Признак Куммера сходимости: общий критерий рядов

Признак Куммера - это самый общий из «отношенческих» критериев сходимости положительного числового ряда: он содержит признаки д’Аламбера, Раабе и Бертрана как частные случаи и объясняет, почему они выстраиваются в одну лестницу. Идея в том, чтобы взять произвольную вспомогательную последовательность положительных чисел $b_n$ и составить выражение $K_n = b_n\,\dfrac{a_n}{a_{n+1}} - b_{n+1}$. Если предел $K = \lim_{n\to\infty} K_n$ положителен, ряд сходится; если $K < 0$ (точнее, $K_n \le 0$ начиная с некоторого места) и при этом ряд $\sum 1/b_n$ расходится, ряд $\sum a_n$ расходится. Критерий назван в честь немецкого математика Эрнста Эдуарда Куммера (1810–1893). Подбирая разные $b_n$, из него получают все привычные признаки. Ниже разберём формулировку, доказательство, выбор $b_n$ и связь с признаком Раабе, который Куммер прямо обобщает.

Формулировка признака Куммера

Пусть дан положительный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ с $a_n > 0$, и пусть $(b_n)$ - произвольная последовательность строго положительных чисел. Образуем вспомогательную величину

$K_n = b_n\,\frac{a_n}{a_{n+1}} - b_{n+1}.$

Признак Куммера. Обозначим $K = \lim_{n\to\infty} K_n$ (если предел существует). Тогда:

• если $K > 0$ - ряд $\sum a_n$ сходится;
• если $K < 0$ и ряд $\sum 1/b_n$ расходится - ряд $\sum a_n$ расходится.

В более аккуратной формулировке без предела достаточно, чтобы $K_n \ge \delta > 0$ при всех $n \ge N$ (для сходимости) либо $K_n \le 0$ при всех $n \ge N$ вместе с расходимостью $\sum 1/b_n$ (для расходимости). Существование самого предела не обязательно - работает оценка через $\liminf$ и $\limsup$. Именно свобода выбора $b_n$ делает признак Куммера универсальным инструментом исследования сходимости рядов.

Доказательство признака Куммера

Доказательство короткое и опирается на телескопическую сумму. Пусть $K_n \ge \delta > 0$ при $n \ge N$. Распишем определение: $b_n a_n - b_{n+1} a_{n+1} = K_n\, a_{n+1} \ge \delta\, a_{n+1}$. Просуммируем это неравенство от $N$ до $m$:

$\sum_{n=N}^{m} \delta\, a_{n+1} \le \sum_{n=N}^{m} \big(b_n a_n - b_{n+1} a_{n+1}\big) = b_N a_N - b_{m+1} a_{m+1} \le b_N a_N.$

Сумма справа ограничена константой $b_N a_N$, не зависящей от $m$, поэтому частичные суммы ряда $\sum a_{n+1}$ ограничены сверху. Положительный ряд с ограниченными частичными суммами сходится - это и доказывает первую часть.

Для расходимости пусть $K_n \le 0$ при $n \ge N$, то есть $b_n a_n \le b_{n+1} a_{n+1}$. Значит последовательность $b_n a_n$ не убывает, поэтому $b_n a_n \ge b_N a_N = c > 0$, откуда $a_n \ge c / b_n$. По признаку сравнения, раз ряд $\sum 1/b_n$ расходится, расходится и $\sum a_n$. Телескопический приём - сердце доказательства, и именно он подсказывает, какие $b_n$ имеет смысл подставлять.

Частные случаи: д’Аламбер, Раабе, Бертран

Сила признака Куммера в том, что знакомые критерии - это просто конкретный выбор $b_n$.

Выбор $b_n = 1$ - признак д’Аламбера. Тогда $K_n = \dfrac{a_n}{a_{n+1}} - 1$, и условие $K > 0$ означает $\lim a_n/a_{n+1} > 1$, то есть $\lim a_{n+1}/a_n < 1$. Ряд $\sum 1/b_n = \sum 1$ расходится, так что вторая часть тоже даёт классический д’Аламбер. Это самый грубый уровень лестницы.

Выбор $b_n = n$ - признак Раабе. Подставляя $b_n = n$, получаем

$K_n = n\,\frac{a_n}{a_{n+1}} - (n+1) = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) - 1 = R_n - 1,$

где $R_n = n(a_n/a_{n+1} - 1)$ - в точности величина из признака Раабе. Условие Куммера $K > 0$ превращается в $R > 1$, а $K < 0$ - в $R < 1$; ряд $\sum 1/n$ расходится, что обеспечивает расходную часть. Так признак Куммера буквально воспроизводит признак Раабе сходимости как частный случай.

Выбор $b_n = n \ln n$ - признак Бертрана. Эта последовательность даёт критерий Бертрана, разбирающий граничный случай Раабе $R = 1$. Ряд $\sum 1/(n \ln n)$ расходится (что и нужно для условия расходимости), а предел $K_n$ выражается через логарифмический член асимптотики. Дальнейшее обобщение асимптотики приводит к признаку Гаусса сходимости, где Раабе обобщается контролем остаточного члена разложения.

Как выбирать последовательность b(n)

Практический вопрос: какую $b_n$ брать для конкретного ряда. Правило простое - подниматься по лестнице, пока критерий не перестанет «молчать».

