Признак Лейбница: знакочередующиеся ряды

Знакочередующийся ряд - это ряд, у которого знаки слагаемых строго чередуются: $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n$ или $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n$, где $b_n \ge 0$. Для таких рядов работает простой и красивый критерий - признак Лейбница: достаточно проверить два условия на $\{b_n\}$, и сходимость гарантирована. Бонусом получается оценка остатка через первый отброшенный член - этим признак Лейбница и ценен, ведь у большинства критериев такой явной оценки нет.

Формулировка признака Лейбница

Пусть дан знакочередующийся ряд

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n = -b_1 + b_2 - b_3 + b_4 - \dots, \quad b_n \ge 0.$

Если выполнены два условия

1. последовательность $\{b_n\}$ монотонно убывает: $b_{n+1} \le b_n$ для всех $n$ (хотя бы начиная с некоторого $N_0$);
2. $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$,

то ряд сходится. Более того, для $n$-го остатка $R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^k b_k$ справедлива оценка

$|R_n| \le b_{n+1},$

а знак $R_n$ совпадает со знаком первого отброшенного слагаемого $(-1)^{n+1} b_{n+1}$.

Из этих двух условий первое - обязательное и часто оказывается самым тонким, второе - стандартное (без него вообще никакой ряд не сходится). Если хотя бы одно нарушено, признак Лейбница не применим - но это не значит, что ряд расходится; просто нужен другой критерий.

Набросок доказательства через частичные суммы

Идея доказательства геометрически прозрачна. Рассмотрим частичные суммы $S_N = \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} b_n$ (для удобства взяли вариант со знаком плюс при $b_1$). Тогда чётные частичные суммы

$S_{2m} = (b_1 - b_2) + (b_3 - b_4) + \dots + (b_{2m-1} - b_{2m})$

• сумма неотрицательных скобок (каждая $b_{2k-1} - b_{2k} \ge 0$ по монотонности), значит $\{S_{2m}\}$ монотонно возрастает. С другой стороны,

$S_{2m} = b_1 - (b_2 - b_3) - (b_4 - b_5) - \dots - b_{2m},$

то есть $S_{2m} \le b_1$. Получили: $\{S_{2m}\}$ возрастает и ограничена сверху, значит сходится к некоторому пределу $S$. Нечётные суммы отличаются на $b_{2m+1} \to 0$: $S_{2m+1} = S_{2m} + b_{2m+1} \to S$. Подпоследовательности с разной чётностью имеют общий предел - вся последовательность $\{S_N\}$ сходится к $S$.

Тот же приём даёт и оценку остатка: $S$ лежит между любыми двумя соседними частичными суммами $S_{2m}$ и $S_{2m+1}$, поэтому $|S - S_n| \le |S_{n+1} - S_n| = b_{n+1}$.

Оценка остатка $|R_n| \le b_{n+1}$ - главное практическое следствие

Эта оценка делает признак Лейбница рабочим инструментом для численных приближений. Если ряд знакочередующийся и удовлетворяет условиям Лейбница, то частичная сумма $S_n$ отличается от истинной суммы $S$ не больше чем на первый отброшенный член по модулю. Чтобы вычислить $S$ с точностью $\varepsilon$, достаточно взять столько слагаемых, чтобы $b_{n+1} < \varepsilon$.

Пример. Для $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2 \approx 0{,}693$ оценка даёт $|R_n| \le 1/(n+1)$. Чтобы получить $\ln 2$ с точностью $10^{-3}$, нужно взять $n \approx 1000$ слагаемых - оценка не оптимальна, но проста и универсальна.

Для рядов с быстро убывающим $b_n$ (например, $b_n = 1/n!$) точность растёт стремительно: $\sum (-1)^n/n!$ сходится к $1/e$, и уже 10 слагаемых дают точность лучше $10^{-7}$.

Абсолютная и условная сходимость

Признак Лейбница даёт сходимость, но ничего не говорит об абсолютной сходимости. Чтобы её проверить, нужно отдельно изучить ряд $\sum b_n$:

• если $\sum b_n$ сходится - исходный ряд сходится абсолютно (и тогда признак Лейбница, по сути, избыточен - можно было обойтись сравнением);
• если $\sum b_n$ расходится, а $\sum (-1)^n b_n$ сходится по Лейбницу - сходимость условная.

Классический пример условной сходимости - $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$. Сам ряд $\sum 1/n$ (гармонический) расходится, а знакочередующийся аналог сходится к $\ln 2$. Это иллюстрация теоремы Римана о перестановках: у условно сходящегося ряда можно переставить слагаемые так, чтобы получить любую наперёд заданную сумму или вообще расходимость. У абсолютно сходящегося такого фокуса не выйдет.

Классические примеры

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$. Условия Лейбница: $b_n = 1/n$ строго убывает, $b_n \to 0$. Ряд сходится условно. Сумма получается интегрированием разложения $\ln(1+x) = \sum (-1)^{n-1} x^n/n$ при $x = 1$ (теорема Абеля разрешает подставить граничное значение).

Ряд Лейбница для $\pi/4$:

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}.$

Здесь $b_n = 1/(2n+1)$ - строго убывает, стремится к нулю. Сходится условно (ряд $\sum 1/(2n+1)$ расходится сравнением с гармоническим). Получается подстановкой $x = 1$ в ряд $\arctan x = \sum (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)$.

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = 1/e - 1$. Здесь $b_n = 1/n!$ убывает (даже сверхбыстро), $b_n \to 0$. Сходится абсолютно - $\sum 1/n!$ конечен ($= e$). Признак Лейбница работает, но избыточен.

