Признак Раабе сходимости: формулировка и примеры

Признак Раабе - это уточняющий критерий сходимости положительного числового ряда, который вступает в игру там, где признак д’Аламбера даёт граничное значение $1$ и ответа не даёт. Идея проста: вместо самого отношения $a_{n+1}/a_n$ смотрят, как быстро оно приближается к единице, и измеряют это скорость через предел $R = \lim_{n\to\infty} n\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right)$. Если $R > 1$ - ряд сходится, если $R < 1$ - расходится, а в граничном случае $R = 1$ нужны ещё более тонкие признаки (Гаусса, Бертрана). Критерий назван в честь швейцарского математика Йозефа Людвига Раабе (1801–1859). Ниже разберём формулировку, доказательство сравнением с рядом Дирихле $\sum 1/n^p$, классические примеры и место признака Раабе среди соседних критериев.

Формулировка признака Раабе

Пусть дан положительный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ с $a_n > 0$. Образуем вспомогательную последовательность

$R_n = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right)$

и рассмотрим её предел $R = \lim_{n\to\infty} R_n$ (если он существует).

Признак Раабе. Для предела $R$ верно:

• при $R > 1$ ряд $\sum a_n$ сходится;
• при $R < 1$ ряд расходится;
• при $R = 1$ признак не даёт ответа - нужен более тонкий критерий.

Обратите внимание на порядок аргументов: в признаке Раабе берётся отношение $a_n/a_{n+1}$ (предыдущий член к следующему), а не $a_{n+1}/a_n$, как у д’Аламбера. Это удобно: для сходящегося ряда члены убывают, значит $a_n/a_{n+1} > 1$, и выражение $a_n/a_{n+1} - 1$ положительно, а множитель $n$ усиливает его до конечного предела. Существует и предельная форма через $\limsup$ и $\liminf$, но в типовых задачах работают именно с обычным пределом.

Когда д’Аламбер бессилен, а Раабе работает

Признак д’Аламбера проверяет предел $D = \lim a_{n+1}/a_n$: при $D < 1$ ряд сходится, при $D > 1$ расходится. Беда в том, что для огромного класса рядов это отношение стремится ровно к $1$, и д’Аламбер молчит. Типичный пример - ряд Дирихле $\sum 1/n^p$: здесь

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^p}{(n+1)^p} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^p \to 1$

при любом $p$, хотя ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \le 1$. Признак Раабе как раз и предназначен для этого граничного слоя: он чувствителен ко второму порядку малости отношения и различает «скорость подхода» $a_{n+1}/a_n$ к единице. Связь между признаками выражается приближённой формулой: если $a_{n+1}/a_n \approx 1 - R/n$, то предел Раабе равен именно этому $R$.

Доказательство сравнением с рядом Дирихле

Главная опорная конструкция - сравнение с эталонным рядом $\sum 1/n^p$, для которого сходимость известна точно ($p > 1$ - сходится, $p \le 1$ - расходится). Идея: подобрать показатель $p$ так, чтобы $a_n$ вело себя как $1/n^p$, и перенести вывод о сходимости.

Пусть $R > 1$. Выберем число $p$ так, что $1 < p < R$. Для эталона $b_n = 1/n^p$ разложим отношение по формуле Тейлора:

$\frac{b_n}{b_{n+1}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^p = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^p = 1 + \frac{p}{n} + O\!\left(\frac{1}{n^2}\right),$

откуда $n\left(\dfrac{b_n}{b_{n+1}} - 1\right) \to p$. Поскольку $R > p$, начиная с некоторого $N$ выполнено

$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) > p \ge n\left(\frac{b_n}{b_{n+1}} - 1\right),$

то есть $\dfrac{a_n}{a_{n+1}} > \dfrac{b_n}{b_{n+1}}$, или $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$. Это значит, что отношение $a_n/b_n$ монотонно убывает при $n \ge N$, поэтому $a_n \le C\, b_n = C/n^p$ с некоторой константой $C$. По признаку сравнения из сходимости $\sum 1/n^p$ при $p > 1$ следует сходимость $\sum a_n$. Случай $R < 1$ разбирается зеркально: берут $p$ с $R < p \le 1$, получают оценку снизу $a_n \ge C/n^p$ и выводят расходимость из расходимости $\sum 1/n^p$ при $p \le 1$.

Классические примеры применения

Пример 1. Ряд Дирихле $\sum 1/n^p$. Прямая проверка:

$R_n = n\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^p - 1\right) = n\left(\frac{p}{n} + O\!\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \to p.$

Значит $R = p$: ряд сходится при $p > 1$, расходится при $p < 1$, а при $p = 1$ (гармонический ряд) получаем $R = 1$ - признак не работает, что согласуется с известной расходимостью.

Пример 2. Биномиальный ряд. Рассмотрим $a_n = \dfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$ - члены, возникающие в разложении $1/\sqrt{1-x}$. Здесь

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2}\bigg/1 \cdot \text{(упрощая)} = \frac{2n+2}{2n+1},$

и тогда $R_n = n\left(\dfrac{2n+2}{2n+1} - 1\right) = \dfrac{n}{2n+1} \to \dfrac{1}{2}$. Получаем $R = 1/2 < 1$ - ряд расходится (он ведёт себя как $\sum 1/\sqrt{n}$).

