Как найти потенциал векторного поля: пример решения

Дано: векторное поле $\vec{a} = (yz + 2x)\,\vec{i} + (xz + 3y^2)\,\vec{j} + (xy + 1)\,\vec{k}$ и две точки, $O(0;\,0;\,0)$ и $B(1;\,2;\,3)$. Найти: потенциально ли поле, его потенциал $U$ и работу поля при перемещении из $O$ в $B$.

Решение идёт в три хода: считаем ротор и по нему решаем, существует ли потенциал; восстанавливаем $U$ последовательным интегрированием частных производных; берём разность значений потенциала на концах пути. Ответ: поле потенциально, $U = xyz + x^2 + y^3 + z + C$, работа $W = 18$. Калькулятор сверху считает работу сразу по двум разным путям и показывает, что для этого поля они дают одно и то же число.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем проекции поля. Коэффициенты при ортах $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ обозначают буквами $P$, $Q$, $R$:

$$P = yz + 2x, \qquad Q = xz + 3y^2, \qquad R = xy + 1.$$

Потенциал есть не у всякого поля. Функция $U$, для которой $\vec{a} = \operatorname{grad} U$, существует только у безвихревого поля, поэтому первым делом идёт проверка, а не интегрирование.

Шаг 2. Считаем ротор. Ротор записывают символическим определителем:

$$\operatorname{rot}\vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[4pt] P & Q & R \end{vmatrix}.$$

Раскрываем его по первой строке и подставляем свои $P$, $Q$, $R$:

$$\begin{aligned} (\operatorname{rot}\vec{a})_x &= \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = x - x = 0, \\ (\operatorname{rot}\vec{a})_y &= \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = y - y = 0, \\ (\operatorname{rot}\vec{a})_z &= \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = z - z = 0. \end{aligned}$$

Все три проекции обратились в ноль тождественно, в каждой точке пространства. Значит, $\operatorname{rot}\vec{a} = \vec{0}$ и поле потенциально. Область определения здесь всё пространство, оно односвязно, так что никаких дополнительных оговорок не потребуется.

Шаг 3. Интегрируем первую проекцию по $x$. Раз $\vec{a} = \operatorname{grad} U$, то $\partial U/\partial x = P$. Восстанавливаем $U$ обратным ходом, считая $y$ и $z$ замороженными:

$$U(x, y, z) = \int (yz + 2x)\,dx = xyz + x^2 + \varphi(y, z).$$

Обрати внимание на хвост. Вместо привычной константы интегрирования стоит целая функция $\varphi(y, z)$: при дифференцировании по $x$ исчезает любое слагаемое, в котором $x$ нет, поэтому «постоянная» здесь имеет право зависеть от остальных двух переменных. Именно её и уточняют два следующих шага.

Шаг 4. Уточняем $\varphi$ через вторую проекцию. Дифференцируем полученное выражение по $y$ и приравниваем к $Q$:

$$\frac{\partial U}{\partial y} = xz + \frac{\partial \varphi}{\partial y} = xz + 3y^2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 3y^2 .$$

Слагаемые с $xz$ взаимно сократились, и это первый сигнал, что всё идёт правильно: если бы после сокращения слева остался член, зависящий от $x$, то поле не было бы потенциальным. Интегрируем остаток по $y$:

$$\varphi(y, z) = \int 3y^2\,dy = y^3 + \psi(z).$$

Шаг 5. Уточняем $\psi$ через третью проекцию. Теперь $U = xyz + x^2 + y^3 + \psi(z)$. Дифференцируем по $z$ и приравниваем к $R$:

$$\frac{\partial U}{\partial z} = xy + \psi'(z) = xy + 1 \quad \Longrightarrow \quad \psi'(z) = 1, \qquad \psi(z) = z + C.$$

Собираем всё вместе:

$$U(x, y, z) = xyz + x^2 + y^3 + z + C.$$

Проверка занимает полминуты: берём градиент обратно и сверяем с условием. Получаем $\partial U/\partial x = yz + 2x$, $\partial U/\partial y = xz + 3y^2$, $\partial U/\partial z = xy + 1$, то есть ровно исходные проекции.

