Плоскопараллельное движение твёрдого тела: формулы и МЦС

Плоскопараллельное движение твёрдого тела (его ещё называют плоским движением) - это такое движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости. Катящееся колесо, шатун кривошипно-ползунного механизма, линейка, концы которой скользят по стенке и полу, - всё это классические примеры из теормеха. Главная идея, которая разом упрощает любую задачу: плоское движение можно представить как сумму поступательного движения вместе с выбранным полюсом и вращения вокруг этого полюса. Ниже разберём, как раскладывается движение, как работает теорема о скоростях точек, что такое мгновенный центр скоростей и где студенты чаще всего теряют баллы. Чтобы сразу почувствовать связь скорости центра, угловой скорости и скоростей отдельных точек, покрути калькулятор ниже на примере катящегося колеса.

Разложение на поступательное и вращательное движение

Любое плоское движение тела можно описать, выбрав одну точку - полюс - и сказав, как движется она и как тело поворачивается вокруг неё. Положение всей фигуры тогда задаётся тремя числами: двумя координатами полюса $x_A$, $y_A$ и углом поворота $\varphi$. Соответственно и движение распадается на две части:

• поступательная - перенос всего тела вместе с полюсом $A$; здесь у всех точек одинаковая скорость $\vec{v}_A$;
• вращательная - поворот тела вокруг полюса с угловой скоростью $\omega = \dot{\varphi}$, одинаковой для всех точек.

Важная тонкость: скорость поступательной части зависит от того, какой полюс выбрали, а вот угловая скорость $\omega$ от выбора полюса не зависит - она одна для всего тела. Это и есть рычаг, который делает задачи решаемыми: $\omega$ можно искать через любую удобную точку.

Рассчитать для своей задачи

Теорема о скоростях точек плоской фигуры

Основной рабочий инструмент - теорема о распределении скоростей: скорость любой точки $B$ тела равна геометрической сумме скорости полюса $A$ и скорости вращения точки $B$ вокруг полюса:

$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}, \qquad \vec{v}_{BA} = \vec{\omega} \times \vec{r}_{BA}.$

Модуль вращательной добавки равен $v_{BA} = \omega \cdot AB$, а направлена она перпендикулярно отрезку $AB$ в сторону вращения. На практике это векторное равенство удобно проецировать на оси координат:

$v_{Bx} = v_{Ax} - \omega\,(y_B - y_A), \qquad v_{By} = v_{Ay} + \omega\,(x_B - x_A).$

Есть и более простое следствие - теорема о проекциях скоростей: проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой ($v_A\cos\alpha = v_B\cos\beta$). Это прямое следствие неизменности расстояния между точками твёрдого тела, и оно часто позволяет найти скорость второй точки без явного вычисления $\omega$.

Мгновенный центр скоростей

Самый изящный приём для плоского движения - мгновенный центр скоростей (МЦС). Это такая точка плоскости, скорость которой в данный момент равна нулю. Если принять её за полюс, то поступательная часть пропадает, и движение тела в этот миг выглядит как чистое вращение вокруг МЦС. Тогда скорость любой точки находится элементарно:

$v_M = \omega \cdot d_M,$

где $d_M$ - расстояние от точки $M$ до мгновенного центра скоростей, а сам вектор скорости перпендикулярен отрезку, соединяющему точку с МЦС. Скорости точек растут линейно с удалением от центра - как спицы веера.

Рассчитать для своей задачи

Найти МЦС можно несколькими способами: он лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из двух точек к их скоростям. У катящегося без проскальзывания колеса МЦС всегда находится в точке контакта с опорой - именно поэтому скорость нижней точки равна нулю, скорость центра равна $v_C = \omega R$, а верхняя точка движется со скоростью $2 v_C$. Этот результат удивляет студентов, но он строго следует из формулы $v = \omega d$: верх вдвое дальше от МЦС, чем центр.

