Площадь поверхности вращения функции: разбор задачи

Дано: дуга кривой $y = \sqrt{x}$ на отрезке $x \in [0;\,2]$, ось вращения $Ox$. Найти: площадь $S$ полученной поверхности.

Площадь поверхности, заданной функцией $y = f(x)$ и повёрнутой вокруг оси $Ox$, считают по формуле $S = 2\pi\int_a^b y\sqrt{1 + (y')^2}\,dx$. Здесь произведение ординаты на элемент дуги красиво сворачивается, корень остаётся один, и интеграл берётся простой подстановкой. Ответ: $S = \dfrac{13\pi}{3} \approx 13{,}61$. Калькулятор сверху строит осевое сечение поверхности, выделяет элементарный поясок и пересчитывает площадь для четырёх типовых образующих.

Решение по шагам

Дано: $y = \sqrt{x}$, нижний предел $a = 0$, верхний предел $b = 2$, вращение вокруг оси $Ox$. Найти: $S$.

Шаг 1. Находим производную. Записываем корень степенью и дифференцируем:

$$y = x^{1/2}, \qquad y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Шаг 2. Собираем подкоренное выражение. Производная входит в формулу в квадрате, поэтому дробь под корнем приводится к общему знаменателю:

$$1 + (y')^2 = 1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x + 1}{4x}, \qquad \sqrt{1 + (y')^2} = \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}}.$$

Шаг 3. Упрощаем произведение. Это ключевой шаг всей задачи: множитель $y = \sqrt{x}$ сокращается со знаменателем, и от двухэтажной дроби не остаётся следа:

$$y\sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{x}\cdot\frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{4x + 1}}{2}.$$

Шаг 4. Составляем и берём интеграл. Двойку из знаменателя гасим множителем $2\pi$, а корень интегрируем подстановкой $u = 4x + 1$, откуда $du = 4\,dx$ и пределы $u$ меняются с $1$ на $9$:

$$S = 2\pi\int_0^2 \frac{\sqrt{4x + 1}}{2}\,dx = \pi\int_0^2 \sqrt{4x + 1}\,dx = \frac{\pi}{4}\int_1^9 \sqrt{u}\,du.$$

Шаг 5. Подставляем пределы. Первообразная от $\sqrt{u}$ равна $\frac{2}{3}u^{3/2}$, а $9^{3/2} = 27$:

$$S = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_1^9 = \frac{\pi}{6}\left(27 - 1\right) = \frac{26\pi}{6} = \frac{13\pi}{3}.$$

Ответ: $S = \dfrac{13\pi}{3} \approx 13{,}61$ квадратной единицы.

Обрати внимание на тонкость в нуле. Производная $y'$ там не существует: касательная к параболе $y = \sqrt{x}$ в начале координат вертикальна. Но подынтегральная функция после третьего шага превратилась в $\frac{1}{2}\sqrt{4x + 1}$, а она непрерывна на всём отрезке, включая левый конец. Значит, интеграл обычный, а не несобственный, и никаких предельных переходов писать не нужно.

Формула и откуда она берётся

Разрежем поверхность плоскостями, перпендикулярными оси вращения, на тонкие кольца. Каждое кольцо получается вращением крошечного кусочка дуги длиной $ds$, который стоит на расстоянии $y$ от оси. Развернув такое кольцо, получаем узкую полоску длиной $2\pi y$ (это окружность, которую описывает точка) и шириной $ds$. Отсюда элемент площади:

$$dS = 2\pi y\,ds, \qquad ds = \sqrt{1 + (y')^2}\,dx.$$

Суммирование полосок по отрезку и даёт рабочую формулу. Ширина полоски меряется вдоль самой кривой, а не вдоль оси, и в этом вся суть: элемент дуги $ds$ подробно разобран в задаче про длину дуги кривой, здесь мы просто пользуемся готовым выражением.

Строго говоря, кольцо это не цилиндр, а боковая поверхность усечённого конуса с радиусами $y$ и $y + dy$ и образующей $ds$. Её площадь равна $\pi(y_1 + y_2)\,ds$, и при стремлении шага к нулю оба радиуса сливаются в один, превращая множитель в $2\pi y$. Именно поэтому в формуле стоит наклонная длина, а не горизонтальная проекция.

Вращение вокруг оси Oy и другие способы задать кривую

Ось вращения меняет только радиус кольца, а элемент дуги остаётся прежним. При повороте вокруг $Oy$ точка кривой удалена от оси на расстояние $x$, поэтому в подынтегральное выражение вместо ординаты идёт абсцисса.

Разберём вариацию на числах. Пусть парабола $y = x^2$ на отрезке $[0;\,2]$ вращается вокруг оси $Oy$. Тогда $y' = 2x$, подынтегральное выражение равно $x\sqrt{1 + 4x^2}$, и подстановка $u = 1 + 4x^2$ даёт $S = \frac{\pi}{6}\left(17\sqrt{17} - 1\right) \approx 36{,}18$. Ту же кривую и тот же отрезок можно прогнать через калькулятор сверху, выбрав чип с параболой.

Не путай эту задачу с двумя соседними. Площадь плоской фигуры под кривой ищется без всякого корня, одним интегралом от функции, а объём тела вращения собирается из дисков и содержит квадрат ординаты. Площадь поверхности стоит между ними: у неё первая степень ординаты, зато добавлен множитель с производной.

