Изменение энтропии при плавлении льда

Изменение энтропии при плавлении льда считают не по изменению температуры, а по теплоте обратимого фазового перехода. Это важный момент: лёд при нормальном давлении плавится при $0^\circ C$, температура во время самого плавления не растёт, но энтропия увеличивается. Энергия уходит на разрушение кристаллического порядка, и число доступных микросостояний становится больше. Ниже разберём формулу $\Delta S = m\lambda/T$, аккуратный выбор температуры в кельвинах и случай, когда лёд сначала был холоднее нуля. В калькуляторе можно сразу проверить свою массу льда и увидеть, как энтропия растёт на плато плавления.

Почему при плавлении растёт энтропия

В кристалле льда молекулы воды занимают почти фиксированные положения в решётке. В жидкой воде они уже не привязаны к узлам кристалла: молекулы могут перестраивать окружение, перемещаться и образовывать новые локальные конфигурации. Поэтому жидкое состояние при той же массе и той же температуре имеет больше микросостояний, чем кристаллическое.

Энтропия в термодинамике связана с обратимо подведённой теплотой:

$dS = \frac{\delta Q_{rev}}{T}.$

При плавлении чистого льда при нормальном давлении температура остаётся постоянной: $T = T_{pl} = 273{,}15$ К. Значит, всю теплоту плавления можно делить на одну и ту же температуру. Это делает задачу намного проще, чем нагрев с изменяющейся температурой.

Формула для льда при 0 °C

Если лёд уже находится при $0^\circ C$ и полностью плавится при этой же температуре, теплота фазового перехода равна:

$Q_{pl} = m\lambda.$

Здесь $m$ - масса льда в килограммах, $\lambda$ - удельная теплота плавления. Для льда обычно берут:

$\lambda \approx 3{,}33\cdot10^5\ \mathrm{J/kg} = 333\ \mathrm{kJ/kg}.$

Так как процесс идёт при постоянной температуре, изменение энтропии:

$\Delta S_{pl} = \frac{Q_{pl}}{T_{pl}} = \frac{m\lambda}{273{,}15}.$

Это изменение энтропии самого вещества: был лёд при $0^\circ C$, стала вода при $0^\circ C$. Для окружающей среды знак может быть противоположным, если она отдаёт эту теплоту льду, но в задаче обычно спрашивают именно $\Delta S$ льда или системы «лёд плюс вода».

Рассчитать для своей задачи

Пример: 200 г льда

Пусть нужно найти изменение энтропии при плавлении $200$ г льда при $0^\circ C$. Сначала переводим массу:

$m = 200\ \mathrm{g} = 0{,}200\ \mathrm{kg}.$

Считаем теплоту плавления:

$Q_{pl} = m\lambda = 0{,}200\cdot3{,}33\cdot10^5 = 6{,}66\cdot10^4\ \mathrm{J}.$

Теперь делим на абсолютную температуру плавления:

$\Delta S = \frac{6{,}66\cdot10^4}{273{,}15} \approx 244\ \mathrm{J/K}.$

Ответ: энтропия вещества увеличилась примерно на $244$ Дж/К. Положительный знак естественен: жидкая вода при той же температуре менее упорядочена, чем лёд.

Проверка единиц и порядка величины

Перед тем как записывать ответ, полезно проверить размерность. Удельная теплота плавления измеряется в $\mathrm{J/kg}$, поэтому произведение $m\lambda$ даёт джоули. После деления на температуру в кельвинах получается $\mathrm{J/K}$ - именно такая единица нужна для энтропии.

Порядок величины тоже легко оценить. Для $1$ кг льда при $0^\circ C$:

$\Delta S \approx \frac{3{,}33\cdot10^5}{273} \approx 1{,}22\cdot10^3\ \mathrm{J/K}.$

Значит, для $0{,}2$ кг ответ должен быть примерно в пять раз меньше, то есть около $240$ Дж/К. Такая быстрая оценка помогает заметить типичные ошибки: если получилось $0{,}244$ Дж/К, вероятно, массу дважды перевели в килограммы; если получилось бесконечность или огромная величина, почти наверняка в знаменатель подставили $0^\circ C$ вместо $273$ К.