Отдельно стоит запомнить два частных случая, в которых перпендикуляры построить не получается. Если скорости двух точек параллельны и не перпендикулярны отрезку между ними, перпендикуляры совпадают, и МЦС оказывается на бесконечности - это означает, что в данный момент $\omega = 0$ и тело движется мгновенно поступательно (все скорости равны). Если же скорости параллельны и перпендикулярны соединяющему отрезку, МЦС находят по подобию: соединяют концы векторов прямой, и её пересечение с линией точек даёт центр. Классический объект для тренировки - стержень, концы которого скользят по двум взаимно перпендикулярным направляющим: МЦС лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям концов, и через него легко найти и угловую скорость, и скорость любой точки стержня.

Ускорения и мгновенный центр ускорений

Для ускорений теорема выглядит похоже, но добавляется ещё одно слагаемое:

$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}^{\,n} + \vec{a}_{BA}^{\,\tau},$

где нормальная (центростремительная) составляющая $a_{BA}^{n} = \omega^2 \cdot AB$ направлена от $B$ к полюсу $A$, а касательная $a_{BA}^{\tau} = \varepsilon \cdot AB$ перпендикулярна $AB$ и связана с угловым ускорением $\varepsilon = \dot{\omega}$. Существует и мгновенный центр ускорений - точка с нулевым ускорением, но в отличие от МЦС он, как правило, не совпадает с точкой контакта и используется реже. Важно не путать два центра: МЦС обнуляет скорость, а не ускорение, поэтому у нижней точки катящегося колеса скорость равна нулю, но ускорение там отлично от нуля и направлено к центру.

Частые ошибки

• Путают, что не зависит от полюса. От выбора полюса не зависит угловая скорость $\omega$ и угловое ускорение $\varepsilon$, а вот скорость полюса и поступательная часть - зависят. Менять полюс можно, $\omega$ при этом не меняется.
• Считают скорость нижней точки колеса ненулевой. При качении без проскальзывания МЦС лежит в точке контакта, и скорость этой точки в данный миг равна нулю. Ненулевое там только ускорение.
• Берут МЦС за центр ускорений. Это разные точки. В точке контакта колеса скорость нулевая, но ускорение направлено к центру и равно $\omega^2 R$.
• Забывают перпендикулярность. Вектор скорости точки всегда перпендикулярен отрезку от этой точки до МЦС. Если в чертеже скорость направлена иначе, МЦС найден неверно.
• Теряют угловое ускорение. В формуле ускорения две добавки: нормальная через $\omega^2$ и касательная через $\varepsilon$. Касательную часто забывают, особенно когда вращение неравномерное.

FAQ

Чем плоскопараллельное движение отличается от поступательного и вращательного? При поступательном движении все точки имеют одинаковые скорости и тело не поворачивается, при вращательном есть неподвижная ось. Плоское движение объединяет оба: тело и переносится вместе с полюсом, и поворачивается вокруг него, причём ось вращения мгновенная и перемещается.

Как найти мгновенный центр скоростей? Восставьте перпендикуляры к скоростям двух точек тела: они пересекутся в МЦС. Если скорости двух точек параллельны и перпендикулярны отрезку между ними, МЦС находят по подобию треугольников из концов векторов. У катящегося колеса МЦС - это точка контакта с опорой.

Почему верхняя точка колеса движется вдвое быстрее центра? Потому что скорость пропорциональна расстоянию до МЦС: $v = \omega d$. Центр отстоит от точки контакта на радиус $R$, а верхняя точка - на $2R$, поэтому её скорость вдвое больше скорости центра.

Коротко

Плоскопараллельное движение твёрдого тела раскладывается на поступательное движение вместе с полюсом и вращение вокруг него с угловой скоростью $\omega$, единой для всего тела. Скорость любой точки даёт теорема $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times\vec{r}_{BA}$, а ещё проще - через мгновенный центр скоростей: $v = \omega d$, где $d$ - расстояние до МЦС. У катящегося без проскальзывания колеса МЦС лежит в точке контакта, поэтому низ неподвижен, центр движется со скоростью $\omega R$, а верх - со скоростью $2\omega R$.