Несобственный интеграл первого рода: сходимость

Несобственный интеграл первого рода - это определённый интеграл, у которого хотя бы один предел интегрирования бесконечен: $\int_a^{\infty} f(x)\,dx$, $\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx$ или $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$. Привычная формула Ньютона-Лейбница тут напрямую не работает: подставить $\infty$ как число нельзя. Поэтому такой интеграл определяют через предел, и главный вопрос почти любой задачи звучит так: существует ли этот предел, то есть сходится интеграл или расходится. Ниже разберём определение, основной инструмент проверки (p-тест для степенной функции), признак сравнения и места, где студенты ошибаются чаще всего. Чтобы сразу почувствовать, от чего зависит ответ, покрутите калькулятор ниже: он показывает площадь под кривой до подвижной границы и график накопления значения, на котором видно, выходит интеграл на конечный потолок или растёт без предела.

Определение через предел

Несобственный интеграл первого рода вводится как предел обычного определённого интеграла, у которого верхняя граница уходит в бесконечность:

$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_a^{b} f(x)\,dx.$

Если этот предел существует и конечен, интеграл называют сходящимся, а его значение равно найденному пределу. Если предела нет или он бесконечен, интеграл расходится. Аналогично для нижнего бесконечного предела: $\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty} \int_a^{b} f(x)\,dx$. Интеграл с двумя бесконечными пределами разбивают точкой $c$ на два и требуют сходимости каждого по отдельности:

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{\infty} f(x)\,dx.$

Ключевая идея, которую важно удержать: значение несобственного интеграла - это площадь под графиком на бесконечном промежутке. Парадокс в том, что бесконечно длинная фигура может иметь конечную площадь, если функция достаточно быстро убывает к нулю. Именно это и проверяет исследование на сходимость.

Степенной интеграл и p-тест

Эталон, к которому сводится огромная доля задач, - степенной интеграл $\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^p}$. Для него ответ известен в зависимости от показателя $p$:

$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \dfrac{1}{p-1}, & p > 1 \ (\text{сходится}), \\[4pt] +\infty, & p \le 1 \ (\text{расходится}). \end{cases}$

Это и есть p-тест: степенной несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда $p > 1$. Граница проходит ровно по $p = 1$: интеграл $\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ расходится, хотя подынтегральная функция стремится к нулю. Само по себе условие $f(x) \to 0$ при $x \to \infty$ необходимо, но недостаточно для сходимости - функция должна убывать достаточно быстро.

Рассчитать для своей задачи

На видео видно главное: для сходящегося случая ($p = 2$) с ростом границы $b$ накопленная площадь приближается к горизонтальному потолку $S = 1$ и никогда его не превышает. Хвост за границей бесконечен, но добавляет всё меньше и меньше, поэтому сумма остаётся конечной. Откуда берётся $S = 1$, легко проверить напрямую: первообразная $x^{-2}$ равна $-x^{-1}$, поэтому

$\int_1^{b} \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = 1 - \frac{1}{b} \xrightarrow{b\to\infty} 1.$

Для общего нижнего предела $a > 0$ предел получается чуть шире: $\int_a^{\infty} \dfrac{dx}{x^p} = \dfrac{a^{1-p}}{p-1}$ при $p > 1$. Этой же формулой считает и калькулятор выше - подвигайте показатель $p$ и нижний предел $a$, чтобы сверить значения.

Как исследовать интеграл на сходимость

Алгоритм для несобственного интеграла первого рода почти всегда один и тот же:

1. Найдите первообразную $F(x)$ подынтегральной функции, если она берётся в элементарных функциях.
2. Подставьте пределы и вычислите предел при $b \to \infty$: $\lim_{b\to\infty} \big(F(b) - F(a)\big)$.
3. Сделайте вывод: предел конечен - интеграл сходится и равен ему; предел бесконечен или не существует - расходится.

Этот прямой путь работает, когда первообразная известна. Например, для экспоненты:

$\int_0^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^{b} = \frac{1}{\lambda} \quad (\lambda > 0).$

Экспонента убывает быстрее любой степени, поэтому такой интеграл всегда сходится при $\lambda > 0$. А вот $\int_1^{\infty} \cos x\,dx$ расходится: первообразная $\sin b$ предела при $b \to \infty$ не имеет, она вечно колеблется между $-1$ и $1$.

Рассчитать для своей задачи

На этом сравнении наглядно видно, почему граница проходит по $p = 1$. Кривые $1/\sqrt{x}$ и $1/x$ убывают слишком медленно: их хвосты дают бесконечную площадь. А $1/x^2$ убывает быстрее, и площадь под ним от $1$ до бесконечности конечна и равна единице.

Признак сравнения

Когда первообразная не берётся (а это типичная ситуация для дробей вроде $\dfrac{1}{x^2+1}$ или $\dfrac{\ln x}{x^3}$), исследовать сходимость помогает признак сравнения. Идея: если функцию зажать между нулём и эталоном с известным поведением, она наследует сходимость или расходимость эталона.