Шаг 6. Работа поля через разность потенциалов. Для потенциального поля криволинейный интеграл второго рода не зависит от формы кривой и равен приращению потенциала:

$$W = \int_{OB} \vec{a} \cdot d\vec{r} = U(B) - U(O).$$

Подставляем координаты концов:

$$\begin{aligned} U(B) &= 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1^2 + 2^3 + 3 = 6 + 1 + 8 + 3 = 18, \\ U(O) &= 0 + 0 + 0 + 0 = 0, \\ W &= 18 - 0 = 18 . \end{aligned}$$

Постоянная $C$ в ответ не попадает: она входит в оба значения одинаково и сокращается. Поэтому в задачах на работу её обычно сразу полагают нулевой.

Ответ: поле потенциально, $\operatorname{rot}\vec{a} = \vec{0}$, потенциал $U = xyz + x^2 + y^3 + z + C$, работа $W = 18$.

Формула и откуда она берётся

Поле называют потенциальным, если существует скалярная функция $U$ с условием $\vec{a} = \operatorname{grad} U$, то есть $P = U'_x$, $Q = U'_y$, $R = U'_z$. Такую $U$ и называют потенциалом. Физический смысл прямой: работа силы по перемещению точки равна убыли потенциальной энергии, а потенциал отличается от неё знаком.

Критерий проверяется через смешанные производные. Если $U$ существует и дважды непрерывно дифференцируема, то по теореме Шварца смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования: $U''_{xy} = U''_{yx}$. Первое из этих равенств переписывается как $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$, и вместе с двумя аналогичными парами это ровно условие $\operatorname{rot}\vec{a} = \vec{0}$. Поэтому нулевой ротор необходим.

Достаточным он становится при одном дополнительном требовании: область должна быть односвязной, то есть любой замкнутый контур в ней можно стянуть в точку, не выходя за пределы области. Тогда по формуле Стокса циркуляция по любому замкнутому контуру равна потоку ротора через натянутую на контур поверхность, а он нулевой. Отсюда и независимость интеграла от пути. Подробный разбор этого условия для плоского случая разобран в статье про независимость криволинейного интеграла от пути, а сам оператор ротора и его напарник дивергенция разобраны в материале про ротор и дивергенцию векторного поля.

Схема восстановления потенциала всегда одинакова и не зависит от размерности: интегрируем первую проекцию по своей переменной, потом последовательно уточняем «константу» по остальным проекциям. Каждый следующий шаг обязан дать функцию, в которой уже пройденных переменных нет; если она появилась, где-то ошибка в арифметике или поле вообще не потенциально.

Проверка ответа: интеграл по ломаной

Независимость от пути можно использовать как проверку. Возьмём вместо произвольной кривой ломаную, идущую по осям: сначала из $O(0;\,0;\,0)$ в $(1;\,0;\,0)$, потом в $(1;\,2;\,0)$ и наконец в $(1;\,2;\,3)$. На каждом звене две переменные заморожены, и криволинейный интеграл превращается в обычный определённый интеграл от одной переменной.

Сумма равна $1 + 8 + 9 = 18$, то есть в точности разности потенциалов. Тот же результат даёт и прямой отрезок с параметризацией $x = t$, $y = 2t$, $z = 3t$: подынтегральное выражение сводится к $42t^2 + 2t + 3$, а его интеграл от нуля до единицы снова равен $18$. Именно эти две кривые и рисует калькулятор сверху: у потенциального поля они приходят в общую точку, а стоит переключиться на поле с ненулевым ротором, как концы расходятся. Техника сведения к параметру подробно разобрана в разборе про то, как вычислить криволинейный интеграл.

Плоский случай и другие формулировки условия

На плоскости поле имеет две проекции, $\vec{a} = P\,\vec{i} + Q\,\vec{j}$, и от трёх равенств остаётся одно:

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.$$

Это то же самое условие: у плоского поля отличной от нуля может быть только третья проекция ротора. Сам потенциал восстанавливают в два шага вместо трёх. Например, для $\vec{a} = (3x^2 + 2y)\,\vec{i} + (2x - 4y^3)\,\vec{j}$ обе производные равны $2$, поэтому $U = x^3 + 2xy - y^4 + C$.

