Как вычислить криволинейный интеграл: пример решения

Дано: подынтегральное выражение $(x^2 + 2y)\,dx + (x - y)\,dy$ и путь $L$ - дуга параболы $y = x^2$, пройденная от точки $O(0;\,0)$ до точки $B(2;\,4)$. Криволинейный интеграл второго рода берётся одним приёмом: кривая параметризуется, дифференциалы $dx$ и $dy$ выражаются через параметр, и всё сводится к обычному определённому интегралу по этому параметру. Ответ получится равным $I = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33$.

В калькуляторе сверху эти числа стоят по умолчанию. Переключатель пути показывает главное свойство интеграла второго рода: концы фиксированы, а по отрезку и по ломаной между теми же точками выходят совсем другие числа.

Решение по шагам

Шаг 1. Параметризуем кривую. Парабола задана явным уравнением, поэтому в роли параметра удобнее всего взять саму абсциссу. Тогда точке $O$ отвечает значение $t = 0$, а точке $B$ - значение $t = 2$, потому что $2^2 = 4$. Направление обхода задано условием: идём от $O$ к $B$, значит параметр растёт от 0 до 2, и в этом же порядке встанут пределы определённого интеграла.

$$x = t, \qquad y = t^2, \qquad t \in [0;\, 2].$$

Шаг 2. Выражаем дифференциалы через параметр. Дифференциалы координат получаются дифференцированием параметризации по $t$:

$$dx = dt, \qquad dy = 2t\,dt.$$

Множитель $2t$ во втором равенстве - это производная $y'(t)$, и терять его нельзя. Именно он отвечает за то, что мы идём по кривой, а не по горизонтальной прямой: чем круче поднимается парабола, тем больший вклад даёт слагаемое с $dy$.

Шаг 3. Подставляем параметризацию в подынтегральное выражение. Координаты точки кривой известны через $t$, поэтому обе функции поля тоже становятся функциями одного параметра:

$$\begin{aligned} P &= x^2 + 2y = t^2 + 2t^2 = 3t^2, \\ Q &= x - y = t - t^2. \end{aligned}$$

Теперь собираем подынтегральную функцию: к $P$ приписываем множитель от $dx$, к $Q$ - множитель от $dy$, и складываем.

$$g(t) = P\,x'(t) + Q\,y'(t) = 3t^2 + (t - t^2)\cdot 2t = 5t^2 - 2t^3.$$

Шаг 4. Берём определённый интеграл по параметру. От криволинейного интеграла не осталось ничего криволинейного: перед нами многочлен, который интегрируется по таблице.

$$I = \int_0^2 \left(5t^2 - 2t^3\right)dt = \left[\frac{5t^3}{3} - \frac{t^4}{2}\right]_0^2 = \frac{40}{3} - 8 = \frac{16}{3}.$$

Ответ: $I = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33$.

Знак ответа легко проверить на нижнем графике калькулятора. Функция $g(t) = 5t^2 - 2t^3$ обращается в ноль при $t = 0$ и $t = 2{,}5$, а внутри отрезка интегрирования держится выше оси. Площадь под ней целиком положительна, поэтому и результат обязан быть положительным числом около пяти. Если после подстановки график ушёл под ось, а ответ вышел положительным, ищите потерянный знак.

Формула и откуда она берётся

Криволинейный интеграл второго рода определяется как предел интегральных сумм: путь дробится точками на мелкие звенья, на каждом звене берётся значение поля, умножается на приращение координаты $\Delta x_i$ или $\Delta y_i$, и всё складывается. Ключевое отличие от обычного интеграла в том, что суммируются приращения координат вдоль пути, а они могут быть и отрицательными. Отсюда и рабочая формула сведения:

$$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_{\alpha}^{\beta}\Big(P\big(x(t),\,y(t)\big)\,x'(t) + Q\big(x(t),\,y(t)\big)\,y'(t)\Big)dt.$$

Читается она просто: подставь параметризацию всюду, где стоят $x$ и $y$, замени $dx$ на $x'(t)\,dt$ и $dy$ на $y'(t)\,dt$, а пределы возьми по параметру от начала пути к концу. Дальше работает обычная техника: замена переменной, разложение на слагаемые, формула Ньютона-Лейбница, и всё это разобрано в задаче про определённый интеграл.

