Как вычислить двойной интеграл: разбор задачи

Дано: подынтегральная функция $f(x, y) = x + 2y$, область $D$ ограничена параболой $y = x^2$ и прямой $y = x + 2$. Найти: значение двойного интеграла $\iint\limits_D (x + 2y)\, dx\, dy$.

Метод один: двойной интеграл сводится к повторному. Сначала интегрируем по $y$ от нижней границы области до верхней, считая $x$ постоянным, а потом полученную функцию одной переменной интегрируем по $x$ между абсциссами точек пересечения линий. Ответ: $I = \dfrac{333}{20} = 16{,}65$. Калькулятор сверху решает эту же задачу для любых коэффициентов и рисует область вместе с полоской интегрирования.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим пределы по x. Граничные линии пересекаются там, где совпадают их ординаты:

$$x^2 = x + 2 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = -1, \quad x_2 = 2.$$

Проекция области на ось $Ox$ - отрезок $[-1;\, 2]$. Теперь проверяем пробной точкой, какая линия идёт выше. При $x = 0$ парабола даёт $y = 0$, прямая даёт $y = 2$, поэтому на всём отрезке верхняя граница - прямая, нижняя - парабола. Область правильная в направлении оси $Oy$: любая вертикальная прямая пересекает её границу ровно в двух точках, и разбивать ничего не нужно.

Шаг 2. Записываем повторный интеграл. Внешние пределы обязаны быть числами, внутренние - функциями от $x$:

$$I = \int\limits_{-1}^{2} dx \int\limits_{x^2}^{x+2} (x + 2y)\, dy.$$

Шаг 3. Берём внутренний интеграл. Интегрируем по $y$, а $x$ на этом шаге считаем постоянной величиной. Внутри это обычный определённый интеграл, только переменная в нём $y$, а буква $x$ ведёт себя как число:

$$\int\limits_{x^2}^{x+2} (x + 2y)\, dy = \left. \left( xy + y^2 \right) \right|_{y = x^2}^{y = x + 2}.$$

Подставляем сначала верхний предел, затем нижний и приводим подобные:

$$\begin{aligned} \left. \left( xy + y^2 \right) \right|_{y = x^2}^{y = x + 2} &= x(x + 2) + (x + 2)^2 - \left( x \cdot x^2 + \left( x^2 \right)^2 \right) \\ &= x^2 + 2x + x^2 + 4x + 4 - x^3 - x^4 \\ &= -x^4 - x^3 + 2x^2 + 6x + 4. \end{aligned}$$

Получился многочлен от одной переменной, и это главный признак того, что шаг сделан верно: переменная $y$ исчезла вместе с пределами, а $x$ остался. Если после внутреннего интегрирования вышло голое число, значит, пределы подставлены не в ту переменную.

Шаг 4. Берём внешний интеграл. Осталась задача из первого семестра:

$$I = \int\limits_{-1}^{2} \left( -x^4 - x^3 + 2x^2 + 6x + 4 \right) dx = \left. \left( -\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 3x^2 + 4x \right) \right|_{-1}^{2}.$$

Шаг 5. Подставляем пределы и считаем.

$$\begin{aligned} F(2) &= -\frac{32}{5} - 4 + \frac{16}{3} + 12 + 8 = \frac{224}{15}, \\ F(-1) &= \frac{1}{5} - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 3 - 4 = -\frac{103}{60}, \\ I &= \frac{224}{15} + \frac{103}{60} = \frac{896 + 103}{60} = \frac{999}{60} = \frac{333}{20}. \end{aligned}$$

Ответ: $I = \dfrac{333}{20} = 16{,}65$.

Формула и откуда она берётся

Двойной интеграл определяется как предел интегральных сумм: область дробят на мелкие кусочки площадью $\Delta S_i$, в каждом берут значение функции и складывают произведения $f(x_i, y_i)\, \Delta S_i$. Считать такой предел напрямую невозможно, поэтому его сводят к двум одномерным интегрированиям. Право на такую замену даёт теорема Фубини: если функция непрерывна на замкнутой ограниченной области, двойной интеграл равен повторному, а порядок интегрирования на результат не влияет.

