Координаты центра масс кривой: пошаговое решение

Дано: однородная дуга окружности радиуса $R = 6$ см, лежащая в первой четверти; параметризация $x = 6\cos t$, $y = 6\sin t$, $t \in [0;\, \pi/2]$. Найти: координаты центра масс $x_C$ и $y_C$.

Центр масс кривой считают криволинейным интегралом первого рода: массу дуги и два статических момента берут по длине, а потом делят момент на массу. Для однородной кривой плотность сокращается, и остаётся чистая геометрия. Ответ: $x_C = y_C = \dfrac{2R}{\pi} = \dfrac{12}{\pi} \approx 3{,}82$ см.

Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: радиус 6 см, центральный угол 90 градусов. Ползунками можно менять радиус и угол, переключаться на переменную плотность и на цепную линию, а точка C на графике сразу переезжает.

Решение по шагам

Шаг 1. Записать элемент длины дуги. Кривая задана параметрически, поэтому дифференциал длины собирается из производных координат по параметру. Дифференцируем и подставляем:

$$x'(t) = -6\sin t, \qquad y'(t) = 6\cos t,$$ $$ds = \sqrt{\left(x'\right)^2 + \left(y'\right)^2}\,dt = \sqrt{36\sin^2 t + 36\cos^2 t}\,dt = 6\,dt.$$

Основное тригонометрическое тождество свернуло подкоренное выражение в константу. Для окружности так и должно быть: приращению угла $dt$ отвечает кусочек дуги длиной $R\,dt$, и никакого корня в ответе не остаётся.

Шаг 2. Найти массу дуги. Плотность постоянна, значит масса пропорциональна длине: $m = \rho L$. Длина считается тем же интегралом первого рода от единицы:

$$L = \int_L ds = \int_0^{\pi/2} 6\,dt = 6 \cdot \frac{\pi}{2} = 3\pi \approx 9{,}425 \text{ см}.$$

Проверка на месте: четверть длины окружности равна $\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi R = 3\pi$, сходится. Подробнее про такие интегралы - в разборе длины дуги кривой.

Шаг 3. Вычислить статические моменты. Статический момент относительно оси $Oy$ содержит под интегралом абсциссу, относительно оси $Ox$ - ординату. Плотность выносим за знак интеграла:

$$M_y = \rho\int_L x\,ds = \rho\int_0^{\pi/2} 6\cos t \cdot 6\,dt = 36\rho\,\bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 36\rho,$$ $$M_x = \rho\int_L y\,ds = \rho\int_0^{\pi/2} 6\sin t \cdot 6\,dt = 36\rho\,\bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 36\rho.$$

Оба момента получились одинаковыми, и это не совпадение: дуга симметрична относительно биссектрисы $y = x$, так что менять местами $x$ и $y$ она не замечает.

Шаг 4. Поделить момент на массу. Здесь множитель $\rho$ уходит из числителя и знаменателя, поэтому конкретное значение плотности знать не нужно:

$$x_C = \frac{M_y}{m} = \frac{36\rho}{3\pi\rho} = \frac{12}{\pi} \approx 3{,}820 \text{ см}, \qquad y_C = \frac{M_x}{m} = \frac{12}{\pi} \approx 3{,}820 \text{ см}.$$

Ответ: $x_C = y_C = \dfrac{12}{\pi} \approx 3{,}82$ см, то есть $\dfrac{2R}{\pi} \approx 0{,}637R$.

Шаг 5. Проверить ответ. Точка $C$ обязана лежать на биссектрисе первой четверти - так и вышло. Её расстояние от центра окружности равно $\sqrt{2}\cdot\tfrac{12}{\pi} \approx 5{,}40$ см, что меньше радиуса 6 см: центр масс лежит внутри круга, а не на самой дуге. При этом он дальше от начала координат, чем середина хорды ($3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ см), и ближе, чем середина дуги (ровно 6 см), - так и должно быть у выпуклой дуги.

