. Через чётность ни одной из этих операций нет, а именно на них теряют баллы чаще всего. Технику подстановки пределов в общем виде разбирает страница про вычисление определённого интеграла.

Формула и откуда она берётся

Свойств два, и работают они в паре. Для нечётной функции, у которой $f(-x) = -f(x)$, и для чётной, у которой $f(-x) = f(x)$:

$$\int_{-a}^{a} f_{\text{неч}}(x)\,dx = 0, \qquad \int_{-a}^{a} f_{\text{чёт}}(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f_{\text{чёт}}(x)\,dx.$$

Вывод занимает три строки. Разобьём интеграл нулём на две половины: $\int_{-a}^{a} = \int_{-a}^{0} + \int_{0}^{a}$. В левой половине сделаем замену $x = -t$, тогда $dx = -dt$, а пределы меняются местами: при $x = -a$ получаем $t = a$, при $x = 0$ получаем $t = 0$.

$$\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-t)\,(-dt) = \int_{0}^{a} f(-t)\,dt.$$

Дальше всё решает чётность подынтегральной функции. Если она нечётна, то $f(-t) = -f(t)$, левая половина равна $-\int_{0}^{a} f(t)\,dt$ и вместе с правой даёт нуль. Если функция чётна, то $f(-t) = f(t)$, обе половины равны между собой, и сумма превращается в удвоенный интеграл по правой половине.

Геометрический смысл тот же самый. График нечётной функции симметричен относительно начала координат: там, где справа он идёт над осью, слева опускается под неё на столько же. Определённый интеграл складывает площади со знаком, поэтому зеркальные доли входят с противоположными знаками и взаимно уничтожаются. У чётной функции график симметричен относительно оси $Oy$, обе доли лежат по одну сторону от оси и складываются.

Ноль в интеграле не значит, что фигуры нет

Самая частая смысловая ошибка звучит так: раз интеграл нулевой, то и площади никакой нет. Это неверно, потому что определённый интеграл считает площадь со знаком, а площадь фигуры считается по модулю функции.

Возьмём нечётную часть из разбора, $y = x^3 - 4x$, на том же отрезке $[-2;\, 2]$. Интеграл равен нулю, а площадь фигуры между графиком и осью равна

$$S = \int_{-2}^{2} \lvert x^3 - 4x \rvert\,dx = 2\int_{0}^{2} \big( 4x - x^3 \big)\,dx = 2\Big[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \Big]_{0}^{2} = 2\,(8 - 4) = 8.$$

Ноль и восьмёрка описывают одну и ту же картинку: две одинаковые доли по четыре квадратные единицы, одна над осью, другая под ней. Если в условии просят именно площадь, свойство нечётности само по себе ответа не даёт, но экономит половину работы: считаем одну долю и умножаем на два. Разбиение отрезка нулями функции подробно показано в задаче про площадь фигуры через интеграл.

Чётность произведения: где приём экономит больше всего

По степеням чётность видна сразу, но чаще подынтегральная функция составлена из сомножителей. Тогда работает правило знаков:

Отсюда следует, что $\int_{-1}^{1} x^3\cos x\,dx = 0$: первообразная берётся по частям и выглядит громоздко, но считать её не нужно. Так же мгновенно обнуляется $\int_{-1}^{1} \frac{x^5}{1 + x^4}\,dx$, потому что числитель нечётен, знаменатель чётен, а их частное нечётно.

А вот $\int_{-1}^{1} x\sin x\,dx$ нулю не равен, хотя множитель $x$ и стоит перед глазами: произведение двух нечётных функций чётно, поэтому интеграл равен $2\int_{0}^{1} x\sin x\,dx = 2(\sin 1 - \cos 1) \approx 0{,}602$. Это ловушка, на которой сыпется больше всего решений.

Тот же приём лежит в основе рядов Фурье: у нечётной функции все коэффициенты при косинусах обнуляются, потому что произведение нечётной функции на чётный косинус нечётно. Остаётся только синусный ряд, и на этом построено разложение в ряд Фурье по синусам.

Когда свойство не работает

Приём выглядит настолько простым, что его начинают применять там, где условия нарушены. Проверять нужно три вещи.

