Как найти неопределённый интеграл: три примера

Дано: три интеграла - $\int (6x^{2} - 4x + 5)\,dx$, $\int \dfrac{x}{x^{2} + 4}\,dx$ и $\int \ln x\,dx$. Найти: первообразную каждой подынтегральной функции и проверить ответ дифференцированием.

Найти неопределённый интеграл функции - значит подобрать такую функцию $F(x)$, производная которой равна подынтегральной, и приписать к ней произвольную постоянную $C$. Способов ровно три: узнать табличную формулу, свернуть интеграл заменой переменной или разбить его по частям. Ответы: $2x^{3} - 2x^{2} + 5x + C$, $\dfrac{1}{2}\ln(x^{2} + 4) + C$ и $x\ln x - x + C$.

Калькулятор сверху собран из этих же трёх случаев: переключатель задаёт метод, ползунки меняют коэффициенты, а график показывает подынтегральную функцию, первообразную и её соседей по семейству. По умолчанию в нём стоит первый интеграл условия.

Решение по шагам

Шаг 1. Смотрим на подынтегральную функцию и выбираем метод. Порядок такой: сначала проверяем, нет ли готовой табличной формулы; если нет, ищем внутри функции сложный аргумент и рядом его производную - это признак замены; если и замены нет, а под интегралом стоит произведение разнородных множителей или одинокий логарифм, идёт формула по частям. Первый интеграл - многочлен, второй содержит квадрат и рядом множитель $x$, третий состоит из одного логарифма, так что каждому примеру достаётся свой метод.

Шаг 2. Первый интеграл берём по таблице. Интеграл суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель выносится за знак интеграла, поэтому многочлен интегрируется почленно по формуле $\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

$$\int (6x^{2} - 4x + 5)\,dx = 6\cdot\frac{x^{3}}{3} - 4\cdot\frac{x^{2}}{2} + 5x + C = 2x^{3} - 2x^{2} + 5x + C.$$

Каждая степень поднялась на единицу и разделилась на новый показатель. Постоянная $C$ пишется одна на весь ответ: три отдельные константы от трёх слагаемых всё равно складываются в одну произвольную.

Шаг 3. Второй интеграл сворачиваем заменой. В знаменателе стоит $x^{2} + 4$, а в числителе - множитель $x$, который с точностью до двойки равен производной знаменателя. Это и есть повод для подстановки:

$$t = x^{2} + 4, \qquad dt = 2x\,dx, \qquad x\,dx = \frac{dt}{2}.$$

Подставляем и получаем табличный интеграл от $1/t$:

$$\int \frac{x\,dx}{x^{2} + 4} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\ln|t| + C = \frac{1}{2}\ln(x^{2} + 4) + C.$$

Модуль в ответе не нужен: выражение $x^{2} + 4$ положительно при любом $x$. Возврат к исходной переменной обязателен - ответ с буквой $t$ считается незаконченным.

Шаг 4. Третий интеграл разбиваем по частям. Таблица логарифма не содержит, заменить тоже нечего, зато $\ln x$ хорошо дифференцируется. Берём $u = \ln x$, $dv = dx$, тогда $du = \dfrac{dx}{x}$, $v = x$, и по формуле $\int u\,dv = uv - \int v\,du$:

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{dx}{x} = x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C.$$

Остаточный интеграл оказался самым простым из табличных - это признак верного распределения ролей между $u$ и $dv$. Разбор сложных случаев с произведением многочлена на экспоненту и с циклическим возвратом интеграла - в отдельном разборе про интегрирование по частям.

Ответ. $\int (6x^{2} - 4x + 5)\,dx = 2x^{3} - 2x^{2} + 5x + C$; $\int \dfrac{x\,dx}{x^{2} + 4} = \dfrac{1}{2}\ln(x^{2} + 4) + C$; $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$.

Проверка ответа дифференцированием

У неопределённого интеграла есть роскошь, которой нет у большинства задач: ответ проверяется за полминуты и без сверки с решебником. Достаточно продифференцировать найденную первообразную - должна получиться подынтегральная функция.

Первый пример: $(2x^{3} - 2x^{2} + 5x + C)' = 6x^{2} - 4x + 5$. Сошлось.

Второй: производная логарифма берётся как производная сложной функции, поэтому

$$\left(\frac{1}{2}\ln(x^{2} + 4)\right)' = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2} + 4} = \frac{x}{x^{2} + 4}.$$

Третий: $(x\ln x - x)' = \ln x + x\cdot\dfrac{1}{x} - 1 = \ln x$. Единица, полученная от произведения, гасится минус единицей - именно поэтому в ответе стоит $-x$, а не что-то другое.

Проверку удобно делать и численно: возьми любую точку, посчитай в ней производную первообразной и значение подынтегральной функции. В калькуляторе сверху это показано в трёх плитках: значение $F(x_0) + C$, её производная и $f(x_0)$. Второе и третье числа обязаны совпадать при любом положении ползунков.

