Признак Дирихле: ряды и пошаговый разбор задач

Признак Дирихле - рабочий инструмент, когда ряд $\sum a_n b_n$ нельзя взять ни сравнением, ни Лейбницем: один множитель колеблется с ограниченными частичными суммами, второй монотонно гаснет к нулю. На практике главная сложность не в формулировке, а в том, чтобы аккуратно проверить условия и не перепутать признак Дирихле с признаком Абеля. Ниже - разбор того, как применять признак Дирихле к рядам по шагам, с оценками частичных сумм и типовыми примерами с $\sin nx$ и $\cos nx$.

Что утверждает признак Дирихле

Пусть дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$, и выполнены два условия:

1. Частичные суммы $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ ограничены в совокупности: найдётся $M$ такое, что $|S_N| \le M$ при всех $N$.
2. Последовательность $\{b_n\}$ монотонна и $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$.

Тогда ряд $\sum a_n b_n$ сходится. Обратите внимание: от $a_n$ не требуется сходимость ряда $\sum a_n$ - достаточно ограниченности его частичных сумм. Именно это отличает признак Дирихле от признака Абеля и делает его пригодным для тригонометрических множителей, у которых $\sum a_n$ вообще не сходится.

Подводя к практике: чтобы не держать всё в голове, ниже собран мини-помощник - он соберёт ваш ряд и проведёт проверку условий по пунктам.

Алгоритм применения к ряду

Решение типовой задачи на признак Дирихле почти всегда укладывается в четыре шага. Держите этот порядок - он защищает от самых частых промахов.

Шаг 1. Разбить общий член на два множителя. Запишите $c_n = a_n b_n$ так, чтобы $\{a_n\}$ отвечала за колебания (знаки, $\sin nx$, $\cos nx$, $(-1)^n$), а $\{b_n\}$ - за монотонное затухание. Если множители принципиально не разделяются, признак Дирихле не подходит - берите другой критерий.

Шаг 2. Оценить частичные суммы $S_N = \sum a_n$. Для тригонометрии работает формула суммирования. Например,

$\left|\sum_{k=1}^{N} \cos kx\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}, \qquad x \ne 2\pi m,$

то есть суммы ограничены константой, не зависящей от $N$. Для $a_n = (-1)^n$ суммы вообще колеблются между $-1$ и $0$.

Шаг 3. Проверить монотонность $b_n$. Если $b_n = f(n)$ для гладкой $f$, удобно смотреть знак $f'(x)$. Монотонность достаточно иметь начиная с некоторого $N_0$ - конечное число первых членов на сходимость не влияет.

Шаг 4. Проверить $b_n \to 0$. Для $b_n = 1/n^p$ это $p > 0$; для $b_n = 1/\ln(n+1)$ - выполнено; для $b_n = \arctan n$ - нет (предел $\pi/2$). Если предел не нулевой, признак Дирихле неприменим.

Оценка частичных сумм: ключевой шаг

Главная техническая трудность - обосновать ограниченность $S_N$. Для $a_n = \sin nx$ и $a_n = \cos nx$ используют замкнутые формулы (тождества Лагранжа):

$\sum_{k=1}^{N} \sin kx = \frac{\sin\frac{Nx}{2}\,\sin\frac{(N+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}, \qquad \sum_{k=1}^{N} \cos kx = \frac{\sin\frac{Nx}{2}\,\cos\frac{(N+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}.$

Числитель по модулю не больше единицы, значит обе суммы ограничены величиной $1/|\sin(x/2)|$ при $x \ne 2\pi m$. Это и даёт константу $M$ из первого условия. В точках $x = 2\pi m$ для косинуса $\cos nx \equiv 1$, и сумма растёт как $N$ - ограниченности нет, признак неприменим, этот случай разбирают отдельно.

Разбор примера: ряд с синусом

Классика - ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n}{n}$. Берём $a_n = \sin n$, $b_n = 1/n$.

• Частичные суммы $\sum_{k=1}^{N}\sin k$ ограничены: по формуле выше при $x = 1$ модуль не превосходит $1/|\sin(1/2)| \approx 2{,}09$.
• $b_n = 1/n$ монотонно убывает и стремится к нулю.

Оба условия выполнены - ряд сходится. При этом абсолютной сходимости нет: $\sum |\sin n|/n$ расходится (среднее $|\sin n|$ отделено от нуля, поведение как у гармонического ряда). Значит, сходимость условная. Это типовой вывод для рядов, взятых признаком Дирихле: чаще всего сходимость именно условная, и проверять $\sum |a_n b_n|$ нужно отдельно.

Признак Дирихле против признака Абеля

Эти два признака - близнецы по структуре (оба опираются на преобразование Абеля), но условия зеркальны.