Ряд $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n}$. $b_n = 1/\ln n$ убывает, стремится к нулю - сходится по Лейбницу. Но $\sum 1/\ln n$ расходится (сравнение с $\sum 1/n$, можно проверить и признаком Ермакова), значит сходимость условная.

Типовые задачи и приёмы проверки

В контрольной работе или на коллоквиуме проверка условий идёт по шаблону.

Шаг 1. Убедиться, что ряд действительно знакочередующийся. Это значит - общий член имеет вид $(-1)^n b_n$ или $(-1)^{n-1} b_n$ с $b_n \ge 0$. Если знаки чередуются «нестрого» (например, ряд вида $\sin n / n$ - там знаки нерегулярны), признак Лейбница не работает, нужен признак Дирихле.

Шаг 2. Проверить монотонность $b_n$. Часто берут $b_n = f(n)$ для гладкой $f$ и смотрят знак $f'(x)$ при больших $x$. Для $b_n = n/(n^2+1)$, например, производная $f'(x) = (1-x^2)/(x^2+1)^2 < 0$ при $x > 1$ - значит убывает с $n = 2$. Конечное число начальных «выпадающих» членов не влияет на сходимость.

Шаг 3. Проверить $b_n \to 0$. Обычно тривиально - стандартные пределы. Если предел не нулевой, ряд расходится по необходимому признаку (общий член не стремится к нулю).

Шаг 4. Вывод и оценка остатка. При выполнении условий - ряд сходится, $|R_n| \le b_{n+1}$. При нарушении условия монотонности - внимательно: ряд может сходиться, но не по Лейбницу. Пример из задачников - $\sum (-1)^n a_n$, где $a_n = 1/n$ при нечётном $n$ и $a_n = 1/n^2$ при чётном $n$. Монотонности нет, но ряд сходится (легко проверить через разбиение на два подряда). Признак Лейбница тут просто не применим - а сам факт сходимости устанавливается иначе.

Частые ошибки

• Забывают проверить монотонность. Просто констатируют «знакочередующийся, $b_n \to 0$ - сходится». Это неверно: для нестрого монотонной $\{b_n\}$ ряд может расходиться. Контрпример Абеля: $b_n = (2 + (-1)^n)/n$ - стремится к нулю, но не монотонно, и $\sum (-1)^n b_n$ расходится.
• Путают признак Лейбница с признаком Дирихле. Лейбниц требует знакочередующейся структуры ($(-1)^n$), Дирихле работает с любыми $a_n$ с ограниченными частичными суммами. Для $\sum \sin n / n$ нужен Дирихле, не Лейбниц.
• Делают вывод об абсолютной сходимости. Признак даёт только сходимость. Для абсолютной - отдельно изучайте $\sum b_n$.
• Игнорируют конечный «нестрогий» участок. Если $\{b_n\}$ становится монотонной только с $n = N_0$ (например, при малых $n$ есть локальные подъёмы) - это нормально, надо явно оговорить и применять признак к «хвосту».
• Перевирают оценку остатка. Правильно: $|R_n| \le b_{n+1}$, где $R_n = S - S_n$. Часто пишут $|R_n| \le b_n$ - это завышенная и формально неверная оценка.

FAQ

Можно ли применять признак Лейбница, если $b_n$ убывает не с первого члена? Да. Сходимость определяется поведением «хвоста». Если $b_n$ убывает начиная с $n = N_0$, отделите конечную сумму $S_{N_0-1}$ и применяйте признак к остатку $\sum_{n=N_0}^{\infty} (-1)^n b_n$.

Что делать, если $b_n$ не монотонно? Признак Лейбница не работает. Варианты: (1) попробовать разбить ряд на подряды, к которым признак применим; (2) применить признак Дирихле - иногда $(-1)^n$ можно «спрятать» в общий множитель с ограниченными частичными суммами; (3) проверить абсолютную сходимость $\sum b_n$ - если она есть, исходный ряд сходится абсолютно.

Сходится ли $\sum (-1)^n / n^p$ при $p \le 0$? Нет. При $p < 0$ члены $1/n^p = n^{|p|}$ растут, общий член не стремится к нулю - нарушено необходимое условие. При $p = 0$ это $\sum (-1)^n$ - частичные суммы колеблются между $-1$ и $0$, предела нет. Признак Лейбница работает только при $p > 0$.

Какова связь с теоремой Римана? Любой ряд, сходящийся по Лейбницу условно (а не абсолютно), подпадает под теорему Римана: перестановкой слагаемых сумму можно сделать любой. Это важное предупреждение - «сумма знакочередующегося ряда» имеет смысл только при фиксированном порядке слагаемых.

Коротко

Признак Лейбница - критерий сходимости для знакочередующегося ряда $\sum (-1)^n b_n$, $b_n \ge 0$: достаточно, чтобы $\{b_n\}$ монотонно убывала и $b_n \to 0$. Бонус - оценка остатка $|R_n| \le b_{n+1}$, делающая признак рабочим инструментом для численных приближений. Сходимость, как правило, условная: $\sum (-1)^{n-1}/n = \ln 2$, $\sum (-1)^n/(2n+1) = \pi/4$. Проверка идёт по шаблону: знакочередование $\to$ монотонность $b_n$ $\to$ предел $b_n = 0$ $\to$ вывод и оценка остатка. Если монотонности нет - признак не применим, нужен Дирихле или прямой анализ.