Модель Курно: дуополия, функции реакции и равновесие Нэша

Модель Курно - старейшая формальная модель олигополии: её сформулировал французский математик Антуан Огюстен Курно ещё в 1838 году в работе «Исследования математических принципов теории богатства», за столетие до того, как Джон Нэш в 1950 году описал концепцию равновесия в смешанных стратегиях. Простейший случай - дуополия Курно: на рынке две фирмы, они одновременно и независимо выбирают объёмы выпуска $q_1$ и $q_2$, а рыночная цена формируется на пересечении совокупного предложения $Q = q_1 + q_2$ и заданной обратной функции спроса. Эта модель остаётся базовой рамкой для разговора о количественной конкуренции и любого вводного курса теории игр в экономике.

Постановка задачи

Зафиксируем стандартную учебную версию модели Курно.

• Спрос линейный: обратная функция спроса $P(Q) = a - bQ$, где $Q = q_1 + q_2$ - совокупный выпуск, $a, b > 0$ - параметры. Чем больше суммарное предложение, тем ниже цена.
• Издержки линейные: каждая фирма несёт постоянные предельные издержки $c$ (для базовой симметричной версии $c_1 = c_2 = c < a$, иначе производство нерентабельно).
• Игра в один ход: фирмы выбирают $q_1$ и $q_2$ одновременно - это принципиальное отличие от модели Штакельберга, где есть лидер и последователь.
• Решение - равновесие Нэша в чистых стратегиях: пара $(q_1^*, q_2^*)$, при которой ни одной фирме невыгодно в одиночку отклоняться.

Прибыль фирмы 1 записывается как

$\pi_1(q_1, q_2) = P(Q) \cdot q_1 - c \cdot q_1 = (a - b(q_1 + q_2) - c) \cdot q_1.$

Аналогично для фирмы 2 - поменять индексы. Каждый игрок максимизирует свою $\pi_i$ по $q_i$, считая выпуск конкурента заданным.

Функции реакции

Берём частную производную $\partial \pi_1 / \partial q_1 = 0$:

$a - 2bq_1 - bq_2 - c = 0.$

Отсюда функция реакции фирмы 1 - её оптимальный выпуск как функция от выпуска фирмы 2:

$q_1^*(q_2) = \frac{a - c - bq_2}{2b}.$

Симметрично для фирмы 2:

$q_2^*(q_1) = \frac{a - c - bq_1}{2b}.$

На плоскости $(q_1, q_2)$ это две прямые с отрицательным наклоном $-1/2$: чем больше выпускает конкурент, тем меньше выгодно выпускать тебе. Графически дуополия Курно - это поиск пересечения двух «зеркальных» функций реакции.

Равновесие Нэша

Подставим функцию реакции фирмы 2 в функцию реакции фирмы 1 (или решим систему):

$q_1 = \frac{a - c - b \cdot \frac{a - c - bq_1}{2b}}{2b}.$

После раскрытия и сокращения получаем

$q_1^* = q_2^* = \frac{a - c}{3b}.$

Это и есть равновесие Курно для симметричной дуополии. Совокупный выпуск:

$Q^* = q_1^* + q_2^* = \frac{2(a - c)}{3b}.$

Цена в равновесии:

$P^* = a - bQ^* = a - \frac{2(a - c)}{3} = \frac{a + 2c}{3}.$

Прибыль каждой фирмы:

$\pi_i^* = (P^* - c) \cdot q_i^* = \frac{a - c}{3} \cdot \frac{a - c}{3b} = \frac{(a - c)^2}{9b}.$

Запомните эти три выражения - они появляются в большинстве задач по олигополии.

Сравнение с монополией и Бертраном

Удобно сразу положить дуополию Курно между двумя предельными случаями.

Монополия. Если на рынке одна фирма с теми же издержками $c$, она выберет $Q_M = (a - c)/(2b)$, цену $P_M = (a + c)/2$ и получит прибыль $\pi_M = (a - c)^2 / (4b)$. Сравнение:

• Совокупный выпуск меньше: $Q_M = (a-c)/(2b) < 2(a-c)/(3b) = Q^*$. Две фирмы конкуренцией выдавливают на рынок больше товара.
• Цена выше: $P_M = (a+c)/2 > (a+2c)/3 = P^*$ (при $a > c$).
• Совокупная прибыль выше у монополиста: $\pi_M = (a-c)^2/(4b)$ против $2\pi^* = 2(a-c)^2/(9b)$. Поскольку $1/4 > 2/9$, две фирмы в дуополии вместе зарабатывают меньше, чем монополия - это классический пример «дилеммы заключённого» в олигополии: им выгоднее сговориться, но односторонне отклоняться выгоднее ещё.

