Модель Бертрана: дуополия и ценовая конкуренция

Модель Бертрана - вторая после Курно классическая модель олигополии и прямая критика первой. Французский математик Жозеф Бертран в 1883 году, рецензируя работу Курно, заметил странность: фирмы у Курно выбирают объёмы, но в реальности продавцы назначают цены, а покупатель идёт туда, где дешевле. Если переписать ту же дуополию через ценовую переменную, результат оказывается радикально иным. Простейший случай - дуополия Бертрана: на рынке две фирмы с одинаковым товаром, они одновременно и независимо назначают цены $p_1$ и $p_2$, а весь спрос достаётся той, у кого цена ниже. Этот сдвиг от количественной к ценовой конкуренции полностью меняет равновесие и даёт знаменитый парадокс Бертрана.

Постановка задачи

Зафиксируем стандартную учебную версию модели Бертрана для однородного товара.

• Товар однородный: продукция фирм неотличима, поэтому покупатель ориентируется только на цену и берёт у самого дешёвого продавца.
• Издержки линейные: обе фирмы имеют одинаковые постоянные предельные издержки $c$ (базовая симметричная версия).
• Игра в один ход: фирмы назначают $p_1$ и $p_2$ одновременно - как и у Курно, но переменная теперь цена, а не объём.
• Правило дележа спроса: весь рыночный спрос $D(p)$ идёт к фирме с меньшей ценой; при равенстве цен спрос делится поровну.

Формально прибыль фирмы 1 как функция назначенных цен записывается кусочно:

$\pi_1(p_1, p_2) = \begin{cases} (p_1 - c)\,D(p_1), & p_1 < p_2, \\ \tfrac{1}{2}(p_1 - c)\,D(p_1), & p_1 = p_2, \\ 0, & p_1 > p_2. \end{cases}$

Именно этот разрыв - «забираю весь рынок, чуть-чуть сбив цену конкурента» - и порождает всю динамику модели.

Парадокс Бертрана

Подведём к главному результату. Каждая фирма хочет назначить цену чуть ниже конкурента, чтобы забрать весь спрос. Пока $p_2 > c$, фирме 1 выгодно поставить $p_1 = p_2 - \varepsilon$: она получает весь рынок с положительной маржой. Но тогда фирме 2 выгодно опуститься ещё ниже, и так далее. Этот процесс взаимного снижения останавливается только в одной точке - когда снижать цену уже некуда без убытка.

Единственное равновесие Нэша в чистых стратегиях:

$p_1^* = p_2^* = c.$

Цена падает до предельных издержек, прибыль каждой фирмы нулевая, совокупный выпуск равен конкурентному $Q = D(c)$. Это и есть парадокс Бертрана: достаточно всего двух конкурентов, чтобы рынок дал тот же результат, что и совершенная конкуренция с бесконечным числом фирм. Никакой рыночной власти у дуополистов не остаётся.

Проверим, что $p_1 = p_2 = c$ - действительно равновесие. Отклонение вверх ($p_i > c$) лишает фирму всего спроса - он уходит конкуренту, прибыль остаётся нулевой. Отклонение вниз ($p_i < c$) даёт весь рынок, но с отрицательной маржой - убыток. Значит, ни одной фирме не выгодно отклоняться: это равновесие Нэша.

Сравнение с моделью Курно

Контраст между двумя моделями - содержательное ядро всей теории олигополии.

В модели Курно фирмы конкурируют по объёмам и в симметричной дуополии получают цену $P^* = (a + 2c)/3 > c$ и положительную прибыль $\pi^* = (a - c)^2/(9b)$ у каждой. В модели Бертрана те же две фирмы с теми же издержками выходят на $P = c$ и нулевую прибыль. Один и тот же рынок, две фирмы, одинаковые издержки - а исходы противоположные.

Почему такая пропасть? Дело в остаточном спросе. У Курно, снижая собственный выпуск, фирма не может мгновенно отнять у конкурента весь рынок - спрос распределяется по цене, которая зависит от суммы объёмов. У Бертрана же чуть более низкая цена забирает весь спрос разом, поэтому стимул сбивать цену гораздо агрессивнее. Эта же логика связывает обе модели со Штакельбергом, где добавляется ещё одно измерение - порядок ходов. Принципиально: исход олигополии определяет что фирма выбирает (цену или объём) и в каком порядке (одновременно или последовательно).

Разные издержки

Снимем симметрию: пусть $c_1 < c_2$ - фирма 1 эффективнее. Логика «подрезать конкурента» сохраняется, но финал смещается. Фирма 1 может назначить цену чуть ниже издержек конкурента $c_2$ и забрать весь рынок, оставаясь в прибыли (ведь её собственные издержки $c_1$ ниже).

В пределе (при непрерывных ценах) равновесная цена эффективной фирмы стремится к $c_2$ - издержкам менее эффективного соперника:

$p_1^* \to c_2, \quad p_2^* = c_2.$

Фирма 1 забирает весь спрос и получает маржу $c_2 - c_1$ на единицу. Фирма 2 вытесняется с рынка с нулевым выпуском. Получается важный вывод: в ценовой конкуренции более эффективная фирма захватывает весь рынок, но не может задрать цену выше издержек ближайшего конкурента - её ограничивает угроза, что соперник вернётся, как только цена превысит $c_2$. Это уже не нулевая прибыль, но и не монопольная: цена «привязана» к издержкам вытесненного игрока.

Как разрешить парадокс

Парадокс Бертрана - артефакт жёстких допущений. Стоит ослабить хотя бы одно, и положительная прибыль возвращается. Три классических механизма:

Дифференциация продукта. Если товары не идентичны (бренд, расположение, качество), снижение цены конкурентом уже не уводит всех покупателей. Спрос фирмы становится гладкой убывающей функцией от обеих цен, $D_1(p_1, p_2)$, и фирмы максимизируют прибыль по $p_i$, получая внутреннее решение с $p^* > c$. Это модель Бертрана с дифференциацией (часто - линейный спрос Хотеллинга), где равновесные цены лежат строго выше предельных издержек.

Ограничение мощности. Если у фирмы недостаточно мощности обслужить весь рынок (модель Эджворта), она не может забрать весь спрос даже более низкой ценой - часть покупателей всё равно идёт к конкуренту по более высокой цене. При определённых мощностях равновесия в чистых стратегиях вообще не существует, а смешанные дают цены выше $c$. Известный результат Крепса–Шейнкмана: двухэтапная игра «сначала выбор мощностей, потом цен» воспроизводит исход Курно - это мост между двумя моделями.

Повторяющееся взаимодействие. В однократной игре кооперация невозможна, но в повторяющейся фирмы могут поддерживать высокую цену угрозой «наказать» отклонившегося ценовой войной (folk-теорема). Тацитный сговор удерживает $p > c$, если будущее ценится достаточно высоко (низкая ставка дисконтирования).

Где модель Бертрана применима

Чистый Бертран адекватен рынкам, где цены гибкие, переключение между поставщиками почти бесплатно, а товар стандартизирован: онлайн-торговля биржевыми товарами, оптовые рынки сырья, тендеры на однородные поставки, агрегаторы цен. Там даже два продавца загоняют маржу почти к нулю.

Курно, наоборот, ближе к рынкам с заранее фиксируемыми мощностями, которые подстраиваются медленно: металлургия, цемент, авиаперевозки на маршруте. Поэтому в курсе теории отраслевых рынков обе модели идут парой: Бертран показывает нижнюю границу (агрессивная ценовая конкуренция), Курно - промежуточный исход (ограниченная количественная конкуренция).

Частые ошибки

• Считать, что у Бертрана прибыль положительна, как у Курно. Наоборот: для однородного товара и симметричных издержек равновесие Бертрана даёт $P = c$ и нулевую прибыль уже при двух фирмах. Положительная маржа $\pi^* = (a-c)^2/(9b)$ - это про Курно.
• Думать, что нужно много фирм для конкурентной цены. В Бертране достаточно двух конкурентов, чтобы получить $P = c$. В этом и парадокс: число фирм не важно, важна агрессивность ценовой конкуренции.
• Путать переменную решения. В Бертране фирма выбирает цену $p_i$, спрос определяется правилом дележа. В Курно фирма выбирает объём $q_i$, цена выходит из обратного спроса $P = a - bQ$. Подстановка «объёмной» формулы в ценовую задачу - типичная ошибка на экзамене.
• При разных издержках писать $p = c$ для обеих фирм. Если $c_1 < c_2$, равновесие смещается: эффективная фирма ставит $p_1 \to c_2$, забирает рынок и получает маржу $c_2 - c_1 > 0$. Нулевая прибыль - только в симметричном случае.
• Забывать, что парадокс снимается допущениями. Дифференциация, ограничение мощности или повторение игры возвращают $p > c$. Утверждать «у Бертрана всегда $P = c$» без оговорки об однородности и однократности - неполный ответ.

FAQ

В чём именно состоит парадокс Бертрана? Парадокс в том, что всего двух конкурентов достаточно, чтобы цена упала до предельных издержек $c$, а прибыль обнулилась - то есть рынок ведёт себя как при совершенной конкуренции с бесконечным числом фирм. Это контринтуитивно: здравый смысл подсказывает, что дуополисты сохранят рыночную власть, а модель говорит обратное. Причина - однородный товар и возможность забрать весь спрос, чуть-чуть сбив цену.

Почему Курно и Бертран дают такие разные ответы для одного рынка? Из-за остаточного спроса. У Курно фирма, меняя свой объём, влияет на цену лишь частично - конкурент сохраняет свою долю спроса. У Бертрана чуть более низкая цена уводит весь рынок, поэтому стимул демпинговать намного сильнее, и цена скатывается к издержкам. Один и тот же рынок при ценовой конкуренции даёт нулевую маржу, а при количественной - положительную. Какая модель ближе к реальности, зависит от того, насколько быстро подстраиваются мощности.

Как из модели Бертрана получить положительную прибыль? Ослабить одно из трёх допущений. Дифференцировать товар (бренды, местоположение) - тогда спрос гладкий и $p^* > c$. Ограничить мощности (модель Эджворта, результат Крепса–Шейнкмана даёт исход Курно). Или перейти к повторяющейся игре, где тацитный сговор удерживает высокую цену угрозой ценовой войны. На практике почти все реальные рынки попадают под одно из этих исключений, поэтому чистый парадокс - редкость.

Коротко

Модель Бертрана - это олигополия с одновременным выбором цен. Для однородного товара и симметричных предельных издержек $c$ единственное равновесие Нэша - $p_1^* = p_2^* = c$: цена падает до издержек, прибыль нулевая, и хватает всего двух фирм. Это парадокс Бертрана - контраст с Курно, где при тех же условиях цена $(a+2c)/3$ и прибыль положительны. Разница - в остаточном спросе: ценовая конкуренция агрессивнее количественной. При разных издержках эффективная фирма захватывает рынок, ставя цену у издержек конкурента. Парадокс снимается дифференциацией продукта, ограничением мощности или повторяющейся игрой - тогда равновесная цена снова превышает предельные издержки.