Пусть $0 \le f(x) \le g(x)$ на $[a, \infty)$. Тогда:

• если $\int_a^{\infty} g(x)\,dx$ сходится, то и $\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ сходится (меньшая площадь конечна, раз конечна большая);
• если $\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ расходится, то и $\int_a^{\infty} g(x)\,dx$ расходится.

На практике удобнее предельный признак сравнения: если существует конечный ненулевой предел $\lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c$, то интегралы от $f$ и $g$ ведут себя одинаково - сходятся или расходятся вместе. Эталоном почти всегда берут степенную функцию $1/x^p$, к которой и применяют p-тест. Например, $\dfrac{1}{x^2+1}$ на бесконечности ведёт себя как $\dfrac{1}{x^2}$, значит $\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^2+1}$ сходится; а $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ ведёт себя как $\dfrac{1}{x}$ и потому расходится.

Пример с заменой переменной

Не всякий интеграл сразу выглядит как степенной, но многие сводятся к нему заменой. Разберём коварный пример $\int_2^{\infty} \dfrac{dx}{x\ln x}$. На первый взгляд знаменатель растёт быстрее $x$, и хочется сказать «сходится». Сделаем замену $t = \ln x$, тогда $dt = \dfrac{dx}{x}$, а пределы превращаются в $t = \ln 2$ и $t \to \infty$:

$\int_2^{\infty} \frac{dx}{x\ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{dt}{t}.$

Справа - тот самый эталон с $p = 1$, который расходится. Значит, исходный интеграл тоже расходится, хотя его подынтегральная функция убывает чуть быстрее $1/x$. Этого «чуть» не хватает: логарифм растёт слишком медленно, чтобы вытянуть интеграл к сходимости. А вот $\int_2^{\infty} \dfrac{dx}{x\ln^2 x}$ той же заменой сводится к $\int_{\ln 2}^{\infty} \dfrac{dt}{t^2}$ с $p = 2$ и уже сходится. Эта пара - хороший тест на понимание: разница только в степени логарифма, а судьба интеграла противоположна.

Абсолютная и условная сходимость

Если подынтегральная функция меняет знак, удобно сначала проверить интеграл от модуля. Интеграл $\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ называют абсолютно сходящимся, если сходится $\int_a^{\infty} |f(x)|\,dx$. Абсолютная сходимость всегда влечёт обычную, и это сильное свойство: модуль убирает колебания знака, после чего работает признак сравнения. Если же сам интеграл сходится, а от модуля - нет, сходимость называют условной. Классический пример условно сходящегося интеграла - $\int_1^{\infty} \dfrac{\sin x}{x}\,dx$: он сходится по признаку Дирихле для несобственных интегралов, но интеграл от $\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|$ расходится. В стандартных задачах чаще требуется именно абсолютная сходимость, поэтому начинать проверку с модуля - надёжная стратегия.

Частые ошибки

• Считают, что $f(x) \to 0$ достаточно для сходимости. Это лишь необходимое условие. У $1/x$ предел нуля есть, а интеграл расходится: функция убывает слишком медленно.
• Забывают про границу $p = 1$. При $p = 1$ степенной интеграл расходится, а не сходится. Знак в p-тесте строгий: нужно именно $p > 1$.
• Подставляют $\infty$ как число. Нельзя писать $F(\infty)$; корректно - брать предел $\lim_{b\to\infty} F(b)$ и проверять, что он конечен.
• Делят промежуток неверно. Для $\int_{-\infty}^{\infty}$ требуется сходимость обоих кусков по отдельности; нельзя усреднять симметрично и считать главное значение за обычную сходимость.
• Путают первый и второй род. Первый род - бесконечный предел интегрирования; второй - неограниченная функция (разрыв) на конечном промежутке. Признаки похожи, но эталон и точка проверки разные.

FAQ

Когда несобственный интеграл первого рода сходится? Когда существует и конечен предел $\lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx$. Для степенного эталона $\int_1^{\infty} dx/x^p$ это происходит при $p > 1$. В общем случае функция должна убывать на бесконечности быстрее, чем $1/x$.

Чем первый род отличается от второго? У интеграла первого рода бесконечен промежуток интегрирования (один или оба предела), а подынтегральная функция ограничена. У второго рода промежуток конечный, но функция уходит в бесконечность в какой-то точке. Методы исследования похожи, но эталонные интегралы и точка, около которой берут предел, разные.

Что делать, если первообразная не берётся? Применять признак сравнения - обычный или предельный. Подбирают эталон $1/x^p$ с тем же поведением на бесконечности и переносят на исходный интеграл вывод p-теста. Для знакопеременных функций сначала проверяют абсолютную сходимость через модуль.

Коротко

Несобственный интеграл первого рода - это интеграл с бесконечным пределом, определённый через предел обычного определённого интеграла. Он сходится, если этот предел конечен. Главный инструмент - p-тест: степенной интеграл $\int_1^{\infty} dx/x^p$ сходится при $p > 1$ и расходится при $p \le 1$, а граница проходит ровно по $p = 1$. Когда первообразная не берётся, работает признак сравнения со степенным эталоном, а для знакопеременных функций - проверка абсолютной сходимости. Стремление функции к нулю необходимо, но не гарантирует сходимости: важна скорость убывания хвоста.