Формулы и откуда они берутся

Дугу мысленно режут на короткие кусочки длиной $ds$. Каждый кусочек считают материальной точкой с массой $dm = \rho\,ds$ и координатами $(x;\,y)$ своей точки кривой. Дальше работает обычное определение центра масс системы точек: координата равна средневзвешенной по массам. Суммы переходят в интегралы, и получается пара формул:

$$x_C = \frac{1}{m}\int_L x\,\rho(x,y)\,ds, \qquad y_C = \frac{1}{m}\int_L y\,\rho(x,y)\,ds, \qquad m = \int_L \rho(x,y)\,ds.$$

Числители - это статические моменты $M_y$ и $M_x$. Их размерность на единицу выше, чем у массы: у однородной кривой момент измеряется в квадратных сантиметрах, а длина в сантиметрах, и после деления остаются сантиметры. Быстрая проверка размерности ловит половину арифметических промахов.

Все три интеграла - криволинейные первого рода, то есть по длине дуги. Направление обхода в них роли не играет, элемент $ds$ всегда положителен, а пределы ставятся от меньшего значения параметра к большему. Этим они отличаются от интеграла второго рода, где знак меняется при смене направления: такой случай разобран отдельно в задаче на криволинейный интеграл.

Меняется только способ записать $ds$, а схема остаётся прежней:

Отдельно стоит запомнить, что центр масс дуги и центр масс фигуры, ограниченной этой дугой, - разные точки. У полуокружности как у проволоки ордината центра масс равна $\tfrac{2R}{\pi} \approx 0{,}64R$, а у полукруга как у пластины $\tfrac{4R}{3\pi} \approx 0{,}42R$. Второй случай считается по площади и разобран в задаче про центр тяжести плоской фигуры.

Дуга с переменной плотностью

Если проволока неоднородна, формулы не меняются - просто плотность остаётся под интегралом и её нельзя вынести. Возьмём ту же четверть окружности, но с линейной плотностью, равной ординате точки: $\rho = k y$. Физически это проволока, которая тем тяжелее, чем выше расположен её участок.

Масса и моменты считаются той же подстановкой $x = 6\cos t$, $y = 6\sin t$, $ds = 6\,dt$:

$$\begin{aligned} m &= \int_0^{\pi/2} k\cdot 6\sin t\cdot 6\,dt = 36k, \\ M_y &= \int_0^{\pi/2} 6\cos t\cdot k\cdot 6\sin t\cdot 6\,dt = 216k\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt = 108k, \\ M_x &= \int_0^{\pi/2} 6\sin t\cdot k\cdot 6\sin t\cdot 6\,dt = 216k\int_0^{\pi/2}\sin^2 t\,dt = 54\pi k. \end{aligned}$$

Коэффициент $k$ сокращается при делении точно так же, как раньше сокращалась постоянная плотность: $x_C = 3$ см, $y_C = \tfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ см. Центр масс уехал вверх и влево по сравнению с однородным случаем, потому что тяжёлая часть проволоки собралась у оси $Oy$, где ордината больше.

Симметрия по биссектрисе при этом пропала, поэтому оба момента приходится считать честно - подставить готовый ответ первой задачи уже нельзя.

Если кривая задана иначе: цепная линия и дуга в пространстве

Вторая ходовая кривая в этой теме - цепная линия $y = a\,\operatorname{ch}(x/a)$, форма провисающего троса. Возьмём $a = 2$ см и участок $x \in [-2;\, 2]$. Кривая задана явно, поэтому берём вторую строку таблицы, и корень снова сворачивается:

$$1 + \left(y'\right)^2 = 1 + \operatorname{sh}^2\frac{x}{a} = \operatorname{ch}^2\frac{x}{a}, \qquad ds = \operatorname{ch}\frac{x}{a}\,dx.$$

Абсцисса центра масс равна нулю без всяких вычислений: участок симметричен относительно оси $Oy$. Для ординаты нужны два интеграла, причём второй сводится к формуле понижения степени $\operatorname{ch}^2 u = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{ch} 2u\right)$:

$$L = \int_{-b}^{b}\operatorname{ch}\frac{x}{a}\,dx = 2a\operatorname{sh}\frac{b}{a} \approx 4{,}70 \text{ см}, \qquad \int_L y\,ds = a\int_{-b}^{b}\operatorname{ch}^2\frac{x}{a}\,dx = a\left(b + \frac{a}{2}\operatorname{sh}\frac{2b}{a}\right) \approx 11{,}25 \text{ см}^2.$$

Отсюда $y_C \approx 2{,}39$ см. Ответ проходит проверку на здравый смысл: вершина троса лежит на высоте $a = 2$ см, концы подняты до $2\operatorname{ch}1 \approx 3{,}09$ см, и центр масс оказался между ними, ближе к вершине - у дна кривая положе, и на единицу высоты там приходится больше длины.

