Признак Абеля для несобственных интегралов: формулировка и применение

Признак Абеля и близкий ему признак Дирихле - два «прирученных» способа доказать сходимость несобственных интегралов от произведения двух функций, когда обычный признак сравнения не работает. Подынтегральная функция знакопеременна, мажоранты нет. Зато если один множитель ведёт себя «хорошо» (монотонен, ограничен или стремится к нулю), а у второго ограничена первообразная - сходимость вытаскивается через интегрирование по частям. Признак носит имя Нильса Хенрика Абеля (1802–1829) - норвежского математика, который умер в 26 лет, но успел придумать суммирование по частям, лежащее в основе обоих признаков.

Постановка

Рассматриваем несобственный интеграл первого рода

$$\int_a^{\infty} f(x)\, g(x)\, dx$$

где $f$ и $g$ определены и интегрируемы на любом конечном отрезке $[a, b] \subset [a, \infty)$. Сходимость определяется как существование конечного предела

$$\lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x)\, g(x)\, dx$$

Хочется ответить «да/нет» через свойства самих $f$ и $g$, не считая интеграл явно. Если бы $|f(x) g(x)| \le \varphi(x)$ с интегрируемой мажорантой $\varphi$ - сработал бы признак сравнения. Но типовая задача коллоквиума выглядит так:

$$\int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, dx$$

Здесь $|\sin x / x| \le 1/x$, а $\int_1^{\infty} dx/x$ расходится - сравнение бесполезно. Сходимость есть (равна $\pi/2 - \text{Si}(1)$), но добывать её нужно тоньше: один множитель ($\sin x$) имеет ограниченную первообразную, второй ($1/x$) монотонно стремится к нулю. Это и есть рабочая ситуация для Дирихле и Абеля.

Формулировка признака Абеля

Признак Абеля. Пусть на $[a, \infty)$:

1. интеграл $\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\, dx$ сходится;
2. функция $g(x)$ монотонна и ограничена на $[a, \infty)$.

Тогда интеграл $\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\, g(x)\, dx$ сходится.

Идея: $f$ даёт сходящийся интеграл, $g$ - «модулирующий» множитель, который монотонностью не вносит лишних колебаний, а ограниченностью гарантирует, что произведение не разнесёт. Монотонность допускается нестрогая.

Признак Дирихле (близнец)

Признак Дирихле. Пусть на $[a, \infty)$:

1. первообразная $\displaystyle F(x) = \int_a^{x} f(t)\, dt$ ограничена: $|F(x)| \le M$ для всех $x \ge a$;
2. $g(x)$ монотонна и $g(x) \to 0$ при $x \to \infty$.

Тогда интеграл $\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\, g(x)\, dx$ сходится.

Здесь сам $\int f\, dx$ может расходиться - лишь бы первообразная не убегала; зато $g$ давит произведение до нуля. Классический случай: $f(x) = \sin x$, $F(x) = 1 - \cos x \in [0, 2]$, $g(x) = 1/x \to 0$ монотонно.

Подставь свои функции $f(x)$ и $g(x)$ ниже - соберём интеграл и проверим оба признака пошагово в чате, с разбором условий и выводом о типе сходимости.

Связь и различия

Оба признака - следствия одной леммы (формулы Абеля об интегрировании по частям плюс критерий Коши). Разница - в распределении нагрузки между $f$ и $g$:

• Абель требует уже сходящийся $\int f\, dx$ и ограниченную монотонную $g$. Сильное требование к $f$, слабое к $g$.
• Дирихле довольствуется ограниченной первообразной $f$, зато $g$ обязана монотонно стремиться к нулю. Слабое требование к $f$, сильное к $g$.

Пример, разделяющий их: $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, dx$. Здесь $\int_1^{\infty} \sin x\, dx$ не сходится (колеблется), значит признак Абеля не применим напрямую. Зато $F(x) = \cos 1 - \cos x$ ограничена, $g(x) = 1/x$ монотонно к нулю - Дирихле работает.