Практическая формула выглядит так. Пусть область правильная в направлении оси $Oy$, то есть задана неравенствами $a \leqslant x \leqslant b$ и $\varphi_1(x) \leqslant y \leqslant \varphi_2(x)$. Тогда

$$\iint\limits_D f(x, y)\, dx\, dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\, dy.$$

Здесь $a$ и $b$ - крайние абсциссы области, а $\varphi_1$ и $\varphi_2$ - нижняя и верхняя границы, по которым проходит вертикальная полоска. Смысл записи буквальный: сначала складываем значения функции вдоль одной вертикальной полоски (внутренний интеграл), получаем её вклад как функцию от положения полоски, а затем суммируем вклады всех полосок по $x$. Именно эта полоска и нарисована в калькуляторе сверху: ползунок сечения двигает её по области, а число рядом показывает значение внутреннего интеграла в текущем положении.

Отсюда же следует, откуда берутся пределы. Внешние пределы всегда постоянны, потому что суммирование по полоскам заканчивается краями проекции. Внутренние пределы почти всегда переменные, ведь длина полоски зависит от того, где она стоит. Запись, в которой переменная $x$ осталась во внешних пределах, бессмысленна: ответ обязан быть числом.

Смена порядка интегрирования: проверка ответа

Теорема Фубини разрешает считать в порядке $dx\, dy$, и это лучшая проверка ответа, потому что ошибка в пределах почти никогда не повторяется дважды одинаково. Описываем ту же область горизонтальными полосками. Из неравенства $y \geqslant x^2$ следует $-\sqrt{y} \leqslant x \leqslant \sqrt{y}$, а из $y \leqslant x + 2$ следует $x \geqslant y - 2$.

Здесь и вылезает подвох: левая граница у горизонтальной полоски разная на разных высотах. Ниже уровня $y = 1$ (это ордината левой точки пересечения) слева стоит парабола, выше - прямая. Значит, область приходится резать на две части:

$$I = \int\limits_0^1 dy \int\limits_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (x + 2y)\, dx + \int\limits_1^4 dy \int\limits_{y-2}^{\sqrt{y}} (x + 2y)\, dx.$$

Первый кусок считается устно: внутренний интеграл равен $\left. \left( \frac{x^2}{2} + 2xy \right) \right|_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = 4y^{3/2}$, и после интегрирования по $y$ от $0$ до $1$ получаем $\frac{8}{5} = 1{,}6$. Второй кусок даёт $15{,}05$. В сумме $1{,}6 + 15{,}05 = 16{,}65$ - ровно то же число, что и в первом способе.

Вывод для практики: порядок выбирают не наугад, а по форме области и по подынтегральной функции. Здесь порядок $dy\, dx$ требует одного интеграла, а обратный - двух, поэтому первый способ короче. Переключатель в калькуляторе показывает оба варианта: он рисует горизонтальную полоску и отмечает пунктиром тот уровень, на котором левая граница меняет природу.

Площадь и объём как частные случаи

Если положить $f(x, y) = 1$, двойной интеграл превращается в площадь области:

$$S = \iint\limits_D dx\, dy = \int\limits_{-1}^{2} \left( x + 2 - x^2 \right) dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{2} = 4{,}5.$$

Тот же ответ даёт одномерная формула «интеграл от разности верхней и нижней функций», разобранная в задаче про площадь фигуры интегралом. Совпадение не случайно: внутренний интеграл от единицы как раз и равен длине вертикальной полоски, то есть разности границ.

Второй классический смысл - объём. Если $f(x, y) \geqslant 0$ на всей области, двойной интеграл равен объёму цилиндрического тела: снизу область $D$, сверху поверхность $z = f(x, y)$, с боков вертикальная стенка. В нашей задаче функция $x + 2y$ у нижней границы отрицательна: в точке $(-0{,}25;\, 0{,}0625)$ она равна $-0{,}125$. Поэтому число $16{,}65$ - это объём со знаком, а не геометрический объём. Для тел вращения объём проще искать одномерным интегралом, как в разборе про объём тела вращения.