Отрезок несимметричен. Свойство держится на зеркальности пределов. Переключи калькулятор сверху в режим «Произвольный отрезок»: на $[-2;\, 3]$ у той же функции нечётная часть даёт уже не ноль, а $6{,}25$, и полный интеграл равен $66{,}25$. Отрезки вида $[0;\, a]$ или $[1;\, 5]$ к свойству отношения не имеют вовсе.

Функция только похожа на нечётную. Сдвиг по вертикали ломает симметрию: $x^3 + 1$ и $\sin x + 2$ не являются нечётными, ноль по ним не получится. Раскладывать на части такие функции можно и нужно, но обнулится лишь нечётное слагаемое.

Внутри отрезка есть разрыв. Функция $f(x) = 1/x$ нечётна, однако $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}$ расходится: подынтегральная функция не ограничена в нуле, и интеграл вообще не существует. Ноль здесь получается только как главное значение по Коши, то есть при симметричном стягивании к особой точке. Прежде чем ссылаться на чётность, убедись, что интеграл существует.

Ещё одна типичная подмена - модуль. Функция $\lvert x^3 \rvert$ чётна, а не нечётна, и её интеграл по симметричному отрезку не обнуляется, а удваивается.

Симметрия экономит время и в приложениях определённого интеграла: если профиль задан чётной функцией, при расчёте площади поверхности вращения достаточно проинтегрировать половину и удвоить результат.

Частые ошибки

• Свойство применили на несимметричном отрезке. Пределы $-2$ и $3$ зеркальными не являются: на них нечётная часть даёт $6{,}25$, а не ноль.
• Обнулили весь интеграл, увидев одно нечётное слагаемое. В $x^3 + 3x^2 - 4x + 5$ обнуляется только пара $x^3 - 4x$, чётная часть остаётся и даёт все $36$.
• Забыли множитель два у чётной части. Замена пределов с $[-2;\, 2]$ на $[0;\, 2]$ без удвоения занижает ответ ровно вдвое: вместо $36$ выходит $18$.
• Приняли ноль интеграла за отсутствие площади. Для $y = x^3 - 4x$ на $[-2;\, 2]$ интеграл равен нулю, а площадь фигуры равна восьми.
• Назвали нечётной функцию со свободным членом. У $x^3 + 1$ проверка $f(-x) = -x^3 + 1$ не даёт ни $f(x)$, ни $-f(x)$.
• Не проверили сходимость. Нечётность не спасает интеграл с разрывом внутри отрезка: $\int_{-1}^{1} dx/x$ расходится.

FAQ

Как быстро понять, что подынтегральная функция нечётна? Для многочлена достаточно посмотреть на степени: все показатели нечётные и свободного члена нет. В остальных случаях подставь $-x$ и сравни результат с $f(x)$ и $-f(x)$. Для произведений пользуйся правилом знаков: нечётная на чётную даёт нечётную.

Работает ли свойство для несобственных интегралов? Только если интеграл сходится. Функция $f(x) = x$ нечётна, но $\int_{-\infty}^{\infty} x\,dx$ расходится, и приписывать ему ноль нельзя. Сначала проверяется сходимость по признакам для несобственных интегралов, и только потом используется симметрия.

Что делать, если функция ни чётная, ни нечётная? Разложить её на две части по формулам $f_{\text{чёт}}(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ и $f_{\text{неч}}(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$. Такое разложение существует для любой функции с симметричной областью определения, у многочленов оно сводится к сортировке слагаемых по степеням.

Можно ли так считать интеграл от синуса по отрезку от минус пи до пи? Да, он равен нулю: синус нечётен, отрезок симметричен. По той же причине обнуляются интегралы вида $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\cos(nx)\,dx$, и на этом стоит вся ортогональность тригонометрической системы.

Коротко

1. Проверь симметрию отрезка: свойство работает только на $[-a;\, a]$.
2. Разложи подынтегральную функцию на чётную и нечётную части, для многочлена - по чётности степеней.
3. Нечётная часть даёт ноль, считать её не нужно.
4. Чётную часть проинтегрируй от нуля до $a$ и удвой результат.
5. Для $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x + 5$ на $[-2;\, 2]$: нечётная часть $x^3 - 4x$ обнуляется, чётная даёт $2(8 + 10)$, ответ $36$.