Обратный пример: $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, \arctan x\, dx$. Здесь интеграл $\int_1^{\infty} \sin x / x\, dx$ уже сходится (по Дирихле), а $\arctan x$ монотонно возрастает и ограничена сверху числом $\pi/2$. Здесь именно Абель: внешний множитель $\arctan x$ - модулятор, на сходящемся подынтегральном.

Грубое правило: «есть сходящийся интеграл и ограниченный модулятор - Абель; есть ограниченная первообразная и затухающий множитель - Дирихле».

Доказательство (эскиз)

Оба признака доказываются через формулу Абеля об интегрировании по частям в интегральной форме:

$$\int_b^{c} f(x)\, g(x)\, dx = F(c)\, g(c) - F(b)\, g(b) - \int_b^{c} F(x)\, g'(x)\, dx$$

где $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$. Применяем критерий Коши: интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $B$, что для всех $c > b > B$

$$\left| \int_b^{c} f(x)\, g(x)\, dx \right| < \varepsilon$$

Для Дирихле. $|F(x)| \le M$, значит первые два слагаемых не превосходят $M(|g(c)| + |g(b)|)$. Так как $g \to 0$, эта часть оценивается $\varepsilon/2$ при больших $b$. Оставшийся интеграл с $g'$ оценивается через монотонность $g$:

$$\left| \int_b^{c} F(x)\, g'(x)\, dx \right| \le M \int_b^{c} |g'(x)|\, dx = M\, |g(c) - g(b)|$$

(последнее равенство - потому что $g$ монотонна, значит $g'$ знакопостоянна). Эта величина тоже стремится к нулю.

Для Абеля. Сходимость $\int f\, dx$ означает: $F(x)$ имеет конечный предел $F(\infty)$, поэтому $F$ ограничена. $g$ монотонна и ограничена, значит имеет конечный предел $g(\infty)$. Граничные члены формулы стабилизируются. Хвостовой интеграл оценивается аналогично через монотонность $g$. Подробности - стандартное упражнение из Фихтенгольца.

Типовые примеры на коллоквиум

1. $\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x^p}\, dx$, $p > 0$.

Первообразная синуса ограничена. $g(x) = x^{-p}$ при $p > 0$ монотонно убывает к нулю. По Дирихле - сходится. При $p > 1$ сходится и абсолютно (по сравнению с $1/x^p$), при $0 < p \le 1$ - условно.

2. $\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x^p}\, \arctan x\, dx$.

Интеграл $\int_1^{\infty} \sin x / x^p\, dx$ сходится (см. пункт 1, $p > 0$). Функция $\arctan x$ монотонна и ограничена $\pi/2$. По Абелю - сходится. Тип сходимости тот же, что у внутреннего интеграла.

3. $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-\alpha x} \cos(\beta x)\, dx$, $\alpha > 0$.

Тут проще сравнением: $|e^{-\alpha x} \cos \beta x| \le e^{-\alpha x}$, а $\int_0^{\infty} e^{-\alpha x} dx = 1/\alpha$ - сходится. Значит интеграл сходится абсолютно. А вот Абель формально не подходит: $\cos \beta x$ ограничен, но не монотонен. Полезная ловушка - монотонность $g$ обязательна, ограниченности мало.

Признак абсолютной сходимости vs условной

Абель и Дирихле обычно дают условную сходимость: знакопеременность подынтегральной функции существенно используется (через ограниченную первообразную либо через колебания, которые гасит затухающий $g$). Дискретный аналог такой ситуации - знакочередующиеся ряды и признак Лейбница, где условная сходимость берётся за счёт смены знака и убывания модулей. Если же $|f g|$ интегрируема - сходимость абсолютна, и тогда обычно срабатывает признак сравнения, без всякого Абеля.

Граница часто проходит по показателю степени. Для $\int_1^{\infty} \sin x / x^p$:

• $p > 1$: $|\sin x / x^p| \le 1/x^p$ интегрируема - абсолютная сходимость.
• $0 < p \le 1$: $\int_1^{\infty} |\sin x| / x^p\, dx$ расходится (можно показать через оценку снизу $|\sin x| \ge \sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2$). Значит сходимость только условная - её даёт Дирихле, а не сравнение.

