Средняя скорость на участках пути: формула и задачи

Задачи на среднюю скорость на участках пути ставят в тупик именно потому, что напрашивающийся способ - сложить скорости и поделить пополам - почти всегда даёт неверный ответ. Средняя путевая скорость определяется не через скорости участков, а через весь пройденный путь и всё затраченное время. Если на одном отрезке тело едет быстрее, а на другом медленнее, оно проводит на медленном отрезке больше времени, и этот отрезок "перевешивает". Ниже разберём строгое определение средней скорости, два главных частных случая - равные пути и равные времена, - и покажем на графике движения, почему среднее арифметическое скоростей завышает результат. Чтобы сразу почувствовать связь путей, времён и скорости, покрути калькулятор ниже: он складывает все участки и показывает истинную среднюю скорость рядом с наивной.

Что такое средняя скорость на участках пути

Средняя путевая скорость - это весь пройденный путь, делённый на всё время движения. В отличие от мгновенной скорости, которая своя в каждой точке, средняя скорость одна на весь маршрут:

$v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{s_1 + s_2 + \ldots + s_n}{t_1 + t_2 + \ldots + t_n}.$

Здесь $s_i$ - путь, пройденный на $i$-м участке, а $t_i$ - время движения на нём. Ключевая мысль: в знаменателе стоит сумма времён, а не количество участков, и именно поэтому скорости участков нельзя просто усреднить. Каждый участок входит в среднюю скорость с весом своего времени, а не с равным весом.

Рассчитать для своей задачи

Чтобы найти среднюю скорость, для каждого участка нужно знать его путь и его время. Часто задано что-то одно вместе со скоростью - тогда недостающую величину достают из равномерного движения: если известны путь $s_i$ и скорость $v_i$, то время $t_i = s_i / v_i$; если известны скорость $v_i$ и время $t_i$, то путь $s_i = v_i\, t_i$. После этого остаётся сложить все пути, сложить все времена и поделить.

Случай равных путей: среднее гармоническое

Самая частая постановка - тело проходит два участка одинаковой длины $s$ с разными скоростями $v_1$ и $v_2$. Время на каждом участке: $t_1 = s/v_1$ и $t_2 = s/v_2$. Подставляем в определение:

$v_{ср} = \frac{s + s}{\dfrac{s}{v_1} + \dfrac{s}{v_2}} = \frac{2s}{s\left(\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}\right)} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}.$

Путь $s$ сократился - средняя скорость не зависит от длины участков, только от самих скоростей. Получилась формула среднего гармонического двух чисел. Она всегда меньше среднего арифметического $\frac{v_1 + v_2}{2}$, и тем сильнее, чем больше разрыв между скоростями.

Рассчитать для своей задачи

Возьмём числа: $v_1 = 60$ км/ч и $v_2 = 40$ км/ч. Среднее арифметическое подсказывает 50 км/ч, но по формуле гармонического $v_{ср} = \dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \dfrac{4800}{100} = 48$ км/ч. Разница в 2 км/ч кажется небольшой, но при скоростях 90 и 10 км/ч истинная средняя падает до 18 км/ч против "наивных" 50 - почти втрое.

Случай равных времён: среднее арифметическое

Если же одинаковыми заданы не пути, а времена - например, половину времени тело едет со скоростью $v_1$, а вторую половину со скоростью $v_2$, - картина меняется. Пути участков $s_1 = v_1 t$ и $s_2 = v_2 t$, полное время $2t$:

$v_{ср} = \frac{v_1 t + v_2 t}{t + t} = \frac{(v_1 + v_2) t}{2t} = \frac{v_1 + v_2}{2}.$

Вот здесь среднее арифметическое и оказывается верным. Это главная развилка всех задач на среднюю скорость: при равных временах усредняем скорости как обычные числа, при равных путях - берём среднее гармоническое. Перепутать эти два случая - самая распространённая ошибка, поэтому первым делом всегда выясняй, что в условии одинаково: расстояние или время.

