Относительность движения и сложение скоростей

Скорость не существует сама по себе: она всегда измерена относительно какой-то системы отсчёта. Пассажир спит в кресле поезда и неподвижен относительно вагона, но мчится со скоростью 100 км/ч относительно земли. Именно эта зависимость скорости от выбора системы отсчёта и называется относительностью движения, а правило, по которому скорости в разных системах связаны между собой, это классическое сложение скоростей. Ниже разберём, что такое система отсчёта, как векторно складывать скорости, выведем формулу, решим каноническую задачу про лодку на реке и покажем, где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать, как складываются векторы и куда сносит лодку течением, покрути калькулятор ниже, а дальше пройдём каждый шаг строго.

Что такое относительность движения

Относительность движения это утверждение, что положение и скорость тела имеют смысл только по отношению к выбранному телу отсчёта. Нельзя сказать «тело движется» или «тело покоится» без уточнения, относительно чего. Человек, идущий по палубе плывущего корабля, движется относительно палубы, относительно воды и относительно берега с разными скоростями, и все три ответа верны одновременно.

Чтобы описывать движение количественно, вводят систему отсчёта: тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы. Сменив систему отсчёта, мы получаем другую траекторию и другую скорость одного и того же тела. Классический пример: точка на ободе катящегося колеса описывает окружность относительно оси колеса, но циклоиду относительно дороги.

Рассчитать для своей задачи

Формула сложения скоростей

Пусть есть две системы отсчёта. Назовём неподвижную землю системой A, а подвижную среду, например воду или вагон, системой B. Если тело движется со скоростью $\vec{u}$ относительно системы B, а сама система B движется со скоростью $\vec{v}$ относительно A, то скорость тела относительно A равна векторной сумме:

$\vec{V} = \vec{v} + \vec{u}.$

Это и есть классический закон сложения скоростей (галилеево сложение). Ключевое слово здесь векторная: складываются не модули, а векторы, с учётом направлений. Складывать арифметически $V = v + u$ можно только в одном частном случае, когда обе скорости направлены вдоль одной прямой в одну сторону. Если скорости направлены под углом, нужно строить параллелограмм или раскладывать векторы по осям координат.

Удобнее всего работать через проекции. Выберем оси $x$ и $y$, спроецируем каждый вектор и сложим проекции по отдельности:

$V_x = v_x + u_x, \qquad V_y = v_y + u_y.$

Модуль результирующей скорости и её направление находятся через теорему Пифагора и арктангенс:

$V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}, \qquad \tan\alpha = \frac{V_y}{V_x}.$

Этот способ универсален: он одинаково работает и для встречных поездов, и для лодки, идущей под углом к течению.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно правило параллелограмма: два вектора скорости откладываются из общего начала, достраиваются до параллелограмма, и его диагональ задаёт результирующую скорость. Тот же результат даёт правило треугольника, когда второй вектор откладывают от конца первого.

Частные случаи: вдоль одной прямой

Прежде чем браться за углы, полезно разобрать одномерные случаи, в которых векторное сложение сводится к сложению или вычитанию чисел.

Если тело и среда движутся в одну сторону, скорости складываются. Человек идёт по ходу поезда со скоростью 1,5 м/с относительно вагона, вагон едет со скоростью 20 м/с относительно земли, значит относительно земли человек движется со скоростью $20 + 1{,}5 = 21{,}5$ м/с.

Если тело движется против движения среды, скорости вычитаются. Пловец плывёт против течения со скоростью 1,5 м/с относительно воды, течение 0,5 м/с относительно берега, тогда относительно берега пловец движется со скоростью $1{,}5 - 0{,}5 = 1{,}0$ м/с.

Особый и часто встречающийся случай это два тела, движущиеся навстречу. Скорость одного относительно другого равна сумме их скоростей относительно земли. Два поезда со скоростями 72 км/ч и 54 км/ч сближаются со скоростью $72 + 54 = 126$ км/ч. Если же они едут в одну сторону, скорость сближения равна разности, $72 - 54 = 18$ км/ч.

Задача про лодку на реке

Каноническая задача на сложение скоростей выглядит так: лодка переправляется через реку шириной $L = 60$ м. Скорость течения $v = 2$ м/с, собственная скорость лодки относительно воды $u = 3$ м/с и направлена перпендикулярно берегу. Нужно найти скорость лодки относительно берега, время переправы и снос вниз по течению.