Если лёд был холоднее нуля

Иногда в условии сказано, что лёд взяли при $-10^\circ C$ или $-20^\circ C$, а затем нагрели до $0^\circ C$ и расплавили. Тогда изменение энтропии состоит из двух частей. Первая часть относится к прогреву твёрдого льда от начальной температуры $T_0$ до $T_{pl}$:

$\Delta S_1 = mc_{ice}\ln\frac{T_{pl}}{T_0}.$

Вторая часть относится к плавлению при постоянной температуре:

$\Delta S_2 = \frac{m\lambda}{T_{pl}}.$

Итог:

$\Delta S = mc_{ice}\ln\frac{T_{pl}}{T_0} + \frac{m\lambda}{T_{pl}}.$

Здесь температуры в логарифме обязательно должны быть в кельвинах. Например, для $-10^\circ C$ берут $T_0 = 263{,}15$ К, а не число $-10$. Подстановка градусов Цельсия в логарифм не имеет физического смысла.

Рассчитать для своей задачи

Почему нельзя писать ΔS = mcΔT/T

Формула $mc\Delta T$ описывает нагрев вещества без фазового перехода. При плавлении температура не меняется, поэтому $\Delta T = 0$, но это не значит, что $\Delta S = 0$. Теплота всё равно поглощается: она тратится на переход из твёрдой фазы в жидкую.

Правильная логика такая: сначала определяем теплоту обратимого процесса, затем делим её на температуру, при которой эта теплота подводится. Для плавления при равновесии температура постоянна, поэтому получается простая формула $m\lambda/T$. Для прогрева температура меняется, поэтому появляется логарифм.

Система и окружающая среда

Если лёд плавится от контакта с термостатом при температуре ровно $0^\circ C$, процесс можно идеализировать как обратимый. Тогда лёд получает теплоту $Q$, а термостат отдаёт такую же теплоту при той же температуре. Изменение энтропии льда равно $+Q/T$, изменение энтропии термостата равно $-Q/T$, а сумма равна нулю.

В реальной комнате температура воздуха выше $0^\circ C$, поэтому теплопередача необратима. Лёд всё равно получает примерно $Q = m\lambda$, но окружающая среда отдаёт эту теплоту при более высокой температуре. Тогда суммарная энтропия «лёд плюс комната» положительна. Это не противоречит расчёту $\Delta S$ льда: он показывает изменение состояния вещества, а не полный баланс Вселенной.

Как выбирать температуру в знаменателе

В знаменателе стоит температура фазового перехода, выраженная в кельвинах. Для льда при нормальном давлении это $273{,}15$ К. Не нужно подставлять $0^\circ C$, потому что абсолютная температура не равна нулю. Деление на ноль в такой задаче - признак перепутанной шкалы.

Если давление заметно отличается от нормального, температура плавления меняется, но в школьных и базовых вузовских задачах этим обычно пренебрегают. Для чистого льда и воды вблизи атмосферного давления достаточно взять $T_{pl}=273$ К и $\lambda=3{,}33\cdot10^5$ Дж/кг.

Частые ошибки

• Подставляют граммы вместо килограммов. Удельная теплота плавления задана в Дж/кг, поэтому массу нужно перевести в килограммы.
• Делят на 0 °C. В формуле $\Delta S = Q/T$ температура должна быть абсолютной, то есть $273{,}15$ К.
• Считают через $mc\Delta T$. Во время плавления $\Delta T=0$, но теплота фазового перехода не равна нулю.
• Забывают прогрев холодного льда. Если лёд был ниже $0^\circ C$, добавляется вклад $mc\ln(T_{pl}/T_0)$.
• Смешивают энтропию льда и энтропию окружения. У вещества при плавлении $\Delta S>0$, а у источника теплоты знак зависит от того, какую систему рассматривают.

FAQ

Какая формула для изменения энтропии при плавлении льда? Если лёд плавится при $0^\circ C$, то $\Delta S = m\lambda/T_{pl}$, где $T_{pl}=273{,}15$ К, $\lambda \approx 3{,}33\cdot10^5$ Дж/кг, а масса берётся в килограммах.

Почему энтропия увеличивается, если температура не меняется? Температура постоянна, но вещество переходит из кристаллической фазы в жидкую. Жидкая вода имеет больше доступных микросостояний, поэтому энтропия растёт за счёт фазового перехода.

Как учесть лёд при отрицательной температуре? Нужно сложить прогрев льда и плавление: $\Delta S = mc_{ice}\ln(T_{pl}/T_0) + m\lambda/T_{pl}$. Все температуры в логарифме записывают в кельвинах.

Коротко

Изменение энтропии при плавлении льда при $0^\circ C$ равно $\Delta S = m\lambda/T_{pl}$. Теплота плавления $m\lambda$ подводится при постоянной температуре $273{,}15$ К, поэтому энтропия растёт, хотя термометр стоит на нуле. Если лёд сначала был холоднее, к этому добавляют логарифмический вклад прогрева твёрдого льда до температуры плавления.