Постоянная C: зачем она и что означает на графике

Производная постоянной равна нулю, поэтому функции $F(x)$, $F(x) + 3$ и $F(x) - 7$ дают одну и ту же подынтегральную функцию. Значит, первообразная не одна, а целое семейство кривых, полученных друг из друга вертикальным сдвигом. Именно это семейство рисуют серые пунктиры на графике калькулятора: сдвинь ползунок $C$ - вся картина поедет вверх или вниз, а наклон в каждой точке останется прежним.

Отсюда и смысл записи $\int f(x)\,dx = F(x) + C$: неопределённый интеграл - это не одна функция, а множество всех первообразных. Потерянная $C$ - самая дешёвая ошибка в контрольной и одна из самых частых.

Геометрически наклон касательной к первообразной в точке $x_0$ равен значению $f(x_0)$. Там, где подынтегральная функция положительна, первообразная растёт; где отрицательна - убывает; где $f$ обращается в ноль, у первообразной горизонтальная касательная и, как правило, экстремум. Зелёный пунктир в калькуляторе - как раз такая касательная.

Таблица первообразных, которой хватает в 90 процентах задач

Корни и дроби перед интегрированием приводят к степеням: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\dfrac{1}{x^{3}} = x^{-3}$. После этого работает всё та же первая строка таблицы. Например, $\int \sqrt{x}\,dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

Замена или по частям: как выбрать за три секунды

Замена подходит, когда подынтегральное выражение устроено как «сложная функция, умноженная на производную своего аргумента». Признак - увидел внутри $x^{2} + 4$, посмотри, нет ли рядом множителя $x$; увидел $\sin x$, поищи $\cos x\,dx$. Если производная аргумента отличается только постоянным множителем, это не помеха: константу выносят, как во втором примере.

По частям идут произведения, которые от замены не упрощаются: многочлен на экспоненту, многочлен на синус, а также одинокие $\ln x$, $\operatorname{arctg} x$, $\arcsin x$, у которых нет табличной первообразной, зато производная простая. Правило выбора $u$ короткое: в $u$ уходит то, что при дифференцировании упрощается, в $dv$ - то, что легко интегрируется.

Есть и третий признак, чисто практический. Примени метод и посмотри на результат: если интеграл стал проще, направление верное; если усложнился, метод выбран не тот, и стоит вернуться на шаг назад. Ошибочный выбор здесь ничего не стоит, кроме пары минут.

Частые ошибки

• Потерянная постоянная $C$. Без неё ответ формально неверен: записано одно решение вместо всего семейства.
• Формула степени при $n = -1$. $\int \dfrac{dx}{x}$ равен $\ln|x|$, а не $\dfrac{x^{0}}{0}$; это отдельная строка таблицы.
• Забытый возврат к исходной переменной. После замены ответ с буквой $t$ не засчитывается: нужно подставить обратно $t = x^{2} + 4$.
• Интеграл произведения как произведение интегралов. Свойство линейности работает для суммы и постоянного множителя, но не для произведения и частного двух функций.
• Потерянный знак у $\int \sin x\,dx$. Первообразная синуса - минус косинус; при дифференцировании минусы взаимно уничтожаются, а при интегрировании - появляются.
• Множитель при сложном аргументе. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{e^{3x}}{3} + C$, а не $e^{3x} + C$: линейная подстановка добавляет деление на коэффициент.

FAQ

Чем неопределённый интеграл отличается от определённого? Неопределённый - это функция, точнее семейство функций $F(x) + C$. Определённый - число, которое считают по формуле Ньютона-Лейбница как разность значений той же первообразной на концах отрезка; подробный разбор с пределами интегрирования есть в задаче про определённый интеграл. Постоянная $C$ там сокращается, поэтому её и не пишут.

Всегда ли интеграл берётся в элементарных функциях? Нет. У $e^{-x^{2}}$, $\dfrac{\sin x}{x}$ и $\dfrac{1}{\ln x}$ первообразные существуют, но не выражаются через элементарные функции. В учебных задачах такие интегралы не встречаются, а на практике их считают численно.

Как понять, что ответ верный, если в задачнике он записан иначе? Продифференцируй свой ответ. Если производная совпала с подынтегральной функцией, ответ верен, даже когда выглядит не как в книге: две первообразные одной функции отличаются только постоянной. Классический пример - $\dfrac{1}{2}\ln(x^{2} + 4)$ и $\ln\sqrt{x^{2} + 4}$ - это одно и то же.

Зачем вообще нужна первообразная? Через неё считают площади, объёмы, пройденный путь по скорости, работу переменной силы и вероятности по плотности распределения. Ближайший пример - вычисление площади фигуры интегралом, где первообразная является промежуточным шагом.

Коротко

1. Найти неопределённый интеграл - подобрать $F(x)$ с условием $F'(x) = f(x)$ и приписать $C$.
2. Сначала пробуй таблицу: многочлены, степени, корни и дроби интегрируются почленно по формуле $\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
3. Увидел сложный аргумент и рядом его производную - делай замену, после решения возвращайся к $x$.
4. Произведение разнородных множителей или одинокий логарифм - формула по частям $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
5. Ответы примеров: $2x^{3} - 2x^{2} + 5x + C$, $\dfrac{1}{2}\ln(x^{2} + 4) + C$, $x\ln x - x + C$; каждый проверен дифференцированием.