Физический смысл выражения - работа силы $\vec{F} = (P;\,Q)$ при перемещении точки вдоль пути $L$. Отсюда сразу следует правило знаков: если пройти тот же путь в обратную сторону, работа поменяет знак, потому что поменяются местами пределы $\alpha$ и $\beta$. А вот от способа параметризации ответ не зависит: возьмите $x = 2u$, $y = 4u^2$ при $u$ от 0 до 1 - выйдет то же самое $16/3$.

Проверка ответа через формулу Грина

Прямое вычисление удобно проверить вторым методом. Формула Грина работает только с замкнутым контуром, поэтому путь надо замкнуть: вернёмся из $B$ в $O$ по отрезку прямой $y = 2x$. Парабола пройдена слева направо снизу, отрезок - справа налево сверху, то есть контур обходится против часовой стрелки, как формула и требует.

$$\oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy.$$

Частные производные здесь постоянные: $\partial Q/\partial x = 1$, $\partial P/\partial y = 2$, их разность равна $-1$. Значит двойной интеграл сводится к площади области $D$ между параболой и отрезком, взятой со знаком минус. Саму площадь считаем как разность ординат:

$$S = \int_0^2 \left(2x - x^2\right)dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}, \qquad \oint_L = -\frac{4}{3}.$$

Осталось вычесть вклад отрезка. Для него $x = t$, $y = 2t$, $dy = 2\,dt$, поэтому $g(t) = (t^2 + 4t) + (t - 2t)\cdot 2 = t^2 + 2t$, а интеграл от $O$ к $B$ равен $I_2 = 8/3 + 4 = 20/3$. Обход контура складывается из движения по параболе вперёд и по отрезку назад, то есть $-4/3 = I_1 - I_2$, откуда $I_1 = 20/3 - 4/3 = 16/3$. Ответ совпал. Техника расстановки пределов в таком двойном интеграле разобрана отдельно в задаче про двойной интеграл по области между параболой и прямой.

Тот же интеграл по другому пути

Отрезок между теми же точками дал $20/3$ вместо $16/3$. Возьмём третий путь - ломаную $O \to (2;\,0) \to B$, она считается ещё быстрее. На горизонтальном звене $y = 0$ и $dy = 0$, поэтому остаётся $\int_0^2 t^2\,dt = 8/3$. На вертикальном звене $x = 2$ и $dx = 0$, остаётся $\int_0^4 (2 - y)\,dy = 8 - 8 = 0$. Итого $I_3 = 8/3$.

Три разных числа для одних и тех же концов - это не ошибка, а норма для интеграла второго рода. Причина видна из формулы Грина: разность значений по двум путям равна ротору поля, умноженному на площадь между ними, а ротор здесь не нулевой. Ответ становится одинаковым для всех путей только при условии $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$; у нас $2 \neq 1$, и условие не выполнено. Когда оно всё-таки выполняется, поле называют потенциальным, и вычисление сводится к разности значений потенциала в концах пути - это разобрано в статье про независимость криволинейного интеграла от пути.

Отдельный случай - замкнутый путь: тогда интеграл называют циркуляцией поля, и она измеряет вихревую часть поля внутри контура. Про её смысл и вычисление есть разбор циркуляции по контуру.