Для пространственной кривой добавляется третья формула того же вида, $z_C = \tfrac{1}{m}\int_L z\,\rho\,ds$, а элемент длины получает третье слагаемое под корнем: $ds = \sqrt{\left(x'\right)^2 + \left(y'\right)^2 + \left(z'\right)^2}\,dt$. На витке винтовой линии $x = R\cos t$, $y = R\sin t$, $z = ct$ подкоренное выражение опять постоянно, а центр масс садится на ось витка ровно посередине его высоты.

Частые ошибки

• Путают, какая координата стоит в каком моменте. Под знаком $M_y$ интегрируется $x$, под знаком $M_x$ - $y$. В симметричной задаче ошибка не видна, потому что оба момента равны, а в несимметричной координаты меняются местами.
• Теряют множитель $ds$ и интегрируют $\int x\,dt$ вместо $\int x\sqrt{\left(x'\right)^2 + \left(y'\right)^2}\,dt$. На окружности промах прощается: множитель $R$ постоянен и сокращается при делении. На параболе, астроиде или цепной линии он зависит от параметра, и ответ сразу становится неверным.
• Подставляют к дуге формулу для фигуры: берут $\tfrac{4R}{3\pi}$ вместо $\tfrac{2R}{\pi}$. Это разные задачи - проволока и пластина.
• Считают середину хорды и выдают её за центр масс. Для нашей четверти окружности это дало бы 3 см вместо 3,82 см, ошибка почти на четверть.
• Расставляют пределы интегрирования по направлению обхода, как в интеграле второго рода. В интеграле первого рода нижний предел всегда меньше верхнего, иначе длина получится отрицательной.
• Тащат постоянную плотность до самого конца и путаются в размерности, хотя она сокращается. И наоборот: сокращают $\rho$, когда она переменная и выносить её за интеграл нельзя.

FAQ

Чем центр масс кривой отличается от центра тяжести плоской фигуры? Усреднением. У кривой веса берутся по длине дуги, у фигуры - по площади, поэтому у полуокружности и полукруга одного радиуса центры масс не совпадают: $0{,}64R$ против $0{,}42R$. Формула выбирается по объекту, а не по картинке.

Может ли центр масс лежать вне самой кривой? Почти всегда так и есть. Он лежит внутри выпуклой оболочки дуги, но на саму кривую попадает только в вырожденных случаях вроде отрезка прямой. Для замкнутой окружности он вообще совпадает с центром, где вещества нет.

Нужно ли знать плотность, если она постоянна? Нет. Постоянный множитель выносится за оба интеграла и сокращается при делении, поэтому для однородной кривой центр масс - чисто геометрическая характеристика, её называют центроидом дуги. Считать можно сразу через длину.

Что делать, если кривая задана в полярных координатах? Заменить $ds$ на $\sqrt{r^2 + \left(r'\right)^2}\,d\varphi$, а координаты выразить как $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$. Дальше схема прежняя: масса, два момента, деление. Техника вычисления самих интегралов - в разборе определённого интеграла.

Коротко

1. Параметризуй кривую и выпиши элемент длины: $ds = \sqrt{\left(x'\right)^2 + \left(y'\right)^2}\,dt$ для параметрического задания, $\sqrt{1 + \left(y'\right)^2}\,dx$ для явного.
2. Найди массу $m = \int_L \rho\,ds$. Для однородной кривой это просто длина, умноженная на плотность.
3. Посчитай статические моменты $M_y = \int_L x\rho\,ds$ и $M_x = \int_L y\rho\,ds$: абсцисса идёт в момент относительно $Oy$, ордината - относительно $Ox$.
4. Раздели момент на массу: $x_C = M_y/m$, $y_C = M_x/m$. Постоянная плотность сократится сама.
5. Для дуги четверти окружности радиуса 6 см получается $L = 3\pi \approx 9{,}43$ см, $M_y = M_x = 36$ (при $\rho = 1$) и ответ $x_C = y_C = \tfrac{12}{\pi} \approx 3{,}82$ см.