Формулировка условия в задачах меняется, суть нет. «Является ли выражение $P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ полным дифференциалом» - это тот же вопрос, ведь $dU = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$. «Не зависит ли интеграл от пути», «равна ли нулю циркуляция по любому замкнутому контуру», «безвихревое ли поле» - все эти вопросы проверяются одним и тем же расчётом ротора. Если же поле задано не проекциями, а как $\vec{a} = f(r)\,\vec{r}$, то есть центрально-симметричным, оно потенциально автоматически, и потенциал ищут интегрированием $f(r)$ по модулю радиус-вектора.

Отдельно стоит держать в голове связь с градиентом: потенциал восстанавливают ровно обратным ходом к тому, как находят градиент функции. Поэтому проверка ответа всегда одна и та же - продифференцировать найденную $U$ и сравнить с условием.

Частые ошибки

• Интегрировать, не проверив ротор. Если поле не потенциально, схема всё равно «сработает» на первых шагах, но на последнем в уравнении останется лишняя переменная, и студент просто отбрасывает её, получая неверный ответ.
• Писать обычную константу вместо функции. После интегрирования по $x$ добавка обязана быть функцией $\varphi(y, z)$, а не числом $C$: иначе потенциал теряет все слагаемые, где нет $x$.
• Путать порядок в проекциях ротора. В первой проекции стоит $\partial R/\partial y - \partial Q/\partial z$, а не наоборот. Перестановка меняет знак, и вместо нуля получается ненулевой ответ только из-за ошибки в записи.
• Забывать про односвязность. Классический контрпример: поле $P = -y/(x^2+y^2)$, $Q = x/(x^2+y^2)$ имеет нулевой ротор всюду, кроме начала координат, но в кольце вокруг этой точки интеграл по замкнутому контуру равен $2\pi$.
• Подставлять точки в неверном порядке. Работа равна $U(B) - U(A)$, от конца к началу. Перестановка даёт ответ с обратным знаком.
• Тащить постоянную $C$ в числовой ответ. В работе она сокращается, в самом потенциале её пишут обязательно.

FAQ

Чем потенциал отличается от потенциальной энергии? Знаком. Потенциал $U$ определяют условием $\vec{a} = \operatorname{grad} U$, а потенциальную энергию $\Pi$ в физике - условием $\vec{F} = -\operatorname{grad}\Pi$. Поэтому $\Pi = -U$, и работа поля равна $U(B) - U(A) = \Pi(A) - \Pi(B)$, то есть убыли энергии.

Можно ли интегрировать сначала по $y$, а не по $x$? Да, порядок произволен. Начни с $Q$ по $y$, затем уточняй добавку через $P$ и $R$. Ответ получится тот же с точностью до постоянной, и это удобный приём, когда вторая проекция проще первой.

Что делать, если ротор не равен нулю? Потенциала нет, и формула через разность значений неприменима. Работу тогда считают честно: параметризуют конкретную кривую и берут криволинейный интеграл второго рода, а для замкнутого контура удобна формула Стокса или формула Грина на плоскости.

Как проверить ответ, если под рукой нет калькулятора? Продифференцировать найденную $U$ по всем трём переменным и сравнить с $P$, $Q$, $R$. Эта проверка занимает меньше минуты и ловит практически любую ошибку в интегрировании.

Коротко

1. Выписать проекции $P$, $Q$, $R$ и посчитать три проекции ротора; если хотя бы одна не равна нулю тождественно, потенциала нет.
2. Проинтегрировать $P$ по $x$, добавив функцию $\varphi(y, z)$ вместо константы.
3. Продифференцировать результат по $y$, приравнять к $Q$ и найти $\varphi$ с точностью до $\psi(z)$.
4. Продифференцировать по $z$, приравнять к $R$ и найти $\psi$; собрать потенциал и проверить его обратным дифференцированием.
5. Для поля из условия получается $U = xyz + x^2 + y^3 + z + C$, а работа от $O(0;\,0;\,0)$ до $B(1;\,2;\,3)$ равна $U(B) - U(O) = 18$.