Признак Дирихле для рядов: формулировка и применение

Признак Дирихле - один из ключевых критериев сходимости для рядов вида $\sum a_n b_n$, где сомножители ведут себя по-разному: один даёт колебания с ограниченными частичными суммами, второй монотонно затухает к нулю. Этот инструмент закрывает почти весь класс задач с тригонометрическими множителями ($\cos nx$, $\sin nx$) и знакочередующимися последовательностями - там, где признак Лейбница не работает, а абсолютная сходимость отсутствует.

Формулировка признака Дирихле

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ - числовой ряд, где последовательности $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ удовлетворяют двум условиям:

1. Частичные суммы $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ равномерно ограничены: существует постоянная $M$ такая, что $|S_N| \le M$ для всех $N$.
2. Последовательность $\{b_n\}$ монотонна и стремится к нулю: $b_n \ge b_{n+1}$ (или $b_n \le b_{n+1}$) для всех $n$, и $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$.

Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ сходится. Доказательство опирается на преобразование Абеля (суммирование по частям) и сводит исходный ряд к ряду из произведений ограниченных $S_n$ на разности $b_n - b_{n+1}$, сумма модулей которых конечна.

Когда признак реально нужен

Признак Дирихле выручает там, где другие критерии беспомощны. Классический пример - ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}$. Здесь $a_n = \sin n$, $b_n = 1/n$. Абсолютной сходимости нет: $\sum \left|\frac{\sin n}{n}\right|$ расходится по тем же причинам, что и гармонический ряд. Признак Лейбница не применим - слагаемые не знакочередуются. А вот частичные суммы $\sum_{k=1}^{N} \sin k$ ограничены: по формуле суммы синусов

$\sum_{k=1}^{N} \sin k = \frac{\sin\frac{N}{2} \cdot \sin\frac{N+1}{2}}{\sin\frac{1}{2}},$

и модуль этого выражения не превосходит $1/\sin(1/2) \approx 2{,}086$. Множитель $b_n = 1/n$ монотонно убывает к нулю, поэтому ряд сходится. Аналогично разбираются $\sum \frac{\cos nx}{n}$, $\sum \frac{\sin nx}{n^p}$ при $p > 0$ и почти любая комбинация тригонометрического сомножителя с монотонным затуханием.

Условия применимости: что проверять и в каком порядке

Чтобы не запутаться в типовой задаче, проверяй условия в фиксированном порядке.

Шаг 1. Разделить множители. Запиши $a_n b_n$ так, чтобы $\{a_n\}$ отвечала за «колебания» (знаки, тригонометрия), а $\{b_n\}$ - за «затухание». Если ряд изначально имеет вид $\sum c_n$, иногда множители не разделяются - тогда признак Дирихле не подходит, нужен другой критерий.

Шаг 2. Оценить частичные суммы $a_n$. Для $a_n = \sin nx$ и $\cos nx$ используй формулы суммирования геометрической прогрессии в комплексной форме или тождества Лагранжа. Для $a_n = (-1)^n$ суммы вообще колеблются между $0$ и $-1$ - ограниченность тривиальна. Важно: для $\sin nx$ и $\cos nx$ ограниченность нарушается, если $x = 2\pi k$ (тогда $\cos nx \equiv 1$ и суммы растут как $N$), - этот случай разбирается отдельно.

Шаг 3. Проверить монотонность $b_n$. Иногда монотонности нет с первого члена, но появляется начиная с некоторого $N_0$ - это нормально, поведение конечного числа слагаемых на сходимость не влияет. Если функция $f(x)$, такая что $b_n = f(n)$, гладкая, удобно проверять знак производной $f'(x)$.

Шаг 4. Убедиться, что $b_n \to 0$. Для $b_n = 1/n^p$ это $p > 0$, для $b_n = 1/\ln(n+1)$ - выполняется, для $b_n = \arctan n$ - НЕ выполняется (предел $\pi/2$, а не ноль). Если предел не нулевой, признак Дирихле не применяется.

Признак Дирихле и признак Абеля: в чём разница

Эти два признака часто путают, хотя различие принципиальное.

В признаке Абеля жёстче требование к $a_n$ (полная сходимость), но мягче к $b_n$ (не обязательно стремление к нулю). В признаке Дирихле - наоборот. Поэтому ряд $\sum \frac{\sin n}{n}$ разбирается только признаком Дирихле: $\sum \sin n$ ограничен, но не сходится. А ряд $\sum \frac{(-1)^n}{n} \cdot \arctan n$ - признаком Абеля: $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ сходится по Лейбницу, $\arctan n$ монотонна и ограничена.

Доказательство через преобразование Абеля

Краткий набросок доказательства, который полезно держать в голове на экзамене. Обозначим $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$. Тогда $a_n = S_n - S_{n-1}$, и сумма $\sum_{n=1}^{N} a_n b_n$ преобразуется так:

$\sum_{n=1}^{N} a_n b_n = S_N b_N + \sum_{n=1}^{N-1} S_n (b_n - b_{n+1}).$

Это и есть формула суммирования по частям (преобразование Абеля). Теперь применяем условия:

• $S_N b_N \to 0$, потому что $|S_N| \le M$, а $b_N \to 0$.
• Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} S_n (b_n - b_{n+1})$ абсолютно сходится, потому что $|S_n (b_n - b_{n+1})| \le M |b_n - b_{n+1}|$, а ряд $\sum |b_n - b_{n+1}|$ телескопически сворачивается в $|b_1 - \lim b_n| = b_1$ (для монотонно убывающих неотрицательных $b_n$).