Как считать три и более участков

Когда участков больше двух или они заданы по-разному (где-то путь, где-то время, где-то ещё и остановка), красивые формулы среднего уже не помогают - работает только базовое определение. Алгоритм один и тот же:

1. Для каждого участка выпиши его путь $s_i$ и время $t_i$, восстанавливая недостающее через $t_i = s_i/v_i$ или $s_i = v_i t_i$.
2. Сложи все пути в полный путь $S = \sum s_i$.
3. Сложи все времена в полное время $t = \sum t_i$ (остановка - это участок с нулевым путём, но ненулевым временем).
4. Раздели: $v_{ср} = S / t$.

Рассчитать для своей задачи

Остановка - частый подвох. Машина проехала 40 км за полчаса, постояла 0,5 ч и проехала ещё 60 км за час. Полный путь $S = 100$ км, полное время $t = 0{,}5 + 0{,}5 + 1 = 2$ ч, значит $v_{ср} = 50$ км/ч. Если забыть про время стоянки, получится завышенные 66,7 км/ч. Стоянка пути не добавляет, но время идёт - и среднюю скорость снижает.

Геометрический смысл на графике движения

На графике "путь от времени" движение по участкам - это ломаная, наклон каждого звена равен скорости на этом участке. Средняя скорость - это наклон прямой хорды, соединяющей начало и конец маршрута: она проходит через те же крайние точки, что и реальная ломаная, но "срезает" все изломы.

Именно поэтому средняя скорость лежит между минимальной и максимальной скоростью участков, но не обязательно посередине: чем дольше тело едет медленно, тем положе общая хорда. В калькуляторе выше зелёная линия - это хорда средней скорости, а красный пунктир показывает, куда привела бы неверная "средняя арифметическая": его наклон круче, потому что он завышает скорость и приводит в финиш слишком рано.

Частые ошибки

• Усреднение скоростей при равных путях. Если одинаковы расстояния, складывать скорости и делить пополам нельзя - нужна формула среднего гармонического $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.
• Путаница равных путей и равных времён. Среднее арифметическое верно только тогда, когда одинаковы времена участков. Всегда сначала определяй, что в условии равно.
• Забытая остановка. Время стоянки входит в полное время, хотя путь за неё равен нулю. Игнорирование стоянки завышает среднюю скорость.
• Несогласованные единицы. Нельзя смешивать км/ч с м/с или км с метрами. Приводи все величины к одной системе до подстановки в формулу.
• Подмена пути перемещением. Средняя путевая скорость считается по пройденному пути, а не по перемещению. Если тело вернулось назад, путь складывается, а перемещение может оказаться меньше.

FAQ

Чему равна средняя скорость, если полпути ехать 60 км/ч, а полпути 40 км/ч? Это случай равных путей, поэтому работает среднее гармоническое: $v_{ср} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = 48$ км/ч. Не 50 км/ч - медленная половина отнимает больше времени.

Когда среднюю скорость можно считать как среднее арифметическое? Только когда одинаковы времена участков: если половину времени тело движется со скоростью $v_1$, а другую половину - со скоростью $v_2$, то $v_{ср} = \frac{v_1 + v_2}{2}$. При равных путях это даёт завышенный результат.

Как учитывать остановку в задаче на среднюю скорость? Остановка - это участок с нулевым путём и ненулевым временем. Её время прибавляется к полному времени движения, а к пути ничего не добавляет, поэтому средняя скорость становится меньше. Пропуск стоянки - типичная причина неверного ответа.

Коротко

Средняя скорость на участках пути - это весь путь, делённый на всё время: $v_{ср} = S/t = \frac{\sum s_i}{\sum t_i}$, а не среднее скоростей. При равных путях ответ даёт среднее гармоническое $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$, при равных временах - среднее арифметическое $\frac{v_1 + v_2}{2}$. В общем случае и при остановках работает только базовое определение: восстанови путь и время каждого участка, просуммируй отдельно числитель и знаменатель и раздели одно на другое.