Как найти предельные издержки: формула и пример

Дано: общие издержки $TC$ при выпуске $Q = 0;\ 10;\ 20;\ 30;\ 40;\ 50;\ 60;\ 70$ тыс. шт. равны $600;\ 900;\ 1120;\ 1290;\ 1440;\ 1650;\ 2040;\ 2660$ тыс. руб., цена продукции $P = 45$ руб./шт. Найти: предельные издержки на каждом интервале и выпуск с максимальной прибылью.

Предельные издержки находят по приросту общих издержек, а не делением их на объём: $MC = \Delta TC / \Delta Q$. Ответ: MC по шагам равны 30, 22, 17, 15, 21, 39 и 62 руб./шт.; прибыль максимальна при выпуске 60 тыс. шт. и составляет 660 тыс. руб. Калькулятор сверху пересчитывает всю таблицу под другие издержки и другую цену.

Решение по шагам

Дано. Таблица общих издержек фирмы:

Найти: $MC$ на каждом интервале, средние издержки и объём, максимизирующий прибыль при цене 45 руб./шт.

Шаг 1. Прирост издержек и прирост выпуска. Предельные издержки относятся к переходу от одного объёма к другому, поэтому берутся две соседние строки таблицы. Шаг выпуска здесь постоянный и равен $\Delta Q = 10$ тыс. шт., а прирост издержек считается вычитанием:

$$MC_{0 \to 10} = \frac{900 - 600}{10 - 0} = \frac{300}{10} = 30 \ \text{руб./шт.}$$

Единицы сходятся сами: тысячи рублей делятся на тысячи штук и дают рубли на штуку. Дальше та же операция повторяется для каждой пары соседних объёмов.

Шаг 2. Заполняем строку предельных издержек.

Кривая предельных издержек получилась U-образной: сначала каждая партия обходится дешевле предыдущей (30, 22, 17, 15 руб.), затем издержки разворачиваются вверх и доходят до 62 руб. за штуку. Сперва работает более полная загрузка оборудования, потом убывающая отдача переменного ресурса.

Шаг 3. Средние издержки для сравнения. Средние общие издержки $ATC = TC / Q$, средние переменные $AVC = (TC - FC) / Q$, где постоянные издержки $FC = 600$ тыс. руб. равны общим издержкам при нулевом выпуске:

Минимум средних общих издержек равен 33 руб./шт. и достигается при выпуске 50 тыс. шт. Обратите внимание на строку MC: пока она проходит ниже строки ATC, средние издержки падают, а как только предельные издержки на шаге к 60 тыс. шт. подскакивают до 39 руб., средние тут же разворачиваются вверх с 33 до 34 руб.

Шаг 4. Оптимальный выпуск по правилу MC = MR. У фирмы, которая продаёт продукцию по неизменной цене, предельная выручка совпадает с ценой: $MR = P = 45$ руб./шт. Каждая партия имеет смысл, пока её предельные издержки не превышают этой суммы:

$$MC_{50 \to 60} = 39 < 45, \qquad MC_{60 \to 70} = 62 > 45.$$

Значит, партию с 50 до 60 тыс. шт. выпускать выгодно, а следующую уже нет. Проверим прямым счётом прибыли $\pi = P \cdot Q - TC$:

Максимум прибыли действительно приходится на 60 тыс. шт. Тот же результат даёт формула через средние издержки: $\pi = (P - ATC) \cdot Q = (45 - 34) \cdot 60 = 660$ тыс. руб.

Ответ. Предельные издержки по интервалам: 30, 22, 17, 15, 21, 39 и 62 руб./шт.; минимальные средние издержки 33 руб./шт. при 50 тыс. шт.; прибыль максимальна при выпуске 60 тыс. шт. и равна 660 тыс. руб.