Сходимость обоих слагаемых даёт сходимость исходной частичной суммы.

Применение к тригонометрическим рядам Фурье

Признак Дирихле - главный инструмент при анализе тригонометрических рядов

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin nx, \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx.$

Если коэффициенты $a_n$ монотонно убывают к нулю, ряд сходится поточечно для всех $x$, не кратных $2\pi$ (для синусов - для всех $x$). Это лежит в основе разложений вида $\sum \frac{\sin nx}{n}$, $\sum \frac{\cos nx}{n^2}$ и многих стандартных рядов Фурье периодических функций. Иногда требуется усиление - равномерная сходимость; тогда нужны более сильные условия (например, абсолютная сходимость или признак Дирихле в форме для равномерной сходимости с равномерной ограниченностью частичных сумм по параметру).

Типовые задачи и приёмы

Перечень шаблонов, которые встречаются на коллоквиумах и в учебниках Фихтенгольца, Демидовича, Кудрявцева.

• Ряды вида $\sum \frac{\sin nx}{n^p}$, $\sum \frac{\cos nx}{n^p}$, $p > 0$. Сходятся по Дирихле при любом $x$, не кратном $2\pi$ (для косинусов). При $p > 1$ сходятся абсолютно, при $0 < p \le 1$ - условно.
• Ряды с логарифмом в знаменателе: $\sum \frac{\sin n}{\ln(n+1)}$. Сходятся по Дирихле, но не абсолютно: $\sum \frac{1}{\ln n}$ расходится сравнением с гармоническим.
• Ряды с дополнительным монотонным множителем: $\sum \frac{\cos nx}{n} \cdot \arctan n$. Здесь сначала примените признак Дирихле к $\sum \frac{\cos nx}{n}$, потом признак Абеля с монотонным ограниченным $\arctan n$.
• Ряды с разрывной структурой $a_n$. Если $a_n$ - не тригонометрия, а, например, $a_n = 1$ при $n$ простом и $a_n = -1$ иначе - ограниченность частичных сумм надо доказывать отдельно, она не всегда есть.

Частые ошибки

• Применяют признак Дирихле там, где частичные суммы не ограничены - например, к $\sum \frac{1}{n^2}$, пытаясь разделить $a_n = 1$, $b_n = 1/n^2$. Сумма $\sum_{n=1}^{N} 1 = N$ растёт, признак не работает (ряд сходится, но по другим причинам - абсолютно).
• Забывают про условие $x \ne 2\pi k$ в тригонометрических рядах. При $x = 2\pi$ ряд $\sum \cos nx = \sum 1$, и признак Дирихле сразу теряет силу.
• Пишут «$b_n$ убывает», не проверяя строго: для $b_n = \frac{\ln n}{n}$, например, монотонное убывание начинается только с $n = 3$ - формально условие выполнено, но в работе обязательно нужна оговорка про конечное число «выпадающих» членов.
• Путают признак Дирихле с признаком Лейбница. Лейбниц - частный случай для $a_n = (-1)^n$; если последовательность не строго знакочередующаяся (как $\sin n$), нужен именно Дирихле.
• Делают вывод об абсолютной сходимости. Признак Дирихле даёт только сходимость (как правило, условную). Для абсолютной - проверяй $\sum |a_n b_n|$ отдельно.

FAQ

Признак Дирихле - это про ряды или интегралы? Обе формулировки существуют. Для рядов условия - ограниченность частичных сумм $\sum a_n$ и монотонное стремление $b_n \to 0$. Для несобственных интегралов $\int_a^{\infty} f(x) g(x)\, dx$ - ограниченность первообразной $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ и монотонное стремление $g(x) \to 0$. Логика та же, рассуждения параллельны - подробнее об интегральной версии и парном признаке Абеля для несобственных интегралов.

Чем отличается признак Дирихле от признака Лейбница? Лейбниц - частный случай Дирихле для $a_n = (-1)^n$: тогда частичные суммы $\sum (-1)^n$ ограничены ($0$ или $-1$), и достаточно монотонного убывания $|b_n| \to 0$. Дирихле обобщает это на любой множитель с ограниченными суммами - например, $\sin n$, $\cos nx$, $e^{inx}$.

Можно ли применять признак Дирихле к рядам с комплексными членами? Да, признак переносится на комплексные ряды без изменений: $a_n$ может быть комплексным, требование - ограниченность $|S_N|$. Это базовый инструмент при изучении рядов вида $\sum \frac{e^{inx}}{n^p}$, $\sum \frac{z^n}{n}$ на границе круга сходимости.

Коротко

Признак Дирихле - критерий сходимости для рядов $\sum a_n b_n$, где у $\{a_n\}$ ограничены частичные суммы, а $\{b_n\}$ монотонно стремится к нулю. Он замыкает разрыв между признаком Лейбница (знакочередующиеся ряды) и признаком Абеля (сходящиеся $\sum a_n$), и работает на всём классе тригонометрических рядов $\sum \frac{\sin nx}{n^p}$, $\sum \frac{\cos nx}{n^p}$. Условия проверяются в фиксированном порядке: оценка частичных сумм $\to$ монотонность $b_n$ $\to$ предел $b_n = 0$ $\to$ вывод о сходимости (как правило, условной).