Признак Ермакова: сходимость рядов с логарифмами

Признак Ермакова - тонкий критерий сходимости положительных рядов с монотонно убывающими членами, опубликованный Василием Петровичем Ермаковым в 1871 году. Его сила - там, где привычные признаки Коши и д'Аламбера дают граничное значение $1$ и ответа не дают: на рядах с вложенными логарифмами $\sum 1/(n \ln n)$, $\sum 1/(n \ln n \ln\ln n)$ и подобных. Идея критерия - заменить ряд интегралом, сделать подстановку $y = e^x$ и посмотреть на отношение $f(e^x) e^x / f(x)$ в пределе. Если оно меньше единицы - ряд сходится, если больше - расходится. Ниже разберём формулировку, доказательство через интегральный признак Коши, классические примеры и место признака Ермакова среди остальных критериев.

Формулировка признака Ермакова

Пусть $f(x)$ - положительная, монотонно убывающая функция на $[1, \infty)$, и пусть $a_n = f(n)$ - общий член положительного ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Рассмотрим вспомогательную функцию

$g(x) = \frac{f(e^x) e^x}{f(x)}.$

Признак Ермакова. Если существует $\limsup_{x \to \infty} g(x) = L$, то:

• при $L < 1$ ряд $\sum f(n)$ сходится;
• при $L > 1$ ряд расходится;
• при $L = 1$ признак не даёт ответа - нужен более тонкий критерий.

В практических задачах обычно работают с обычным пределом $\lim_{x \to \infty} g(x)$, если он существует. Принципиально важны два требования: $f(x) > 0$ и $f(x)$ монотонно убывает (хотя бы начиная с некоторого $N_0$). Без монотонности замена ряда интегралом некорректна, и признак неприменим.

Кто такой Ермаков и зачем понадобился ещё один признак

Василий Петрович Ермаков (1845–1922) - российский математик, профессор Киевского университета, ученик П. Л. Чебышёва. Признак, носящий его имя, был опубликован в Математическом сборнике в 1871 году - в работе, посвящённой расширению арсенала критериев сходимости для рядов, где обычные приёмы дают граничный случай.

К 1871 году уже были известны признаки Коши, д'Аламбера, интегральный, Раабе. Все они хорошо работают на «грубых» рядах вроде $\sum 1/n^p$, но пасуют на тонких объектах с логарифмами: для $\sum 1/(n \ln n)$ и Коши, и д'Аламбер дают $L = 1$ - ответа нет, а Раабе требует тяжёлых выкладок. Ермаков предложил единый рецепт через подстановку $y = e^x$, автоматизирующий разбор граничных логарифмических рядов.

Идея доказательства через интегральный признак Коши

Доказательство опирается на интегральный признак: ряд $\sum f(n)$ с положительной убывающей $f$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл $\int_1^{\infty} f(x)\, dx$. Дальше остаётся понять, при каком условии сходится этот интеграл.

Сделаем подстановку $y = e^x$, $dy = e^x dx$. Интеграл переходит в

$\int_1^{\infty} f(y)\, dy = \int_0^{\infty} f(e^x) e^x\, dx.$

Сходимость интеграла $\int_0^{\infty} f(e^x) e^x\, dx$ можно теперь исследовать сравнением с самим $\int f(x)\, dx$: если подынтегральная функция $f(e^x) e^x$ существенно (с коэффициентом $< 1$) меньше $f(x)$, интеграл сходится; если существенно больше - расходится. Формально: если $\limsup g(x) < 1$, то для достаточно больших $x$ выполнено $f(e^x) e^x \le q f(x)$ с $q < 1$, и тогда

$\int_A^{\infty} f(e^x) e^x\, dx \le q \int_A^{\infty} f(x)\, dx,$

откуда конечность одного интеграла влечёт конечность другого. Аналогично с расходимостью при $L > 1$. Полный аккуратный вариант доказательства можно найти у Фихтенгольца (т. II, гл. XI) или у Кудрявцева.

Классические примеры применения

Пример 1. Гармонический ряд $\sum 1/n$. Здесь $f(x) = 1/x$, тогда

$g(x) = \frac{1/e^x \cdot e^x}{1/x} = \frac{1}{1/x} \cdot \frac{1}{1} = x \to \infty.$

Предел больше единицы - ряд расходится. (Что мы и так знаем, но проверка работает.)

Пример 2. Ряд $\sum 1/n^2$. $f(x) = 1/x^2$,

$g(x) = \frac{e^{-2x} \cdot e^x}{x^{-2}} = x^2 e^{-x} \to 0.$

Предел меньше единицы - ряд сходится. Снова стандартный результат, но через Ермакова он получается одним движением.

Пример 3. Ряд $\sum 1/(n \ln n)$, $n \ge 2$. Это классический граничный случай. $f(x) = 1/(x \ln x)$,

$f(e^x) = \frac{1}{e^x \cdot \ln e^x} = \frac{1}{x e^x}, \quad f(e^x) e^x = \frac{1}{x}.$

Тогда

$g(x) = \frac{1/x}{1/(x \ln x)} = \ln x \to \infty.$

Ряд расходится. Признак Ермакова даёт ответ за одну строчку, в отличие от Коши/д'Аламбера, где получается $L = 1$.

Пример 4. Ряд $\sum 1/(n \ln^p n)$ при $p > 1$. $f(x) = 1/(x \ln^p x)$,

$f(e^x) e^x = \frac{e^x}{e^x \cdot x^p} = \frac{1}{x^p}, \quad g(x) = \frac{1/x^p}{1/(x \ln^p x)} = \frac{\ln^p x}{x^{p-1}} \to 0$

при $p > 1$. Ряд сходится. При $p = 1$ - расходится (пример 3), при $0 < p < 1$ - снова расходится (предел растёт).