Формула предельных издержек и откуда она берётся

Предельные издержки показывают, во сколько обходится расширение выпуска на одну дополнительную единицу продукции. Формально это отношение прироста общих издержек к приросту объёма:

$$MC = \frac{\Delta TC}{\Delta Q} = \frac{TC_2 - TC_1}{Q_2 - Q_1}.$$

Постоянные издержки в этой формуле исчезают сами собой. Общие издержки складываются из постоянных и переменных, $TC = FC + VC$, а $FC$ от объёма не зависит, поэтому $\Delta TC = \Delta VC$ и предельные издержки можно считать как по общим, так и по переменным издержкам. Отсюда важное следствие: аренда цеха, оклады администрации и амортизация в $MC$ не входят, хотя в средние издержки входят обязательно. Именно на разделении затрат на постоянные и переменные держится и весь маржинальный анализ CVP.

Разница с другими показателями издержек чисто арифметическая, но её путают чаще всего. Средние общие издержки $ATC = TC / Q$ отвечают на вопрос, во что обходится единица продукции в среднем при данном объёме. Предельные издержки отвечают на другой вопрос: сколько добавит к затратам следующая единица. Первый показатель делит накопленную сумму, второй берёт разность двух сумм, и совпадать они не обязаны.

Если издержки заданы не таблицей, а гладкой функцией, разность заменяется производной: $MC(Q) = TC'(Q) = VC'(Q)$. Скажем, таблицу из этой задачи неплохо приближает функция

$$TC(Q) = 0{,}01Q^3 - 0{,}9Q^2 + 40Q + 600,$$

тогда предельные издержки равны $MC(Q) = 0{,}03Q^2 - 1{,}8Q + 40$. При $Q = 60$ она даёт 40 руб./шт. против 39 руб. по таблице, а условие $MC = 45$ приводит к квадратному уравнению $0{,}03Q^2 - 1{,}8Q - 5 = 0$ с корнем $Q \approx 62{,}7$ тыс. шт. Дискретный ответ по таблице и непрерывный по функции отличаются на один шаг сетки, и это нормально: таблица знает издержки только в узлах.

Почему MC пересекает ATC в точке минимума

Связь предельных и средних издержек проще всего понять на аналогии со средним баллом. Пока очередная оценка выше текущего среднего, среднее растёт; если оценка ниже, среднее падает; равенство даёт неизменное среднее, то есть точку разворота. С издержками так же: очередная единица продукции обходится в $MC$, и она тянет средние издержки в свою сторону.

Из этого следуют три правила, которые надёжнее любых заученных картинок. Если $MC < ATC$, средние издержки убывают. Если $MC > ATC$, средние издержки растут. Значит, кривая $MC$ пересекает кривую $ATC$ строго в её минимуме, и точно так же она пересекает кривую $AVC$ в минимуме средних переменных издержек.

В нашей таблице оба пересечения видны прямо в числах. Средние переменные издержки достигают минимума 21 руб./шт. на участке от 40 до 50 тыс. шт., и предельные издержки на шаге к 50 тыс. шт. равны ровно 21 руб. Средние общие издержки минимальны при 50 тыс. шт., а предельные издержки переходят через их уровень на следующем шаге, поднявшись с 21 до 39 руб. Пересечение попадает между узлами таблицы, поскольку выпуск меняется крупными партиями по 10 тыс. шт.

Отсюда же берётся ответ на вопрос, зачем считать $MC$, если есть средние издержки. Минимум $ATC$ отвечает за самую дешёвую единицу продукции, а не за самую крупную прибыль. В задаче минимум средних издержек приходится на 50 тыс. шт., а прибыль максимальна при 60 тыс. шт.: дополнительные 10 тыс. шт. поднимают средние издержки с 33 до 34 руб., но приносят выручку по 45 руб. при предельных издержках 39 руб. и добавляют 60 тыс. руб. прибыли.

Цена, предельная выручка и рыночная власть

Правило $MC = MR$ универсально, а вот вид предельной выручки зависит от рынка. Для фирмы, которая принимает цену как данность, предельная выручка постоянна и равна цене, поэтому условие превращается в привычное $P = MC$. Если фирма влияет на цену, при росте продаж приходится снижать цену на весь объём, и предельная выручка оказывается ниже цены, причём тем сильнее, чем менее эластичен спрос. Расчёт самой эластичности по формуле средней точки разобран в задаче про эластичность спроса по цене.