Отдельный сюжет - круговые области. Когда границы задаются окружностью, а в функции стоит комбинация $x^2 + y^2$, декартовы пределы получаются с корнями, и разумнее перейти к полярным координатам, не забыв про множитель $r$: подробный вывод есть в статье про якобиан полярных координат.

Тот же двойной интеграл иногда берут в обход повторного интегрирования: если внутренний интеграл не выражается в элементарных функциях, помогает приём с дифференцированием интеграла по параметру.

Частые ошибки

• Пределы перепутаны местами. Нижней границей должна быть та линия, что действительно идёт ниже на всём отрезке. Проверка занимает секунду: подставить любую внутреннюю точку, например $x = 0$, и сравнить ординаты. Перестановка границ меняет знак ответа.
• Область не проверена на правильность. Если вертикальная прямая пересекает границу более чем в двух точках, область нужно разбить на части. Формула с одной парой границ в таком случае даёт заведомо неверное число.
• Механическая перестановка дифференциалов. Записать $\int_0^1 dy \int_{x^2}^{x+2} dx$, просто поменяв буквы местами, нельзя: при смене порядка пределы пересчитываются заново по чертежу, и здесь их даже становится две пары.
• Переменная во внешних пределах. Если во внешнем интеграле остался $x$ или после подстановки не исчез $y$, значит, интегрирование шло не по той переменной. Результат внешнего интеграла всегда число.
• Забытый якобиан. При переходе к полярным координатам площадь элемента равна $r\, dr\, d\varphi$, а не $dr\, d\varphi$. Потерянный множитель $r$ - самая частая потеря баллов на экзамене.
• Отрицательный ответ считают ошибкой. Двойной интеграл отрицателен, когда функция на области преимущественно ниже нуля. Ошибкой это становится только тогда, когда по условию требовалась площадь или геометрический объём.

FAQ

Чем двойной интеграл отличается от повторного? Двойной интеграл - предел сумм по области, объект геометрический. Повторный - два обычных интегрирования подряд, объект вычислительный. Для непрерывной функции на нормальной области они совпадают по теореме Фубини, и на практике вычисляют всегда повторный.

Всегда ли можно менять порядок интегрирования? Для непрерывной функции на замкнутой ограниченной области - да, значение не изменится. Меняется только трудоёмкость: одна из расстановок может потребовать разбиения области на части, как в нашем примере, где порядок $dx\, dy$ даёт два интеграла вместо одного.

Что делать, если область неправильная ни в одном направлении? Разбить её прямыми на куски, каждый из которых правилен, посчитать интегралы по кускам и сложить. Двойной интеграл аддитивен по области, поэтому такое разбиение законно при любом числе частей.

Как быстро проверить ответ? Оценить его по теореме о среднем: значение обязано лежать между $m \cdot S$ и $M \cdot S$, где $m$ и $M$ - наименьшее и наибольшее значения функции на области. Здесь $S = 4{,}5$, функция меняется примерно от $-0{,}13$ до $10$, поэтому интеграл обязан попасть в промежуток от $-0{,}6$ до $45$. Число $16{,}65$ попадает, средняя высота $16{,}65 / 4{,}5 = 3{,}7$ выглядит правдоподобно.

Коротко

1. Построить область и найти абсциссы точек пересечения границ: $x^2 = x + 2$ даёт $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
2. Определить пробной точкой, какая линия сверху, и записать повторный интеграл: внешние пределы числа, внутренние функции от $x$.
3. Взять внутренний интеграл по $y$, считая $x$ постоянным; в ответе должен остаться многочлен от $x$, здесь $-x^4 - x^3 + 2x^2 + 6x + 4$.
4. Взять внешний интеграл по $x$ от $-1$ до $2$ по формуле Ньютона-Лейбница и получить $I = \dfrac{333}{20} = 16{,}65$.
5. Проверить ответ сменой порядка: $1{,}6 + 15{,}05 = 16{,}65$, а заодно убедиться, что оценка $m \cdot S \leqslant I \leqslant M \cdot S$ выполняется.