Как определить эластичность спроса по цене: решение

Дано: цена товара выросла со 100 до 150 руб., месячный объём продаж упал с 400 до 240 шт. Найти: коэффициент эластичности спроса по цене, тип эластичности и изменение выручки.

Считаем по формуле средней точки: проценты берём не от начального уровня, а от полусуммы значений «до» и «после». Ответ: $E_d = -1{,}25$, спрос эластичный, выручка снизилась с 40 000 до 36 000 руб. Калькулятор сверху пересчитает коэффициент под ваши числа и заодно покажет, при какой цене выручка продавца максимальна.

Решение по шагам

Дано.

Найти: коэффициент эластичности $E_d$, тип эластичности, изменение выручки $TR$.

Шаг 1. Приращения. Из конечных значений вычитаем начальные и знаки не отбрасываем: минус у объёма и есть закон спроса в числах.

$$\Delta Q = 240 - 400 = -160 \text{ шт.}, \qquad \Delta P = 150 - 100 = 50 \text{ руб.}$$

Шаг 2. База сравнения. В формуле средней точки процент считается от середины интервала, поэтому сначала находим средние цену и объём:

$$\bar{Q} = \frac{400 + 240}{2} = 320 \text{ шт.}, \qquad \bar{P} = \frac{100 + 150}{2} = 125 \text{ руб.}$$

Шаг 3. Относительные изменения. Делим каждое приращение на свою среднюю величину:

$$\begin{aligned} \%\Delta Q &= \frac{-160}{320} \cdot 100\% = -50\%, \\ \%\Delta P &= \frac{50}{125} \cdot 100\% = 40\%. \end{aligned}$$

Шаг 4. Коэффициент эластичности. Это отношение процентного изменения объёма к процентному изменению цены, а не наоборот:

$$E_d = \frac{\%\Delta Q}{\%\Delta P} = \frac{-50\%}{40\%} = -1{,}25.$$

Шаг 5. Тип эластичности. Знак минус отражает обратную связь цены и спроса и в классификации не участвует, поэтому сравниваем с единицей модуль: $|E_d| = 1{,}25 > 1$, спрос эластичный. Содержательно это значит, что на интервале от 100 до 150 руб. каждый процент подорожания отнимал у продавца в среднем 1,25 % проданного количества.

Шаг 6. Проверка через выручку. У эластичного спроса рост цены обязан уменьшать выручку: количество теряется быстрее, чем прибавляет цена. Считаем выручку до и после:

$$TR_1 = 100 \cdot 400 = 40\,000 \text{ руб.}, \qquad TR_2 = 150 \cdot 240 = 36\,000 \text{ руб.}$$

Выручка снизилась на 4 000 руб., то есть на 10 %. Вывод согласован с коэффициентом, и это лучшая проверка задачи: если бы получился модуль меньше единицы, а выручка при этом упала, в расчёте была бы ошибка.

Ответ: $E_d = -1{,}25$, спрос эластичный, выручка снизилась с 40 000 до 36 000 руб. (на 10 %).

Формула средней точки и откуда она берётся

Определение эластичности одинаково для любых пар «фактор - результат»: она показывает, на сколько процентов меняется величина спроса при изменении цены на один процент. В общем виде это отношение двух относительных приращений:

$$E_d = \frac{\%\Delta Q}{\%\Delta P} = \frac{\Delta Q / Q}{\Delta P / P}.$$

Вся сложность прячется в том, какие именно $Q$ и $P$ поставить в знаменатели: цены в задаче две, начальная и конечная, и объёма тоже два. Формула средней точки отвечает нейтрально: берёт полусумму, то есть середину отрезка спроса.

$$E_d = \frac{\Delta Q}{(Q_1 + Q_2)/2} : \frac{\Delta P}{(P_1 + P_2)/2} = \frac{Q_2 - Q_1}{Q_2 + Q_1} \cdot \frac{P_2 + P_1}{P_2 - P_1}.$$

Двойки в знаменателях сокращаются, поэтому свёрнутый вид удобно считать в одну строку без промежуточных процентов. Проверим на наших числах:

$$E_d = \frac{240 - 400}{240 + 400} \cdot \frac{150 + 100}{150 - 100} = -\frac{160}{640} \cdot \frac{250}{50} = -0{,}25 \cdot 5 = -1{,}25.$$