Разрыв между ценой и предельными издержками служит прямой мерой рыночной власти: на нём построен индекс Лернера. В нашем примере при цене 45 руб. и предельных издержках 39 руб. этот разрыв невелик, то есть фирма работает в условиях, близких к конкурентным. Когда на рынке несколько фирм и каждая учитывает выпуск соперника, оптимум ищется тем же приравниванием предельной выручки к предельным издержкам, только предельная выручка зависит и от чужого объёма, как в модели Курно.

Отдельный сюжет - остановка производства. Постоянные издержки платятся при любом выпуске, поэтому в коротком периоде работать стоит, пока цена покрывает средние переменные издержки: минимум $AVC$ здесь 21 руб./шт., и при цене 45 руб. вопрос не возникает.

Частые ошибки

• Делят общие издержки на объём и называют результат предельными. $TC / Q$ - это средние издержки; предельные считаются только через разность двух соседних значений.
• Забывают разделить на $\Delta Q$. При шаге в 10 тыс. шт. прирост издержек 390 тыс. руб. означает 39 руб. на штуку, а не 390. Ошибка появляется каждый раз, когда шаг таблицы не равен единице.
• Включают постоянные издержки в предельные. $FC = 600$ тыс. руб. одинаковы при любом выпуске, их прирост равен нулю, и на $MC$ они не влияют вообще.
• Приписывают MC точке, а не интервалу. Значение 39 руб. относится к переходу от 50 к 60 тыс. шт., поэтому в таблице его пишут между строками, а на графике ставят в середине шага.
• Ищут максимум прибыли в минимуме средних издержек. Совпадают они лишь случайно: здесь минимум $ATC$ при 50 тыс. шт., а оптимум при 60 тыс. шт.
• Останавливаются на первом шаге, где MC растёт. Рост предельных издержек сам по себе ничего не запрещает: выпуск наращивают, пока $MC$ не превысит цену, а MC начал расти уже с 40 тыс. шт.

FAQ

Чем предельные издержки отличаются от средних переменных? Средние переменные издержки делят всю переменную часть затрат на весь выпуск, то есть усредняют её по всем произведённым единицам. Предельные издержки смотрят только на последнюю партию. В таблице при 50 тыс. шт. оба показателя равны 21 руб./шт., но это совпадение точки минимума $AVC$, а не общее правило.

Могут ли предельные издержки уменьшаться при росте выпуска? Да, и в задаче они падают с 30 до 15 руб./шт. на первых четырёх интервалах. Так проявляется растущая отдача: постоянное оборудование загружается плотнее, наладка и переналадка раскладываются на больший объём. Убывающая отдача включается позже, и тогда $MC$ разворачивается вверх.

Что делать, если шаг выпуска в таблице неравномерный? Ничего особенного: в знаменателе стоит фактический прирост объёма. Если объём вырос с 40 до 55 тыс. шт., а издержки с 1440 до 1830 тыс. руб., то $MC = 390 / 15 = 26$ руб./шт. Главное - не подставлять в знаменатель единицу по привычке.

Как проверить расчёт предельных издержек? Сложите все предельные издержки, умноженные на свои приросты объёма, и прибавьте постоянные издержки: должны получиться общие издержки последнего объёма. Для нашей таблицы $600 + 10 \cdot (30 + 22 + 17 + 15 + 21 + 39 + 62) = 600 + 2060 = 2660$ тыс. руб., что совпадает с $TC$ при 70 тыс. шт.

Коротко

1. Предельные издержки равны приросту общих издержек, делённому на прирост выпуска: $MC = \Delta TC / \Delta Q$. Постоянные издержки в них не входят.
2. По таблице задачи предельные издержки на интервалах равны 30, 22, 17, 15, 21, 39 и 62 руб./шт. - кривая U-образная.
3. Средние общие издержки минимальны при 50 тыс. шт. и равны 33 руб./шт.; кривая $MC$ пересекает $ATC$ и $AVC$ именно в их минимумах.
4. Выпуск наращивают, пока $MC \le MR$. При цене 45 руб./шт. выгоден шаг до 60 тыс. шт. ($MC = 39$) и невыгоден до 70 тыс. шт. ($MC = 62$).
5. Ответ: оптимальный выпуск 60 тыс. шт., прибыль $(45 - 34) \cdot 60 = 660$ тыс. руб.