Криволинейный интеграл первого рода: чем отличается

Второй род - это интеграл по координатам, где под знаком стоят $dx$ и $dy$. Есть и первый род, интеграл по длине дуги, у него под знаком стоит $ds$:

$$\int_L f(x,\,y)\,ds = \int_{\alpha}^{\beta} f\big(x(t),\,y(t)\big)\sqrt{\left(x'(t)\right)^2 + \left(y'(t)\right)^2}\,dt.$$

Разница принципиальная. Дифференциал дуги $ds$ всегда положителен, поэтому интеграл первого рода не меняет знак при смене направления обхода, и подынтегральная функция там скалярная, а не пара $P$ и $Q$. Физически он даёт массу проволоки с плотностью $f$, а при $f = 1$ превращается в длину кривой, как в задаче про длину дуги.

Посчитаем для сравнения интеграл первого рода по нашему отрезку $OB$. Там $x = t$, $y = 2t$, значит $ds = \sqrt{1 + 4}\,dt = \sqrt{5}\,dt$, и для функции $f = x + y$ получаем $\int_0^2 3t\sqrt{5}\,dt = 6\sqrt{5} \approx 13{,}42$. Обратите внимание: корень появился именно из $ds$, тогда как в интеграле второго рода никаких корней не было.

После параметризации остаётся обычный определённый интеграл, и берут его стандартными способами - часто по частям, если в подынтегральном выражении есть произведение многочлена на экспоненту или логарифм.

Частые ошибки

• Забыт множитель $y'(t)$. Самая частая потеря: в слагаемое с $Q$ подставляют координаты, но не умножают на $2t$. Проверка простая: после подстановки в выражении не должно остаться ни $dx$, ни $dy$, только $dt$.
• Пределы расставлены по возрастанию, а не по обходу. Нижний предел - это значение параметра в начальной точке пути, даже если оно больше верхнего. Переставили пределы местами - получили ответ с обратным знаком.
• Формула Грина применена к незамкнутому пути. Дуга параболы сама по себе контура не образует, её обязательно нужно замкнуть отрезком или ломаной, а потом вычесть вклад добавленного куска.
• В формуле Грина перепутан порядок производных. Под двойным интегралом стоит именно $\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y$; обратный порядок даёт ответ с неверным знаком.
• Забыт знак при обходе по часовой стрелке. Формула Грина записана для положительного обхода, при движении по часовой стрелке к двойному интегралу добавляется минус.
• Перепутаны рода интегралов. Если в условии стоит $ds$, никакого разделения на $P$ и $Q$ нет и появляется корень из суммы квадратов производных.

FAQ

Обязательно ли брать параметром переменную $x$? Нет. Годится любая гладкая параметризация, лишь бы она пробегала кривую один раз в нужном направлении. Для окружности берут $x = R\cos t$, $y = R\sin t$, для прямой - линейные функции. Ответ от выбора параметра не зависит.

Что будет, если поменять направление обхода? Интеграл второго рода поменяет знак, интеграл первого рода не изменится. Поэтому в условии всегда указывают, от какой точки к какой идёт путь, или в какую сторону обходится контур.

Когда быстрее считать через формулу Грина? Когда контур замкнут и составлен из нескольких кусков, а разность производных получается простой, часто константой. Тогда двойной интеграл сводится к площади фигуры, и считать почти нечего. Для одной гладкой дуги прямая параметризация обычно короче.

Как проверить полученный ответ? Три быстрых способа: посмотреть на знак площади под графиком подынтегральной функции, посчитать тот же интеграл по другому пути и сверить разность с формулой Грина, либо проверить условие потенциальности - если оно выполнено, ответ обязан совпасть у всех путей.

Коротко

1. Параметризовать кривую: для явно заданной параболы проще всего взять $x = t$, $y = t^2$ при $t$ от 0 до 2.
2. Выписать дифференциалы $dx = dt$ и $dy = 2t\,dt$, не потеряв производную $y'(t)$.
3. Подставить всё в подынтегральное выражение и свернуть его в функцию одного параметра $g(t) = 5t^2 - 2t^3$.
4. Взять обычный определённый интеграл в пределах от начала пути к его концу: $I = 16/3 \approx 5{,}33$.
5. Проверить ответ, замкнув путь отрезком и сравнив разность путей с произведением ротора поля на площадь между ними.