Правило выбора простое: если $\sum a_n$ сходится, а $b_n$ имеет ненулевой предел - это Абеля; если $\sum a_n$ лишь ограничен, а $b_n \to 0$ - это Дирихле. Поэтому $\sum \frac{\sin n}{n}$ берётся только Дирихле, а $\sum \frac{(-1)^n}{n}\arctan n$ - только Абеля. Подробный разбор парного критерия - в статье про признак Абеля для несобственных интегралов, там та же логика работает для интегралов.

Почему это работает: преобразование Абеля

Доказательство в одну строку, которое полезно знать на экзамене. Обозначив $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$, перепишем частичную сумму суммированием по частям:

$\sum_{n=1}^{N} a_n b_n = S_N b_N + \sum_{n=1}^{N-1} S_n (b_n - b_{n+1}).$

Дальше - два наблюдения. Слагаемое $S_N b_N \to 0$, потому что $|S_N|\le M$, а $b_N \to 0$. Ряд $\sum S_n(b_n - b_{n+1})$ сходится абсолютно: $|S_n(b_n-b_{n+1})| \le M\,|b_n - b_{n+1}|$, а $\sum |b_n - b_{n+1}|$ телескопически сворачивается в $b_1$ (для убывающих неотрицательных $b_n$). Сходимость обеих частей даёт сходимость исходного ряда.

Связь с признаком Лейбница

Признак Лейбница - частный случай Дирихле. Возьмём $a_n = (-1)^n$: тогда $S_N \in \{-1, 0\}$ ограничены, и при монотонном $b_n \to 0$ ряд $\sum (-1)^n b_n$ сходится. Это в точности формулировка Лейбница. Поэтому знакочередующиеся ряды можно брать любым из двух признаков, но как только знаки идут не по схеме $(-1)^n$ (например, $\sin n$), нужен именно Дирихле. Разбор знакочередующегося случая - в материале про признак Лейбница.

Типовые задачи для тренировки

Шаблоны, которые встречаются в задачниках Демидовича, Фихтенгольца, Кудрявцева:

• $\sum \frac{\sin nx}{n^p}$ и $\sum \frac{\cos nx}{n^p}$ при $p>0$ - сходятся по Дирихле для $x$, не кратных $2\pi$; при $p>1$ - абсолютно, при $0<p\le 1$ - условно.
• $\sum \frac{\sin n}{\ln(n+1)}$ - сходится по Дирихле, но не абсолютно.
• $\sum \frac{\cos nx}{n}\arctan n$ - сначала Дирихле к $\sum \frac{\cos nx}{n}$, затем Абеля с ограниченным монотонным $\arctan n$.

Частые ошибки

• Применяют признак к ряду, где частичные суммы $\sum a_n$ растут: например, делят $\frac{1}{n^2}$ на $a_n=1$, $b_n=1/n^2$, забыв, что $\sum 1 = N \to \infty$.
• Забывают исключить $x = 2\pi m$ для $\cos nx$: там сумма не ограничена и признак Дирихле теряет силу.
• Пишут «$b_n$ убывает» без проверки: для $b_n = \frac{\ln n}{n}$ монотонность начинается лишь с $n=3$, и это нужно оговорить.
• Делают вывод об абсолютной сходимости. Признак Дирихле даёт только сходимость (как правило, условную); абсолютную проверяют отдельно через $\sum |a_n b_n|$.
• Путают с признаком Абеля: при сходящемся $\sum a_n$ и ненулевом пределе $b_n$ нужен Абель, а не Дирихле.

FAQ

Как быстро понять, что подойдёт именно признак Дирихле? Ищите в ряде тригонометрический или знакочередующийся множитель с ограниченными частичными суммами и второй множитель, монотонно убывающий к нулю. Если $\sum a_n$ не сходится, а лишь ограничен - это сигнал в пользу Дирихле, а не Абеля.

Обязательна ли монотонность с первого члена? Нет. Достаточно, чтобы $\{b_n\}$ стала монотонной начиная с какого-то $N_0$. Отбрасывание конечного числа первых членов не меняет факт сходимости - это стандартная оговорка в решении.

Можно ли применять признак Дирихле к комплексным рядам? Да, формулировка переносится дословно: $a_n$ может быть комплексным, требуется ограниченность $|S_N|$. Это базовый приём для рядов вида $\sum \frac{e^{inx}}{n^p}$ и $\sum \frac{z^n}{n}$ на границе круга сходимости.

Коротко

Признак Дирихле для рядов проверяется по фиксированному алгоритму: разбить общий член на множители $a_n b_n$, оценить частичные суммы $\sum a_n$ (для $\sin nx$, $\cos nx$ - формулой Лагранжа, ограничение $1/|\sin(x/2)|$), убедиться в монотонности $b_n$ и в том, что $b_n \to 0$. Если всё выполнено - ряд сходится, обычно условно; абсолютную сходимость проверяют отдельно. От признака Абеля отличается тем, что от $\sum a_n$ нужна лишь ограниченность, а не сходимость.