Дальность и высота полёта тела под углом к горизонту

Тело, брошенное под углом к горизонту, летит по параболе: одновременно движется вперёд с постоянной горизонтальной скоростью и вверх-вниз под действием силы тяжести. Из этой простой картины выводятся все рабочие формулы задачи: дальность, максимальная высота и время полёта. Покрутите калькулятор ниже: задайте начальную скорость и угол и посмотрите, как меняются дальность, высота подъёма и форма траектории.

Разложение движения на две оси

Главный приём всей задачи - разложить движение на две независимые проекции. Если тело брошено со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, то начальную скорость раскладывают на горизонтальную и вертикальную составляющие:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha, \qquad v_{0y} = v_0 \sin\alpha.$

По горизонтали никакая сила не действует (сопротивление воздуха не учитываем), поэтому $v_x = v_0 \cos\alpha$ остаётся постоянной, а координата растёт равномерно: $x = v_0 \cos\alpha \cdot t$. По вертикали действует только сила тяжести, и движение там равноускоренное с ускорением $-g$: скорость $v_y = v_0 \sin\alpha - g t$, а высота $y = v_0 \sin\alpha \cdot t - \dfrac{g t^2}{2}$. Эти два движения происходят одновременно и независимо - именно их наложение и даёт параболическую траекторию.

Время полёта

Тело возвращается на уровень броска, когда вертикальная координата снова обращается в ноль: $y = 0$. Подставив выражение для высоты и отбросив тривиальный корень $t = 0$ (момент старта), получаем полное время полёта:

$t = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}.$

Половина этого времени уходит на подъём, половина - на спуск, потому что движение по вертикали симметрично. В верхней точке вертикальная скорость обращается в ноль ($v_y = 0$), и время подъёма равно $t_{\text{под}} = \dfrac{v_0 \sin\alpha}{g}$. Чем круче угол, тем больше вертикальная составляющая скорости и тем дольше тело держится в воздухе.

Максимальная высота полёта

Максимальная высота достигается в верхней точке, где $v_y = 0$. Подставив время подъёма в формулу высоты, получаем максимальную высоту подъёма тела над уровнем броска:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}.$

Высота зависит только от вертикальной составляющей скорости $v_0 \sin\alpha$: горизонтальное движение на неё никак не влияет. Поэтому при фиксированной начальной скорости высота растёт с углом и достигает максимума при вертикальном броске ($\alpha = 90°$), когда вся скорость направлена вверх. Та же логика «вертикальная скорость определяет подъём» работает и в более простых задачах на движение по окружности и кинематику, где скорость тоже удобно раскладывать на составляющие.

Дальность полёта и угол 45 градусов

Дальность - это горизонтальное расстояние, которое тело пролетит за всё время полёта: $L = v_0 \cos\alpha \cdot t$. Подставив время полёта и воспользовавшись тождеством $2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin 2\alpha$, получаем компактную формулу:

$L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}.$

Рассчитать для своей задачи

Дальность зависит от угла через $\sin 2\alpha$, а синус максимален при аргументе $90°$, то есть при $2\alpha = 90°$, откуда $\alpha = 45°$. Это и есть знаменитый ответ: на горизонтальной поверхности тело улетает дальше всего при броске под углом 45 градусов, и тогда

$L_{\max} = \frac{v_0^2}{g}.$

При меньшем угле тело летит слишком полого и быстро падает, при большем - забирается высоко, но почти не продвигается вперёд. Только 45 градусов дают оптимальный баланс между горизонтальной скоростью и временем полёта.

Симметрия: почему 30 и 60 градусов дают одинаковую дальность

У формулы дальности есть красивое следствие: углы $\alpha$ и $90° - \alpha$ дают одну и ту же дальность. Это видно прямо из формулы, потому что $\sin\bigl(2(90° - \alpha)\bigr) = \sin(180° - 2\alpha) = \sin 2\alpha$. Поэтому броски под 30 и 60 градусов, под 20 и 70 градусов и любая такая пара приземляются на одинаковом расстоянии.