Направим ось $x$ вдоль берега по течению, ось $y$ поперёк реки. Течение даёт вектор $\vec{v} = (2;\ 0)$, собственная скорость лодки направлена поперёк, $\vec{u} = (0;\ 3)$. Складываем проекции:

$V_x = 2 + 0 = 2\ \text{м/с}, \qquad V_y = 0 + 3 = 3\ \text{м/с}.$

Модуль скорости относительно берега:

$V = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\ \text{м/с}.$

Важный и неочевидный момент: на время переправы влияет только поперечная составляющая скорости, потому что именно она «съедает» ширину реки. Продольная составляющая лодку через реку не двигает, она лишь сносит её вдоль берега. Поэтому время переправы:

$t = \frac{L}{V_y} = \frac{60}{3} = 20\ \text{с}.$

За это время течение сносит лодку вдоль берега на расстояние:

$d = V_x \cdot t = 2 \cdot 20 = 40\ \text{м}.$

Получаем: лодка движется относительно берега со скоростью около 3,6 м/с под углом $\arctan(3/2) \approx 56°$ к берегу, переправляется за 20 секунд и оказывается на 40 метров ниже точки старта. Подставь свои числа в калькулятор выше: он разложит скорость по осям и покажет траекторию относительно берега ровно по этой схеме.

Как переправиться без сноса

Естественное продолжение задачи: под каким углом держать курс, чтобы лодку не снесло и она пришла строго напротив точки старта? Для этого нужно, чтобы продольная составляющая собственной скорости лодки полностью гасила течение. Лодку надо развернуть носом немного против течения так, чтобы её проекция на ось $x$ была равна $-v$:

$u\cos\beta = v, \qquad \cos\beta = \frac{v}{u},$

где $\beta$ угол между курсом лодки и берегом, отсчитанный против течения. Для $v = 2$ м/с и $u = 4$ м/с получаем $\cos\beta = 0{,}5$, то есть $\beta = 60°$ к берегу. Тогда поперёк реки лодка идёт со скоростью $u\sin\beta = 4 \cdot \sin 60° \approx 3{,}46$ м/с, и сноса нет: результирующая скорость направлена точно поперёк. Очевидно, что такой маневр возможен только если собственная скорость лодки больше скорости течения, иначе течение всё равно снесёт лодку.

Рассчитать для своей задачи

Частые ошибки

• Сложение модулей вместо векторов. Писать $V = v + u$ для скоростей под углом грубая ошибка. Складываются векторы, а значит проекции по осям, а модуль ищется через теорему Пифагора.
• Учёт продольной скорости в времени переправы. Время переправы определяет только поперечная составляющая. Продольная скорость на ширину реки не влияет, она лишь сносит лодку.
• Путаница, относительно чего скорость. Прежде чем складывать, чётко обозначь: скорость лодки относительно воды, скорость воды относительно берега, скорость лодки относительно берега. Эти три величины нельзя смешивать.
• Забытый перевод единиц. Если течение в км/ч, а ширина в метрах, ответ будет неверным. Приводите все величины к одной системе единиц до подстановки.
• Знак при встречном движении. При движении навстречу скорости складываются, при движении в одну сторону вычитаются. Перепутать знак типичная ошибка в задачах на относительную скорость.

FAQ

Почему скорости складываются векторно, а не как обычные числа? Потому что скорость это вектор: у неё есть и модуль, и направление. Складывать просто числа можно лишь когда обе скорости лежат на одной прямой. В общем случае нужно складывать проекции по осям, а итоговый модуль искать через теорему Пифагора.

От чего зависит время переправы лодки через реку? Только от поперечной составляющей скорости и ширины реки: $t = L/(u\sin\theta)$. Течение направлено вдоль берега и на ширину реки не влияет, поэтому если лодка держит курс строго поперёк, время переправы от скорости течения не зависит вовсе, меняется лишь снос.

Чем классическое сложение скоростей отличается от релятивистского? Формула $\vec{V} = \vec{v} + \vec{u}$ верна при скоростях, много меньших скорости света. При околосветовых скоростях работает релятивистский закон сложения, в котором сумма никогда не превышает скорости света. В школьных и большинстве вузовских задач по механике скорости малы, поэтому используется классическое сложение.

Коротко

Относительность движения означает, что скорость тела всегда задана относительно выбранной системы отсчёта. Скорость тела относительно земли равна векторной сумме его скорости относительно среды и скорости среды относительно земли: $\vec{V} = \vec{v} + \vec{u}$. Складывать нужно проекции по осям, а модуль искать через теорему Пифагора. В задаче про лодку время переправы задаёт поперечная составляющая, а продольная определяет снос вдоль берега, и эти два эффекта удобно разделять.