Аналог в рядах

Те же признаки в дискретной форме работают для числовых рядов $\sum a_n b_n$.

Признак Абеля для рядов. Если ряд $\sum a_n$ сходится, а последовательность $\{b_n\}$ монотонна и ограничена, то $\sum a_n b_n$ сходится.

Признак Дирихле для рядов. Если частичные суммы $A_n = a_1 + \dots + a_n$ ограничены, а $b_n$ монотонно стремится к нулю, то $\sum a_n b_n$ сходится.

Доказательство - через преобразование Абеля (дискретный аналог интегрирования по частям):

$$\sum_{k=m}^{n} a_k\, b_k = A_n\, b_n - A_{m-1}\, b_m - \sum_{k=m}^{n-1} A_k\, (b_{k+1} - b_k)$$

Это та же геометрия, что и в интегральном случае: «крутящаяся» часть отделяется от «затухающей». Классический пример: $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n / n$ сходится по Дирихле - частичные суммы синусов ограничены, $1/n$ монотонно к нулю.

Частые ошибки

• Забывают про монотонность $g$. Ограниченности самой по себе мало. Функция $g(x) = \sin x$ ограничена, но не монотонна - Абель не работает (пример: $\int_1^{\infty} \sin x \cdot \sin x \, / x\, dx$, где надо разворачивать через $\sin^2 x$).
• Применяют Абель к расходящемуся $\int f$. Условие 1 в Абеле - сходимость интеграла от $f$, а не ограниченность первообразной. Это разные вещи. Если у вас только ограниченная первообразная - это сценарий Дирихле, не Абель.
• Не проверяют, что $g \to 0$ в Дирихле. Стремление к нулю обязательно. Функция $g(x) = 1 + 1/x$ ограничена и монотонна, но не стремится к нулю - Дирихле к ней не применить.
• Делают вывод об абсолютной сходимости. Признаки Абеля и Дирихле - об обычной (часто только условной) сходимости. Чтобы заключить про абсолютную, нужен отдельный признак на $|fg|$.

FAQ

Чем признак Абеля отличается от признака сравнения? Признак сравнения работает, когда есть интегрируемая мажоранта. Абель и Дирихле - когда мажоранты нет, но один из множителей имеет «структурное» свойство (монотонность, затухание, ограниченность первообразной). Это разные инструменты для разных ситуаций; в рядах с логарифмами роль аналогичного «тонкого» инструмента играет признак Ермакова.

Работают ли эти признаки для интегралов второго рода (с особой точкой на конечном отрезке)? Да, с небольшой переформулировкой. Если особенность в точке $b$, рассматривают $\int_a^{b-\varepsilon}$ при $\varepsilon \to 0$ и переносят условия на поведение $f$, $g$ возле $b$. Формулировка зеркальная - монотонность и предел $g$ при $x \to b$.

Можно ли скрестить два признака - например, использовать ограниченную первообразную $f$ и ограниченную монотонную $g$ без условия $g \to 0$? Нет, такой комбинации недостаточно. Контрпример: $f(x) = \sin x$, $g(x) = 1 + 1/(x+1)$ - первообразная синуса ограничена, $g$ монотонна и ограничена, но $g \not\to 0$. Тогда $\int_1^{\infty} \sin x \cdot g(x)\, dx = \int \sin x\, dx + \int \sin x / (x+1)\, dx$ - первое слагаемое расходится. Нужна именно «полная» пара условий - Абеля или Дирихле, без смешения.

Коротко

Признак Абеля для несобственных интегралов: сходящийся $\int f$ плюс монотонная ограниченная $g$ дают сходимость $\int f g$. Признак Дирихле: ограниченная первообразная $f$ плюс монотонная $g \to 0$ дают то же самое. Оба доказываются через формулу Абеля об интегрировании по частям и критерий Коши, оба обычно дают условную, а не абсолютную сходимость. На коллоквиуме узнавайте их по структуре: «есть сходящийся интеграл и модулятор» - Абель; «есть ограниченная первообразная и затухающий хвост» - Дирихле.