Пример 5. Ряд $\sum 1/(n \ln n \ln\ln n)$, $n \ge 3$. Ещё более тонкая граница. $f(x) = 1/(x \ln x \ln\ln x)$,

$f(e^x) = \frac{1}{e^x \cdot x \cdot \ln x}, \quad f(e^x) e^x = \frac{1}{x \ln x},$

$g(x) = \frac{1/(x \ln x)}{1/(x \ln x \ln\ln x)} = \ln\ln x \to \infty.$

Ряд расходится. И здесь Ермаков работает за один шаг, тогда как Коши и д'Аламбер бесполезны.

Сравнение с другими признаками

Чтобы понять место признака Ермакова, полезно сопоставить его с соседями.

Ермаков тоньше Коши и д'Аламбера: он даёт ответ на ряды с логарифмами, где те молчат. Но и у Ермакова есть «слепое пятно» - при $L = 1$ нужны ещё более тонкие критерии (Гаусса, Куммера). Признак Лоэвинов - менее известный аналог Ермакова с подстановкой $y = \log_a x$; тонкости не добавляет, но иногда удобнее по форме.

Типовые задачи на коллоквиуме

Задачи на признак Ермакова в учебниках Демидовича и Кудрявцева идут стандартным набором.

• Прямое применение к ряду с логарифмами. Дано $\sum 1/(n^a \ln^b n)$ - найти область сходимости по $(a, b)$. Через Ермакова получается чисто: $g(x) = \ln^b x / x^{a-1} \cdot$ что-то, дальше пределы степенной vs логарифмической функции.
• Сравнение признаков. Дано $\sum 1/(n \ln n)$ - показать, что Коши и д'Аламбер не работают (дают $L = 1$), затем применить Ермакова.
• Граничный случай $L = 1$. Дан ряд, для которого предел Ермакова тоже единица - требуется альтернативный критерий (обычно - обобщённый интегральный, разложение в ряд асимптотики).
• Параметрические задачи. Найти $p$, при которых $\sum 1/(n (\ln n)^p (\ln\ln n)^q)$ сходится. Это уже задача на иерархию логарифмов, ответ - система неравенств на $p, q$.

Частые ошибки

• Забывают проверить монотонность $f(x)$. Если $f$ не монотонна (например, $f(x) = (2 + \sin x)/x$), интегральный признак не работает, и Ермаков следом - тоже. Перед применением - обязательно убедиться, что $f' < 0$ хотя бы при больших $x$.
• Путают $g(x) = f(e^x) e^x / f(x)$ с $g(x) = f(e^x) / f(x)$. Множитель $e^x$ - это якобиан подстановки $y = e^x$, его пропуск меняет ответ на противоположный.
• Делают вывод при $L = 1$. При предельном значении ровно один признак Ермакова - не работает. Многие пишут «$L = 1$, значит на границе сходимости» - это неверный вывод, ряд может и сходиться, и расходиться. Нужен более тонкий критерий.
• Применяют к знакочередующимся рядам. Признак Ермакова - только для положительных монотонных рядов. Для $\sum (-1)^n b_n$ нужен признак Лейбница или признак Дирихле.
• Используют $\limsup$ там, где предела нет. Формулировка через $\limsup$ корректна, но если предел не существует (например, $g(x)$ колеблется между $0$ и $2$), формальный вывод по $\limsup$ может ошибиться - стоит дополнительно проверить $\liminf$.

FAQ

Когда признак Ермакова сильнее интегрального признака Коши? Формально - никогда: Ермаков выводится из интегрального признака подстановкой. Но практически он быстрее даёт ответ на рядах с вложенными логарифмами, где явное интегрирование $\int 1/(x \ln x \ln\ln x)\, dx$ требует двух подстановок, а Ермаков сводит всё к пределу $\ln\ln x \to \infty$. Если интеграл легко берётся аналитически - пользуйтесь Коши, если ряд логарифмический - Ермаковым.

Можно ли применять признак Ермакова к рядам с факториалами? Нет, формально функция $f(x) = 1/n!$ не определена на непрерывной оси - факториал есть только в целых точках. Можно перейти к гамма-функции $\Gamma(x+1)$ и проверить монотонность, но это избыточно: для рядов с факториалами признак д'Аламбера даёт ответ за одну строчку.

Что значит $\limsup_{x \to \infty} g(x)$ в формулировке? Это верхний предел: наибольшая из частичных «предельных» точек значения $g(x)$ при $x \to \infty$. Если $g(x)$ имеет обычный предел $L$, то $\limsup = L$. Формулировка через $\limsup$ нужна, чтобы признак работал и в случаях, когда $g$ колеблется (но всё ниже единицы).

Коротко

Признак Ермакова - критерий сходимости положительного монотонного ряда $\sum f(n)$ через предел $g(x) = f(e^x) e^x / f(x)$: при $L < 1$ ряд сходится, при $L > 1$ расходится, при $L = 1$ - без ответа. Происхождение - 1871 год, Василий Петрович Ермаков; идея - интегральный признак Коши с подстановкой $y = e^x$. Сила - в рядах с логарифмами $\sum 1/(n \ln^p n)$, $\sum 1/(n \ln n \ln\ln n)$, где Коши и д'Аламбер дают граничный $L = 1$ и молчат. Проверка идёт по шаблону: монотонность $f \to$ вычисление $g(x) \to$ предел $\to$ вывод. Если предел равен единице - нужен более тонкий критерий (Гаусса, Куммера или явный асимптотический разбор).