Совершенная конкуренция. Здесь $P = c$, $Q_C = (a - c)/b$, прибыль нулевая. Курно с двумя фирмами даёт цену строго выше $c$ - рынок не достигает конкурентного результата.

Модель Бертрана. В Бертране фирмы конкурируют по цене, а не по объёму. Уже при двух фирмах с одинаковыми $c$ равновесная цена падает до $P = c$ - как в совершенной конкуренции. Поэтому выбор переменной решает всё: при количественной конкуренции (Курно) две фирмы оставляют положительную маржу, при ценовой (Бертран) - нет.

Эта разница - содержательная, а не техническая. Курно лучше подходит для рынков, где мощности фиксируются заранее и подстраиваются медленно (металлургия, цемент, авиаперевозки на маршруте). Бертран - для рынков с гибкими ценами и почти неограниченной мощностью (онлайн-торговля стандартизированными товарами, рынки с быстрым переключением поставщиков).

Обобщение на $n$ фирм

Та же логика обобщается на любое число симметричных фирм. Если их $n$, прибыль фирмы $i$:

$\pi_i = (a - b(q_i + Q_{-i}) - c) q_i,$

где $Q_{-i}$ - сумма выпусков остальных. Условие первого порядка даёт функцию реакции $q_i^* = (a - c - bQ_{-i}) / (2b)$. В симметричном равновесии $q_i = q$ для всех $i$, и $Q_{-i} = (n-1)q$. Подстановка:

$q = \frac{a - c - b(n-1)q}{2b} \implies q^* = \frac{a - c}{(n+1)b}.$

Совокупный выпуск:

$Q^* = nq^* = \frac{n(a-c)}{(n+1)b}.$

Цена:

$P^* = a - bQ^* = \frac{a + nc}{n+1}.$

При $n \to \infty$ получаем $P^* \to c$, $Q^* \to (a-c)/b$ - то есть олигополия Курно с большим числом фирм сходится к совершенной конкуренции. Это важный теоретический результат: чем больше игроков, тем ближе рынок к идеалу, и при бесконечном числе фирм маржа исчезает.

При $n = 1$ формулы дают монополию: $q^* = (a-c)/(2b)$ - проверьте подстановкой. При $n = 2$ - нашу дуополию.

Прибыль каждой фирмы $\pi^* = (a-c)^2 / ((n+1)^2 \cdot b)$ - падает квадратично по $n$. Совокупная прибыль отрасли $n\pi^* = n(a-c)^2/((n+1)^2 b)$ убывает по $n$ от монопольного $(a-c)^2/(4b)$ до нуля при бесконечной конкуренции.

Связь со Штакельбергом и Бертраном

Модель Курно - одна из трёх базовых моделей олигополии в учебнике.

• Штакельберг (1934) - последовательный ход: одна фирма (лидер) выбирает $q_L$ первой, видя свою функцию реакции последователя $q_F(q_L) = (a - c - bq_L)/(2b)$. Лидер подставляет её в свою прибыль и максимизирует. Результат: $q_L = (a-c)/(2b)$, $q_F = (a-c)/(4b)$, лидер выпускает больше и зарабатывает больше; общий выпуск больше курноского. Преимущество первого хода - содержательное.
• Курно (1838) - одновременный ход, конкуренция по объёмам. Промежуточный случай между монополией и совершенной конкуренцией.
• Бертран (1883) - одновременный ход, конкуренция по ценам. При одинаковых издержках сразу падает к $P = c$ при $n \ge 2$.

Принципиально: всё определяет что фирма выбирает (объём vs цена) и в каком порядке (одновременно vs последовательно). Курно - симметричная количественная конкуренция, давшая имя самой концепции «равновесие Курно-Нэша».