• Начните с $b_n = 1$ (д’Аламбер). Если $\lim a_{n+1}/a_n \ne 1$ - ответ готов.
• Если получили ровно $1$, возьмите $b_n = n$ (Раабе). Это покрывает ряды Дирихле $\sum 1/n^p$, биномиальные и гипергеометрические члены, где отношение ведёт себя как $1 - \mu/n$.
• Если и Раабе дал граничную единицу - берите $b_n = n \ln n$ (Бертран), затем $b_n = n \ln n \ln\ln n$ и так далее.

Ключевое требование к расходной части: ряд $\sum 1/b_n$ должен расходиться. Поэтому в качестве $b_n$ берут именно члены, обратные к расходящимся эталонам ($\sum 1/n$, $\sum 1/(n\ln n)$). Чем «медленнее» расходится $\sum 1/b_n$, тем тоньше получается критерий - это и есть содержательный смысл лестницы Куммера.

Примеры применения

Пример 1. Ряд Дирихле $\sum 1/n^p$ через $b_n = n$. Возьмём $a_n = 1/n^p$. Отношение $a_n/a_{n+1} = (1 + 1/n)^p = 1 + p/n + O(1/n^2)$. Тогда

$K_n = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) - 1 = n\left(\frac{p}{n} + O\!\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) - 1 \to p - 1.$

При $p > 1$ предел $K = p - 1 > 0$ - ряд сходится; при $p < 1$ предел отрицателен и $\sum 1/n$ расходится - ряд расходится. Получаем точный критерий сходимости ряда Дирихле.

Пример 2. Биномиальный ряд. Для $a_n = \dfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$ отношение $a_n/a_{n+1} = \dfrac{2n+2}{2n+1}$. С $b_n = n$:

$K_n = n\cdot\frac{2n+2}{2n+1} - (n+1) = \frac{n(2n+2) - (n+1)(2n+1)}{2n+1} = \frac{-(n+1)}{2n+1} \to -\frac{1}{2} < 0.$

Так как $\sum 1/n$ расходится, ряд расходится - он ведёт себя как $\sum 1/\sqrt{n}$.

Пример 3. Когда нужен Бертран. Для ряда $\sum 1/(n \ln^2 n)$ выбор $b_n = n$ даёт $K \to 0$ - Раабе на границе. Переход к $b_n = n \ln n$ выводит предел $K_n$ к положительному значению, и сходимость устанавливается. Это типичная ситуация, когда грубые этажи лестницы молчат, а Куммер с правильным $b_n$ доводит разбор до ответа.

Частые ошибки

• Забывают условие на $\sum 1/b_n$. Расходная часть признака Куммера работает только если ряд $\sum 1/b_n$ расходится. Без этой проверки вывод о расходимости $\sum a_n$ необоснован.
• Путают знак выражения. В $K_n = b_n a_n/a_{n+1} - b_{n+1}$ берётся отношение $a_n/a_{n+1}$ (предыдущий к следующему) и вычитается $b_{n+1}$, а не $b_n$. Перестановка индексов меняет предел.
• Делают вывод при $K = 0$. Граничное значение $K = 0$ означает, что при данном выборе $b_n$ признак не работает - нужно взять более «тонкую» последовательность (следующий этаж лестницы), а не объявлять ряд «на грани».
• Применяют к знакочередующимся рядам. Признак Куммера требует $a_n > 0$. Для $\sum (-1)^n c_n$ нужен признак Лейбница или Дирихле; Куммер годится лишь для абсолютной сходимости.
• Берут $b_n$ со сходящимся $\sum 1/b_n$. Например, $b_n = n^2$ нарушает расходимость $\sum 1/b_n$, и расходная часть критерия теряет силу.

FAQ

Чем признак Куммера отличается от признака Раабе? Признак Раабе - это частный случай Куммера при $b_n = n$: тогда $K_n = R_n - 1$, и условие $K > 0$ совпадает с $R > 1$. Куммер же допускает любую положительную $b_n$, поэтому одной формулой охватывает д’Аламбера ($b_n = 1$), Раабе ($b_n = n$) и Бертрана ($b_n = n\ln n$).

Всегда ли существует «правильная» последовательность $b_n$? Для большинства практических рядов да: лестница $1, n, n\ln n, n\ln n\ln\ln n,\dots$ покрывает почти все встречающиеся случаи. Теоретически существуют ряды, для которых ни один стандартный выбор не даёт строго положительного или отрицательного предела, но в типовых задачах это не встречается.

Что значит граничный случай $K = 0$? Он означает, что выбранная $b_n$ слишком груба для данного ряда - критерий не различает сходимость и расходимость. Нужно перейти к следующему этажу лестницы: от $b_n = n$ к $b_n = n\ln n$ и так далее, пока предел не станет отличен от нуля.

Коротко

Признак Куммера - общий критерий сходимости положительного ряда $\sum a_n$ через предел $K = \lim (b_n a_n/a_{n+1} - b_{n+1})$ с произвольной положительной $b_n$: при $K > 0$ ряд сходится, при $K < 0$ и расходящемся $\sum 1/b_n$ - расходится. Доказательство опирается на телескопическую сумму $b_n a_n - b_{n+1} a_{n+1} = K_n a_{n+1}$. Подбор $b_n$ даёт лестницу критериев: $b_n = 1$ - д’Аламбер, $b_n = n$ - Раабе ($K_n = R_n - 1$), $b_n = n\ln n$ - Бертран. Правило применения - подниматься по лестнице, пока предел не станет отличен от нуля; при этом $\sum 1/b_n$ обязан расходиться.