Результат совпал с пошаговым расчётом, значит арифметика верна. Такую эластичность называют дуговой: она характеризует не точку, а дугу кривой спроса между двумя состояниями рынка. Если спрос задан функцией и нужно значение ровно в точке, работает производная, $E_d = Q'(P) \cdot P / Q$. Отдельный случай - оценка по выборке наблюдений, где коэффициент считают по уравнению регрессии: такая задача разобрана в статье про средний коэффициент эластичности.

Почему обычная формула даёт два разных ответа

Формулу средней точки придумали не ради красоты. Посчитаем ту же пару точек привычным способом, взяв за базу начальные значения:

$$E_d^{\text{нач}} = \frac{-160 / 400}{50 / 100} = \frac{-40\%}{50\%} = -0{,}8.$$

Теперь то же самое, но от конечных значений:

$$E_d^{\text{кон}} = \frac{-160 / 240}{50 / 150} = \frac{-66{,}7\%}{33{,}3\%} = -2{,}0.$$

Одни и те же исходные данные дали три ответа: 0,8, 1,25 и 2,0 по модулю. Первый относит спрос к неэластичному, два других - к эластичному, и различаются они только выбором базы для процентов. Проблема появляется потому, что процент от 400 и процент от 240 - разные величины, а изменение цены на 50 % с последующим удешевлением обратно даёт уже не 50, а 33 %. Средняя точка снимает эту асимметрию: база одна и та же в обе стороны, поэтому подорожание со 100 до 150 руб. и удешевление со 150 до 100 руб. дают ровно один коэффициент. Переключатель базы в калькуляторе сверху воспроизводит все три варианта на одних и тех же ползунках.

Полезная деталь для контроля: если спрос линейный, крайние значения 0,8 и 2,0 - это точные точечные эластичности на концах отрезка. Правильный ответ по дуге всегда лежит между ними, поэтому число вне интервала от 0,8 до 2,0 сразу говорит об ошибке в вычислениях.

Классификация: эластичный, неэластичный и единичный спрос

Сравнение модуля с единицей - это и есть ответ на вопрос «какой спрос». Формулировку в ответе задачи берут из таблицы:

Эластичный спрос дают товары с близкими заменителями и необязательные покупки: конкретная марка кофе, поездка, техника не первой необходимости. Неэластичный - товары первой необходимости и лекарства по назначению врача. Влияет и горизонт времени: за неделю покупатель не успевает найти замену, а за год перестраивает потребление, поэтому долгосрочная эластичность выше краткосрочной. Способность фирмы держать цену выше издержек связана с этим коэффициентом напрямую и измеряется индексом Лернера.

Эластичность и выручка: правило и его граница

Выручка равна произведению цены на количество, $TR = P \cdot Q$, и при подорожании один множитель растёт, а второй падает. Кто победит, решает как раз эластичность. Правило запоминается одной строкой: при эластичном спросе цена и выручка движутся в разные стороны, при неэластичном - в одну. Отсюда практический вывод для задач на ценообразование: снижать цену выгодно только на эластичном участке, повышать - только на неэластичном.

У правила есть важная тонкость, которую редко проговаривают. Эластичность не является свойством товара целиком: вдоль одной и той же прямой спроса она меняется от нуля до бесконечности. Восстановим прямую по нашим двум точкам. Наклон равен $-160 / 50 = -3{,}2$ шт. на рубль, поэтому

$$Q(P) = 720 - 3{,}2\,P,$$

и обе точки условия ей удовлетворяют: $720 - 320 = 400$ и $720 - 480 = 240$. Точка единичной эластичности у линейного спроса лежит ровно посередине шкалы цен, здесь это $P^{*} = 112{,}5$ руб. при объёме 360 шт. Именно там выручка максимальна и равна 40 500 руб. - этот максимум отмечен вертикальной чертой на графике в калькуляторе.