Пример 3. Ряд с факториалами. Пусть $a_n = \dfrac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}(2k-1) = \dfrac{(2n-1)!!}{n!}$. Отношение $a_n/a_{n+1} = \dfrac{n+1}{2n+1}$ даёт $R_n = n\left(\dfrac{n+1}{2n+1} - 1\right) = -\dfrac{n^2}{2n+1} \to -\infty$, то есть $R < 1$ - расходится. Подобные гипергеометрические члены - естественная зона признака Раабе, так как д’Аламбер на них обычно даёт $1/2$ или $2$, а Раабе уточняет картину на границе.

Усиление: признак Раабе в форме Гаусса

Когда предел Раабе сам оказывается равным единице, помогает признак Гаусса - более точное асимптотическое разложение отношения. Если

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = 1 + \frac{\mu}{n} + O\!\left(\frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\right), \quad \varepsilon > 0,$

то ряд сходится при $\mu > 1$ и расходится при $\mu \le 1$. Здесь $\mu$ - это в точности предел Раабе, но Гаусс дополнительно требует контроля остаточного члена, что снимает неопределённость граничного случая $\mu = 1$ при наличии следующего члена разложения. Иерархия критериев такова: д’Аламбер $\to$ Раабе $\to$ Бертран $\to$ Гаусс, каждый следующий разбирает граничный случай предыдущего.

Сравнение с другими признаками сходимости

Чтобы понять место признака Раабе, полезно сопоставить его с соседями по «лестнице» критериев.

Раабе тоньше д’Аламбера и Коши: он даёт ответ на рядах, где те выдают $1$. Но и у Раабе есть «слепая зона» $R = 1$ - там нужен Бертран или Гаусс. Для знакочередующихся рядов признак Раабе напрямую неприменим: он работает только с положительными членами. Если интерес - в рядах с логарифмами, удобнее признак Ермакова, а сходимость рядов вида $\sum a_n b_n$ исследуется через признак Дирихле.

Частые ошибки

• Путают порядок отношения. В признаке Раабе берётся $a_n/a_{n+1}$, а не $a_{n+1}/a_n$. Если перепутать, знак выражения $a_n/a_{n+1} - 1$ изменится, и вывод о сходимости получится противоположным.
• Делают вывод при $R = 1$. Граничное значение $R = 1$ означает, что признак Раабе не работает, а не что ряд «на грани сходимости». Нужен Бертран или Гаусс - ряд может и сходиться, и расходиться.
• Применяют к знакочередующимся рядам. Признак Раабе требует $a_n > 0$. Для $\sum (-1)^n b_n$ нужен признак Лейбница или Дирихле; Раабе годится только для исследования абсолютной сходимости (ряда модулей).
• Считают $R$ без предела. Само $R_n = n(a_n/a_{n+1} - 1)$ - это последовательность, а не число. Вывод делается только по её пределу при $n \to \infty$; подстановка конкретного $n$ ничего не доказывает.
• Забывают про существование предела. Если $R_n$ не имеет предела (колеблется), нужна форма через $\limsup$/$\liminf$, а наивный вывод по «характерному» значению ошибочен.

FAQ

Когда признак Раабе сильнее признака д’Аламбера? Всегда, когда д’Аламбер даёт граничное значение $D = 1$. Это типично для рядов вида $\sum 1/n^p$, биномиальных и гипергеометрических членов: там $a_{n+1}/a_n \to 1$, и д’Аламбер бесполезен, а Раабе через множитель $n$ извлекает следующий порядок малости и различает сходимость от расходимости.

Что делать, если предел Раабе равен единице? Перейти к более тонкому критерию. Сначала пробуют признак Бертрана $\lim \ln n\,(R_n - 1)$, затем признак Гаусса с асимптотическим разложением $a_n/a_{n+1} = 1 + \mu/n + O(n^{-1-\varepsilon})$. Граничный случай $R = 1$ сам по себе ничего не решает - нужен следующий член разложения.

Можно ли применять признак Раабе к рядам с логарифмами? Можно, но часто неудобно. Для рядов $\sum 1/(n \ln^p n)$ предел Раабе равен $1$ при любом $p$ - признак уходит в граничный случай и не различает $p$. Здесь практичнее интегральный признак или признак Ермакова, заточенные именно под логарифмические ряды.

Коротко

Признак Раабе - уточняющий критерий сходимости положительного ряда $\sum a_n$ через предел $R = \lim n(a_n/a_{n+1} - 1)$: при $R > 1$ ряд сходится, при $R < 1$ расходится, при $R = 1$ ответа нет. Он работает там, где признак д’Аламбера даёт граничное значение $D = 1$ - на рядах Дирихле $\sum 1/n^p$, биномиальных и гипергеометрических членах. Доказательство - сравнение с эталоном $1/n^p$ через подбор показателя $p$ между $1$ и $R$. Проверка идёт по шаблону: вычислить $a_n/a_{n+1}$, домножить на $n$, взять предел, сделать вывод. Если получается единица - поднимаемся по лестнице критериев к Бертрану и Гауссу.