Где модель Курно ломается

Базовая версия - учебная и грубая. На практике:

• Идентичные продукты. В реальности у Coca-Cola и Pepsi разные продукты с лояльностью бренду - это уже модель дифференцированной дуополии.
• Постоянные предельные издержки. На многих рынках есть растущие или убывающие $MC$, что меняет наклон функций реакции.
• Полная информация. Модель предполагает, что каждый знает функцию спроса и издержки конкурента - на практике это сильное упрощение.
• Один период. Повторяющаяся игра меняет всё: появляется возможность тацитного сговора через стратегии типа «око за око», и равновесие может оказаться ближе к монопольному.
• Нет входа новых фирм. В долгосрочной перспективе свободный вход размывает прибыли до нуля.

Тем не менее как стартовый аналитический каркас Курно работает: он даёт правильный знак сравнительной статики, корректные пределы и удобную алгебру. В этом же ряду «грубых, но полезных» формальных моделей экономики стоит и модель Манделла-Флеминга для открытой экономики - она тоже строится на жёстких упрощениях, но удерживает каркас рассуждения.

Частые ошибки

• Путать Курно и Бертрана по цене. В Курно цена в равновесии выше предельных издержек $c$ (формула $P^* = (a + 2c)/3 > c$), и фирмы получают положительную прибыль. В Бертране при $n \ge 2$ цена равна $c$, прибыль нулевая. Запомнить разницу проще всего так: Курно про выпуск, Бертран про цену.
• Путать $q_i$ и $Q$. $q_i$ - выпуск одной фирмы, $Q = \sum q_i$ - совокупный. В функции реакции стоит $q_i$, в обратном спросе - $Q$. Студенты часто подставляют $Q$ туда, где надо $q_i$, и получают ерунду.
• Считать, что в дуополии «делят пополам монопольный выпуск». Нет: суммарный выпуск Курно $Q^* = 2(a-c)/(3b)$ больше монопольного $(a-c)/(2b)$. Если бы фирмы поделили монопольный выпуск пополам - это был бы сговор, а не равновесие Нэша.
• Применять формулу симметричного равновесия при разных издержках. Если $c_1 \ne c_2$, надо решать систему функций реакции напрямую: $q_1^* = (a - 2c_1 + c_2)/(3b)$, $q_2^* = (a - 2c_2 + c_1)/(3b)$. Более дешёвая фирма выпускает больше.

FAQ

Почему Курно - это равновесие Нэша, а не отдельное «равновесие Курно»? Концепция равновесия Нэша появилась в 1950 году, на 112 лет позже самой модели Курно. Когда Нэш формализовал общее понятие, оказалось, что то, что Курно интуитивно построил, - частный случай равновесия Нэша в игре с непрерывными стратегиями. Поэтому в учебниках встречаются оба термина: «равновесие Курно» и «равновесие Курно-Нэша». Это одно и то же.

Что выгоднее фирме - Курно, Штакельберг-лидер или сговор? По убыванию прибыли отдельной фирмы: сговор (1/2 монопольной прибыли каждому) > Штакельберг-лидер > Курно > Штакельберг-последователь > Бертран. По устойчивости - наоборот: Курно и Бертран как равновесия Нэша устойчивы, сговор - нет (каждой фирме выгодно отклониться). В однократной игре дуополия упирается в Курно как «второй худший» исход - классическая дилемма заключённого в экономике.

Что меняется, если у фирм разные предельные издержки? Симметрия ломается, но логика та же. Фирма с меньшими издержками выпускает больше и зарабатывает больше; фирма с большими издержками выпускает меньше и при достаточно большом разрыве вообще может оказаться вытеснена с рынка (если её $q^*$ из системы получается отрицательным - это сигнал, что она не входит). На устных экзаменах часто просят разобрать кейс $c_1 = c, c_2 = c + \Delta$ - решать его нужно через систему функций реакции напрямую.

Коротко

Модель Курно - это олигополия с одновременным выбором объёмов. Для симметричной дуополии с линейным спросом $P = a - bQ$ и предельными издержками $c$ равновесие Нэша даёт $q_1^* = q_2^* = (a-c)/(3b)$, цену $P^* = (a+2c)/3$ и прибыль $\pi^* = (a-c)^2/(9b)$ у каждой фирмы. Совокупный выпуск больше монопольного, но цена выше предельных издержек - Курно лежит между монополией и совершенной конкуренцией. Обобщение на $n$ фирм даёт $Q^* = n(a-c)/((n+1)b)$, и при $n \to \infty$ результат сходится к совершенной конкуренции. Главная содержательная развилка - Курно vs Бертран: при количественной конкуренции маржа остаётся, при ценовой - мгновенно исчезает.