Проверка ответа: конус, цилиндр и теорема Гульдина

Первая прикидка. Заменим дугу хордой, соединяющей концы $A(0;\,0)$ и $B(2;\,\sqrt{2})$. Получится боковая поверхность конуса с радиусом $\sqrt{2}$ и образующей $\sqrt{6}$, то есть $\pi\sqrt{2}\cdot\sqrt{6} = 2\sqrt{3}\,\pi \approx 10{,}88$. Хорда короче дуги и лежит ниже неё, поэтому такая оценка обязана быть меньше ответа, и она меньше.

Вторая прикидка сверху. Опишем вокруг поверхности цилиндр радиуса $\sqrt{2}$ и длины $2$: его боковая поверхность равна $2\pi\sqrt{2}\cdot 2 \approx 17{,}77$. Настоящее значение $13{,}61$ аккуратно легло между двумя оценками, значит порядок величины верный.

Третья проверка тоньше. По теореме Гульдина площадь поверхности вращения равна произведению длины образующей дуги на путь её центра тяжести: $S = 2\pi y_c L$. Калькулятор считает длину дуги $L \approx 2{,}562$, откуда $y_c = S/(2\pi L) \approx 0{,}846$. Значение попало между нулём и $\sqrt{2} \approx 1{,}414$, ближе к верхнему концу, что согласуется с формой кривой: большая часть дуги лежит выше середины.

Отдельный красивый частный случай даёт полуокружность $y = \sqrt{R^2 - x^2}$. У неё $\sqrt{1 + (y')^2} = R/\sqrt{R^2 - x^2}$, произведение с ординатой равно просто $R$, и площадь пояса выходит $2\pi R h$, где $h$ это высота пояса вдоль оси. Ровно эта формула разобрана в статье про площадь поверхности шарового сегмента: площадь зависит только от высоты и не зависит от того, у экватора вырезан пояс или у полюса.

Подынтегральная функция здесь всегда неотрицательна, поэтому приём с нулевым интегралом от нечётной функции тут не работает: обнуляется только сам интеграл от нечётной, а корень $\sqrt{1+y'^2}$ остаётся чётным и вклад даёт всегда.

Частые ошибки

• Забыт корень с производной. Интеграл $2\pi\int y\,dx$ считает не площадь поверхности, а удвоенную площадь плоской фигуры под кривой. Множитель $\sqrt{1 + (y')^2}$ отличается от единицы всюду, кроме горизонтальных участков.
• Ордината возведена в квадрат. Квадрат стоит в формуле объёма тела вращения, а в площади поверхности ордината входит в первой степени. Перепутанные формулы дают ответ с неправильной размерностью.
• Пределы взяты по $y$, а интегрирование идёт по $x$. При вращении вокруг $Oy$ можно работать и по $x$, и по $y$, но подынтегральное выражение и пределы обязаны относиться к одной переменной.
• Потерян модуль ординаты. Формула требует расстояния до оси, то есть $|y|$. Если кривая уходит под ось $Ox$, площадь всё равно положительна, и знак минус нужно снять до интегрирования.
• Вертикальная касательная принята за разрыв. Бесконечная производная на конце отрезка ещё не делает интеграл несобственным: сначала упрости произведение $y\sqrt{1 + (y')^2}$ и только потом смотри на непрерывность.
• Ответ округлён слишком рано. Дробь $13/3$ стоит держать точной до последней строки: округление $\pi$ и корней на промежуточных шагах уводит результат в третьем знаке.

FAQ

Чем площадь поверхности вращения отличается от площади плоской фигуры? Плоская фигура ограничена кривой и осью, её площадь равна интегралу от самой функции и разобрана в задаче про площадь фигуры через интеграл. Поверхность вращения это оболочка трёхмерного тела, и в её интеграле появляется элемент дуги с производной.

Можно ли считать площадь, если функция задана неявно? Да, но кривую сначала параметризуют или разбивают на однозначные ветви. Для окружности, астроиды и циклоиды удобнее сразу перейти к параметрической формуле из таблицы выше: там нет деления на производную и особенности в точках возврата исчезают.

Что делать, если интеграл не берётся в элементарных функциях? Это обычная ситуация: уже для параболы $y = x^2$ вокруг $Ox$ первообразная содержит логарифм, а для синусоиды её нет вовсе. Тогда считают численно, например определённый интеграл по формуле Симпсона, и записывают ответ с указанной точностью.

Нужно ли добавлять площадь оснований? Только если в условии спрашивают полную поверхность тела. Формула с интегралом даёт лишь боковую часть, полученную вращением дуги; торцевые круги радиусов $f(a)$ и $f(b)$ добавляются отдельно как $\pi f^2(a)$ и $\pi f^2(b)$.

Коротко

1. Формула для явно заданной функции при вращении вокруг $Ox$: $S = 2\pi\int_a^b y\sqrt{1 + (y')^2}\,dx$; вокруг $Oy$ ордината заменяется абсциссой.
2. Порядок действий: производная, подкоренное выражение $1 + (y')^2$, упрощение произведения с ординатой, интеграл, подстановка пределов.
3. Для $y = \sqrt{x}$ произведение сворачивается в $\frac{1}{2}\sqrt{4x + 1}$, подстановка $u = 4x + 1$ даёт первообразную $\frac{1}{6}(4x + 1)^{3/2}$.
4. Ответ примера: $S = \dfrac{13\pi}{3} \approx 13{,}61$, он лежит между оценкой по конусу $10{,}88$ и оценкой по цилиндру $17{,}77$.
5. Быстрая проверка на осмысленность: теорема Гульдина $S = 2\pi y_c L$, где $L$ длина образующей, а $y_c$ ордината её центра тяжести.