Значит, наш отрезок начинается чуть ниже точки максимума и заканчивается далеко выше неё: на участке от 100 до 112,5 руб. выручка ещё немного росла, а дальше падала, и в сумме продавец потерял 4 000 руб. Дуговой коэффициент 1,25 описывает именно этот суммарный итог по всему интервалу, а не поведение в каждой его точке. Когда по задаче нужно ещё и посчитать финансовый результат такого решения, дальше идёт стандартный расчёт прибыли от продаж с вычитанием себестоимости и коммерческих расходов.

Частые ошибки

• Считают проценты от начальных значений и получают другой тип спроса. В нашем примере это даёт 0,8 вместо 1,25 и вывод «спрос неэластичный», прямо противоречащий упавшей выручке. Если в условии есть слова «по формуле средней точки» или «дуговая», база строго полусумма.
• Переворачивают дробь. В числителе всегда процентное изменение объёма, в знаменателе - цены. Ответ 0,8 вместо 1,25 может означать и эту ошибку тоже: 40 / 50 вместо 50 / 40.
• Теряют знак или пугаются его. Коэффициент эластичности спроса по цене отрицателен всегда, кроме товаров Гиффена. Записывать в ответ минус корректно, сравнивать с единицей нужно модуль, а вот перекрёстная эластичность знак как раз меняет и по нему различают заменители и дополняющие товары.
• Путают эластичность с наклоном кривой спроса. Наклон здесь постоянен и равен 3,2 шт. на рубль, а эластичность на той же прямой пробегает все значения от 0 до бесконечности. Утверждение «спрос эластичный, потому что кривая пологая» неверно без привязки к точке.
• Считают проценты от процентов. Если цена выросла на 50 %, а объём упал на 40 %, коэффициент равен 40 / 50, а не разности 10 % и не их произведению.
• Смешивают три эластичности. По цене, по доходу и перекрёстная различаются тем, что стоит в знаменателе: своя цена, доход покупателя или цена другого товара. Числитель у всех трёх одинаковый.

FAQ

Почему коэффициент отрицательный и можно ли писать его без минуса? Минус возникает из закона спроса: цена и количество меняются в противоположные стороны, поэтому дробь всегда отрицательна. В учебниках встречаются обе записи, но безопаснее привести полное значение $-1{,}25$ и отдельной фразой указать, что по модулю оно больше единицы. Тогда ответ верен при любых требованиях преподавателя.

Чем дуговая эластичность отличается от точечной? Дуговая описывает отрезок между двумя известными состояниями рынка и считается по формуле средней точки. Точечная описывает поведение спроса в одной цене и требует функции спроса: $E_d = Q'(P) \cdot P / Q$. Если в условии даны две пары чисел, нужна дуговая, если задана формула $Q(P)$ и одна цена, точечная.

Что даёт значение, равное единице по модулю? Единичная эластичность означает, что процентные изменения цены и количества равны, и выручка при малом изменении цены остаётся прежней. Для линейного спроса эта точка одна, она делит шкалу цен пополам и совпадает с максимумом выручки, поэтому её ищут в задачах на оптимальную цену.

Как оценить эластичность, если процентов в условии нет вообще? По выручке. Сравните $P_1 Q_1$ и $P_2 Q_2$: если после подорожания выручка упала, спрос эластичный, если выросла - неэластичный, если не изменилась - эластичность единичная. Точного числа приём не даёт, но тип спроса определяет безошибочно.

Коротко

1. Найдите приращения $\Delta Q = Q_2 - Q_1$ и $\Delta P = P_2 - P_1$ вместе со знаками.
2. Разделите каждое на полусумму соответствующих значений: базой служат $(Q_1 + Q_2)/2$ и $(P_1 + P_2)/2$.
3. Коэффициент равен отношению процентов, объём сверху: $E_d = \%\Delta Q / \%\Delta P$.
4. Сравните модуль с единицей: больше - спрос эластичный, меньше - неэластичный, ровно единица - единичная эластичность.
5. Проверьте ответ по выручке. Для примера с ростом цены со 100 до 150 руб. и падением спроса с 400 до 240 шт. получаем $E_d = -1{,}25$, спрос эластичный, выручка снизилась с 40 000 до 36 000 руб.