Рассчитать для своей задачи

На графике хорошо видна симметричная «горка» с вершиной на 45 градусах. При этом дальность у пары углов равна, а вот высота и время полёта - нет: пологий бросок под 30 градусов и крутой под 60 даёт одинаковую дальность, но крутой поднимется выше и дольше будет лететь. Этот выбор траектории - прямая аналогия с тем, как складываются скорости при относительном движении: итог зависит от того, как направлены составляющие.

Как решать задачи на полёт под углом

Почти все задачи укладываются в короткий план. Сначала раскладывают начальную скорость на составляющие $v_0 \cos\alpha$ и $v_0 \sin\alpha$ - это ключ ко всему. Дальше выбирают, что спрашивают, и берут готовую формулу:

• если нужна дальность - $L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$;
• если нужна максимальная высота - $H = \dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$;
• если нужно время полёта - $t = \dfrac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$.

В обратных задачах (дано $L$ или $H$, найти $v_0$ или $\alpha$) ту же формулу просто решают относительно неизвестной. Например, если известна дальность при угле 45 градусов, начальную скорость находят из $L = v_0^2/g$, то есть $v_0 = \sqrt{g L}$. Если же по дальности ищут угол, из уравнения $\sin 2\alpha = g L / v_0^2$ обычно получаются два значения угла, и оба физически допустимы. Если тело бросают не с земли, а с высоты $h$ (со скалы, со стола), формулы дальности и времени меняются: время находят из уравнения $y = h + v_0 \sin\alpha \cdot t - \dfrac{g t^2}{2} = 0$, а дальность считают уже с этим временем. А вот вертикальная скорость и максимальная высота над точкой броска остаются прежними.

Частые ошибки

• Не раскладывать скорость на составляющие. Без проекций $v_0 \cos\alpha$ и $v_0 \sin\alpha$ задача не решается. Это первый и обязательный шаг.
• Путать высоту и дальность. Высота зависит от $\sin^2\alpha$ и максимальна при 90 градусах, дальность зависит от $\sin 2\alpha$ и максимальна при 45 градусах. Это разные углы.
• Забывать про симметрию. Углы $\alpha$ и $90° - \alpha$ дают равную дальность, но разную высоту и время. В задаче «под каким углом» часто есть два ответа.
• Применять формулу дальности при броске с высоты. Формула $L = v_0^2 \sin 2\alpha / g$ верна только при возврате на уровень броска. Со скалы время полёта надо искать заново из квадратного уравнения.
• Считать вертикальную скорость постоянной. Постоянна только горизонтальная скорость, а вертикальная меняется с ускорением $g$.

FAQ

Под каким углом дальность полёта максимальна? Под углом 45 градусов к горизонту, если бросок и приземление на одном уровне. Тогда $\sin 2\alpha = \sin 90° = 1$ и дальность равна $L_{\max} = v_0^2 / g$. При броске с высоты оптимальный угол немного меньше 45 градусов.

Почему углы 30 и 60 градусов дают одинаковую дальность? Потому что дальность зависит от $\sin 2\alpha$, а $\sin 60° = \sin 120°$. Вообще любая пара углов $\alpha$ и $90° - \alpha$ даёт равную дальность, ведь $\sin\bigl(2(90° - \alpha)\bigr) = \sin 2\alpha$. Но высота и время полёта у них разные: крутой угол поднимает выше и дольше держит в воздухе.

Как найти высоту и дальность, если тело брошено с высоты? Максимальная высота над точкой броска считается по той же формуле $H = v_0^2 \sin^2\alpha / 2g$. А вот время полёта и дальность находят заново: время - из уравнения $h + v_0 \sin\alpha \cdot t - g t^2/2 = 0$, дальность - как $v_0 \cos\alpha \cdot t$ с этим временем.

Коротко

Тело, брошенное под углом $\alpha$ со скоростью $v_0$, летит по параболе как наложение равномерного горизонтального и равноускоренного вертикального движений. Дальность равна $L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$, максимальная высота $H = \dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$, время полёта $t = \dfrac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$. Дальность максимальна при $\alpha = 45°$ и равна $v_0^2/g$, а углы $\alpha$ и $90° - \alpha$ (например 30 и 60 градусов) дают равную дальность при разной высоте и времени. Главный приём решения - всегда раскладывать начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие.