Эффект Слуцкого замещения: как выделить чистую реакцию

Когда цена блага меняется, потребитель реагирует сразу по двум причинам: благо становится относительно дешевле или дороже других товаров и одновременно меняется реальная покупательная способность бюджета. Эффект Слуцкого замещения - это та часть изменения спроса, которую вызывает только сдвиг относительных цен, очищенный от изменения благосостояния. Ключевая идея Слуцкого в том, как именно он компенсирует доход: ровно столько, чтобы при новых ценах потребитель мог купить прежний набор благ. Эта компенсация измерима по рыночным данным, поэтому разложение Слуцкого особенно ценят за наблюдаемость. В этом разборе мы аккуратно отделим эффект замещения по Слуцкому от эффекта дохода, выведем его знак и покажем, чем он отличается от разложения по Хиксу.

Что такое эффект замещения по Слуцкому

Полный эффект изменения цены - это сдвиг от старого оптимума потребителя к новому при изменившейся цене. Слуцкий предложил мысленно разбить этот сдвиг на две части. Сначала меняем относительные цены, но компенсируем доход так, чтобы потребитель мог по-прежнему позволить себе исходный (старый) набор благ. Спрос при этой гипотетической бюджетной линии задаёт промежуточный оптимум. Движение от старого оптимума к промежуточному и есть эффект замещения по Слуцкому. Затем убираем компенсацию и возвращаем фактический доход - оставшийся сдвиг составляет эффект дохода.

Главное отличие подхода Слуцкого - критерий компенсации. Он держит постоянной не полезность, а возможность купить старый набор. Если цена блага $x$ упала, старый набор теперь стоит дешевле, и компенсация означает изъятие дохода ровно на величину этой экономии, чтобы покупательная способность относительно прежней корзины не изменилась.

Прежде чем разбирать знаки и геометрию по отдельности, удобно прогнать конкретную конфигурацию: задать тип блага и направление изменения цены, а модель восстановит, куда двинется эффект замещения и каким будет итог. Это сразу свяжет абстрактное разложение с конкретной задачей.

Компенсация по покупательной способности старого набора

Формально компенсация Слуцкого строится так. Пусть исходный оптимум - набор $(x_0, y_0)$ при ценах $(p_x^0, p_y)$ и доходе $I$. После падения цены до $p_x^1$ старый набор стоит уже $p_x^1 x_0 + p_y y_0$, что меньше $I$. Чтобы зафиксировать покупательную способность относительно прежней корзины, скорректированный доход выбирают так:

$I' = p_x^1 x_0 + p_y y_0.$

При этом доходе и новых ценах проводят гипотетическую (слуцкианскую) бюджетную линию. Она по определению проходит через старый набор $(x_0, y_0)$, но имеет новый наклон $-p_x^1/p_y$. Оптимум потребителя на этой линии - промежуточный набор. Поскольку набор $(x_0, y_0)$ всё ещё доступен, рациональный потребитель не станет покупать его повторно: при изменившихся относительных ценах он выберет точку, где подешевевшее благо представлено сильнее.

Именно эта доступность старого набора и даёт измеримость: величину $I'$ можно посчитать прямо по наблюдаемым ценам и количествам, без обращения к ненаблюдаемой функции полезности.

Знак эффекта замещения

Эффект замещения по Слуцкому всегда направлен против изменения цены: если благо подешевело, его слуцкианский спрос растёт, если подорожало - падает. Доказывается это через выявленные предпочтения. Старый набор $(x_0, y_0)$ доступен и при новой слуцкианской бюджетной линии, но потребитель выбирает другой набор $(x_s, y_s)$ - значит, он предпочёл его, имея возможность взять прежний. Сопоставив два неравенства затрат (при старых и новых ценах), получаем условие:

$(p_x^1 - p_x^0)(x_s - x_0) \le 0.$

Отсюда при падении цены ($p_x^1 < p_x^0$) разность $x_s - x_0 \ge 0$: спрос на подешевевшее благо не уменьшается. Это и есть строго неположительный знак собственного эффекта замещения - фундаментальное свойство, которое не зависит от того, нормальное благо перед нами или низшее.

В отличие от эффекта замещения, эффект дохода может иметь любой знак. Для нормального блага рост реальной покупательной способности увеличивает спрос, для низшего (инфериорного) - снижает, а для товара Гиффена эффект дохода настолько силён, что перекрывает замещение, и полная реакция спроса меняет знак.

Уравнение Слуцкого

Связь полного, замещающего и доходного эффектов формализует уравнение Слуцкого. В производной форме для спроса на благо $x$ при изменении его цены $p_x$:

$\frac{\partial x^m}{\partial p_x} = \left.\frac{\partial x^s}{\partial p_x}\right|_{\text{комп}} - x \cdot \frac{\partial x^m}{\partial I}.$

Левая часть - наблюдаемая реакция обычного (маршалловского) спроса. Первое слагаемое справа - это и есть эффект замещения по Слуцкому, производная слуцкианского спроса при компенсации покупательной способности; оно всегда $\le 0$. Второе слагаемое - эффект дохода: множитель $x$ показывает долю расходов на благо, а $\partial x^m / \partial I$ - реакцию спроса на доход. Для нормального блага $\partial x^m/\partial I > 0$, поэтому весь член $-x\,\partial x^m/\partial I < 0$ и усиливает падение цены. Для низшего блага он положителен и работает против эффекта замещения.

В конечных разностях то же тождество записывают через дискретные величины: полное изменение спроса равно слуцкианскому эффекту замещения плюс эффект дохода, где доходная часть пропорциональна изменению скорректированного дохода $I - I'$.

Чем отличается от разложения Хикса

Существует две конкурирующие схемы. Хикс компенсирует доход по постоянной полезности - возвращает потребителя на исходную кривую безразличия. Слуцкий компенсирует по покупательной способности - оставляет доступным старый набор. Промежуточные точки и численные значения компонент поэтому различаются.

Подход Слуцкого практичнее: его компенсацию $I'$ считают по рыночным данным, поэтому он лежит в основе индексов цен и эмпирических оценок спроса. Подход Хикса теоретически чище и согласован с двойственностью (функция расходов, лемма Шепарда). При малых изменениях цены оба разложения дают почти совпадающий результат и сходятся в пределе. Если нужно подробное сравнение именно с хиксианской компенсацией и геометрия эффекта дохода, см. разбор эффект дохода Хикса - там разложение строится с другой стороны, от постоянной полезности.

Геометрия на карте безразличия

На графике двух благ разложение Слуцкого читается так. Исходный оптимум - точка касания старой бюджетной линии и кривой безразличия. Падение $p_x$ поворачивает бюджетную линию вокруг точки на оси $y$: точка пересечения с осью $x$ уходит дальше. Новый оптимум лежит на более высокой кривой безразличия.

Чтобы выделить эффект замещения по Слуцкому, проводим вспомогательную бюджетную линию с новым наклоном, проходящую строго через старый набор $(x_0, y_0)$. Её точка касания с какой-либо кривой безразличия - промежуточный набор. Сдвиг по горизонтали от исходного к промежуточному набору - эффект замещения; от промежуточного к финальному оптимуму - эффект дохода. У Хикса вспомогательная линия касается старой кривой безразличия, а не проходит через старый набор, поэтому промежуточная точка лежит чуть иначе - обычно слуцкианский промежуточный набор находится на более высокой кривой безразличия, чем хиксианский.

Где это нужно в задачах

Разложение Слуцкого требуется, когда задача спрашивает «выделите эффект замещения и эффект дохода по Слуцкому» при заданной функции полезности, ценах и доходе. Типичный план: найти исходный оптимум $(x_0,y_0)$; посчитать скорректированный доход $I' = p_x^1 x_0 + p_y y_0$; найти промежуточный (слуцкианский) оптимум при новых ценах и доходе $I'$; найти финальный оптимум при новых ценах и фактическом доходе $I$; затем вычислить разности по координате $x$. Эффект замещения - это $x_s - x_0$, эффект дохода - $x_1 - x_s$. Для функций Кобба-Дугласа спрос линеен по доходу, поэтому все три набора находятся аналитически и компоненты считаются точно.

Частые ошибки

• Путают критерий компенсации. Слуцкий держит постоянной покупательную способность старого набора (доступность $(x_0,y_0)$), а не полезность - это компенсация Хикса.
• Считают эффект замещения произвольным по знаку. Собственный эффект замещения по Слуцкому всегда направлен против изменения цены ($\le 0$ по $p_x$) - это следствие выявленных предпочтений, а не предмет спора.
• Берут старый доход вместо скорректированного. Промежуточный набор ищут при доходе $I' = p_x^1 x_0 + p_y y_0$, а не при исходном $I$ - иначе смешиваются обе компоненты.
• Приписывают эффекту дохода всегда положительный знак. Для низших благ он отрицателен, а у товара Гиффена по модулю превышает эффект замещения и переламывает наклон спроса.
• Забывают про долю расходов. В уравнении Слуцкого множитель $x$ означает: чем больше доля бюджета на благо, тем сильнее эффект дохода относительно замещения.

FAQ

Чем эффект замещения по Слуцкому отличается от эффекта по Хиксу? Слуцкий компенсирует доход так, чтобы остался доступен старый набор (постоянная покупательная способность), Хикс - так, чтобы вернуться на исходную кривую безразличия (постоянная полезность). Промежуточные наборы и численные значения отличаются, но при малых изменениях цены сходятся.

Почему эффект замещения по Слуцкому всегда неположителен по цене? Потому что при слуцкианской бюджетной линии старый набор остаётся доступным, а потребитель выбирает другой. Из выявленных предпочтений следует неравенство $(p_x^1 - p_x^0)(x_s - x_0) \le 0$: подешевевшее благо не может терять в слуцкианском спросе.

Почему именно компенсацию Слуцкого используют на практике? Скорректированный доход $I' = p_x^1 x_0 + p_y y_0$ выражается через наблюдаемые цены и количества, без ненаблюдаемой полезности. Поэтому подход Слуцкого лежит в основе индексов стоимости жизни и эмпирического оценивания функций спроса.

Коротко

Эффект Слуцкого замещения - это часть реакции спроса на изменение цены, вызванная только сдвигом относительных цен при компенсации дохода по покупательной способности старого набора. Его знак всегда направлен против изменения цены, что следует из выявленных предпочтений и не зависит от типа блага. Вместе с эффектом дохода он образует полное изменение спроса, а их связь формализует уравнение Слуцкого. От разложения Хикса подход отличается критерием компенсации: измеримая доступность старого набора против постоянной полезности.