Равноускоренное движение: формулы и задачи

Равноускоренное движение - одна из базовых тем кинематики: тело движется так, что его ускорение остаётся постоянным. Именно здесь появляются первые нетривиальные формулы физики, и именно здесь большинство школьников и студентов первого курса допускают ошибки в задачах. Ниже разберём все формулы, выведем их из определений и покажем, как решать типовые задачи шаг за шагом. Чтобы сразу почувствовать, как связаны начальная скорость, ускорение и результат, попробуй интерактивный калькулятор ниже.

Что такое равноускоренное движение

Движение называется равноускоренным, если проекция ускорения на ось движения постоянна: $a = \text{const}$. Из определения ускорения как производной скорости по времени:

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}$$

Если $a > 0$ - тело разгоняется; если $a < 0$ - тормозит (иногда говорят «равнозамедленное»). С формальной точки зрения оба случая покрываются одной и той же системой уравнений; знак ускорения сам расставит всё по местам.

Рассчитать для своей задачи

Основные формулы равноускоренного движения

Из постоянства ускорения выводятся три ключевых соотношения.

Скорость в момент времени $t$:

$$v = v_0 + at$$

Это просто интегрирование $a = dv/dt$ при постоянном $a$.

Перемещение за время $t$:

$$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$$

Геометрически - площадь под прямой $v(t)$ на графике скорости-времени. Первое слагаемое - прямоугольник (равномерная составляющая), второе - треугольник (прирост от ускорения).

Связь скорости и пути (без времени):

$$v^2 = v_0^2 + 2as$$

Это формула получается исключением $t$ из двух предыдущих. Удобна, когда время неизвестно и не нужно.

Три формулы, три неизвестных ($v$, $s$, $t$) - в типовой задаче по данным двум находишь третье.

Рассчитать для своей задачи

Средняя скорость при равноускоренном движении

Поскольку $v(t)$ - линейная функция, средняя скорость за промежуток - это просто среднеарифметическое начальной и конечной скоростей:

$$\langle v \rangle = \frac{v_0 + v}{2}$$

И ещё один способ записать перемещение:

$$s = \langle v \rangle \cdot t = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$$

Эту формулу часто забывают, хотя она нередко даёт самый короткий путь к ответу.

Путь за $n$-й секунду

В задачах встречается вопрос: какой путь тело прошло именно в $n$-ю секунду? Вычтем перемещения:

$$s_n = s(n) - s(n-1) = v_0 + a\!\left(n - \frac{1}{2}\right)$$

Из формулы видно, что пути в последовательные секунды образуют арифметическую прогрессию с разностью $a$. Это удобный способ проверить условие: если тело стартует из покоя ($v_0 = 0$), то пути в первую, вторую, третью секунды относятся как $1:3:5:...$ (нечётные числа).

Свободное падение как частный случай

Свободное падение - равноускоренное движение с ускорением свободного падения $g \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2$. Все формулы остаются теми же; нужно только правильно выбрать направление оси и знак.

При бросании тела вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$:

• Время подъёма до наивысшей точки: $t_{\text{верх}} = v_0/g$
• Высота подъёма: $H = v_0^2/(2g)$
• Время всего полёта (до возврата на исходный уровень): $t = 2v_0/g$

Горизонтальный бросок - это сочетание равномерного движения по горизонтали и свободного падения по вертикали; ускорение есть только вертикальное.

Графики равноускоренного движения

Умение читать и строить три графика - $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$ - обязательный навык:

• $a(t)$: горизонтальная прямая (ускорение постоянно). Площадь под ней - изменение скорости.
• $v(t)$: наклонная прямая. Наклон равен ускорению; площадь от $0$ до $t$ - перемещение.
• $x(t)$: парабола. Ветви направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$.

Если на экзамене дан один из этих графиков, остальные два можно построить дифференцированием/интегрированием.

Частые ошибки

• Подстановка скорости в км/ч вместо м/с. Все стандартные формулы работают в системе СИ. Переводи: $1\ \text{км/ч} = 1/3{,}6\ \text{м/с} \approx 0{,}278\ \text{м/с}$.
• Знак ускорения. При торможении $a$ и $v_0$ противоположны по знаку. Если взять одинаковые знаки, получишь разгон вместо торможения.
• Путь вместо перемещения. При изменении направления движения перемещение и путь не совпадают: перемещение - вектор, путь - скалярная сумма пройденных расстояний.
• Формула $v^2 = v_0^2 + 2as$ при $a = 0$. При нулевом ускорении она вырождается в $v = v_0$ - то есть работает, но пользоваться ею не нужно: берись за $v = v_0 + at$ напрямую.
• Одинаковость путей в секунды. Только при $v_0 = 0$ пути в секунды идут как $1:3:5$. При ненулевой начальной скорости это соотношение не выполняется.

FAQ

Чем равноускоренное движение отличается от равномерного? При равномерном движении скорость постоянна ($a = 0$), перемещение пропорционально времени: $s = vt$. При равноускоренном скорость линейно меняется, а перемещение растёт как квадрат времени ($\sim t^2$). На графике $v(t)$: горизонтальная прямая против наклонной.

Как решать задачу, если не знаешь, какую формулу выбрать? Выпиши данные и искомое. Три основные формулы содержат четыре величины: $v_0$, $v$, $a$, $s$, $t$. Любые две из трёх формул позволяют найти любые два неизвестных из пяти. Выбирай формулу, в которой есть все данные и нужная искомая величина.

Что значит «тело начинает движение из покоя»? Это означает $v_0 = 0$. Формулы упрощаются: $v = at$, $s = at^2/2$, $v^2 = 2as$. Пути в первые $n$ секунд относятся как $1:3:5:\ldots:(2n-1)$ - знаменитое правило нечётных чисел, открытое Галилеем.

Коротко

Равноускоренное движение описывается тремя формулами: $v = v_0 + at$, $s = v_0 t + at^2/2$ и $v^2 = v_0^2 + 2as$. Все три выводятся из постоянства ускорения. Умея выписывать данные и выбирать нужную формулу, можно решить любую стандартную задачу по кинематике. Графики $v(t)$ и $x(t)$ - визуальная проверка: прямая и парабола соответственно. Свободное падение, торможение автомобиля и взлёт ракеты на начальном участке - всё это примеры равноускоренного движения с разными знаками ускорения.