Как определить предельный доход: формула MR и пример

Дано: обратная функция спроса $P = 120 - 2Q$, где цена в руб./шт., а выпуск $Q$ в тыс. шт.; общие издержки $TC = 200 + 20Q$ тыс. руб. Найти: функцию предельного дохода и выпуск, максимизирующий прибыль.

Предельный доход - это производная выручки по объёму продаж, а не цена и не выручка, делённая на количество: $MR = \dfrac{dTR}{dQ}$. Ответ: $MR(Q) = 120 - 4Q$ руб./шт., оптимальный выпуск 25 тыс. шт., цена 70 руб./шт., прибыль 1050 тыс. руб. Калькулятор сверху строит обе прямые и пересчитывает оптимум под другие параметры спроса и издержек.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем выручку как функцию выпуска. Выручка равна произведению цены на количество, но цена здесь не постоянна: чтобы продать больше, фирме приходится снижать её по закону спроса. Поэтому вместо цены подставляется вся функция:

$$TR(Q) = P(Q) \cdot Q = (120 - 2Q)\,Q = 120Q - 2Q^2.$$

Единицы сходятся сами: рубли за штуку умножаются на тысячи штук и дают тысячи рублей.

Шаг 2. Берём производную - это и есть предельный доход.

$$MR(Q) = \frac{dTR}{dQ} = \frac{d}{dQ}\left(120Q - 2Q^2\right) = 120 - 4Q.$$

Сравните с самой функцией спроса: свободный член у них общий, а коэффициент при $Q$ удвоился. Прямая $MR$ выходит из той же точки 120 руб. на оси цен и падает вдвое круче.

Шаг 3. Находим предельные издержки. Издержки заданы линейной функцией, поэтому их производная постоянна:

$$MC = \frac{dTC}{dQ} = \frac{d}{dQ}\left(200 + 20Q\right) = 20 \ \text{руб./шт.}$$

Постоянные издержки 200 тыс. руб. при дифференцировании исчезли - на выбор объёма они не влияют вообще, как и в задаче про предельные издержки, где издержки заданы таблицей.

Шаг 4. Приравниваем предельный доход к предельным издержкам. Наращивать выпуск выгодно, пока очередная партия приносит больше, чем стоит. Равенство и даёт точку остановки:

$$120 - 4Q = 20 \quad \Longrightarrow \quad 4Q = 100 \quad \Longrightarrow \quad Q^{*} = 25 \ \text{тыс. шт.}$$

Это действительно максимум, а не минимум: вторая производная прибыли равна $TR'' - MC' = -4 < 0$, то есть функция прибыли выпукла вверх.

Шаг 5. Возвращаемся к спросу за ценой и считаем деньги. Цену берут с кривой спроса, а не с прямой $MR$ - это самое частое место срыва:

$$P^{*} = 120 - 2 \cdot 25 = 70 \ \text{руб./шт.}$$ $$TR = 70 \cdot 25 = 1750, \qquad TC = 200 + 20 \cdot 25 = 700, \qquad \pi = 1750 - 700 = 1050 \ \text{тыс. руб.}$$

Шаг 6. Проверяем прямым счётом. Посчитаем прибыль в соседних точках:

Максимум прибыли приходится ровно на 25 тыс. шт. Обратите внимание на выручку: она продолжает расти до 30 тыс. шт. и достигает там 1800 тыс. руб., но прибыль в этой точке уже на 50 тыс. руб. меньше. Максимум выручки и максимум прибыли - разные объёмы.

Ответ. $MR(Q) = 120 - 4Q$; оптимальный выпуск 25 тыс. шт., цена 70 руб./шт., выручка 1750 тыс. руб., прибыль 1050 тыс. руб.

Формула предельного дохода и откуда она берётся

Предельный доход показывает, на сколько изменится выручка, если продать одну дополнительную единицу продукции. В дискретном виде это отношение приростов, в непрерывном - производная:

$$MR = \frac{\Delta TR}{\Delta Q} = \frac{TR_2 - TR_1}{Q_2 - Q_1}, \qquad MR(Q) = TR'(Q).$$

Почему у линейного спроса коэффициент удваивается, видно из общей записи. Пусть $P = a - bQ$, тогда $TR = aQ - bQ^2$ и

$$MR(Q) = a - 2bQ.$$

Экономический смысл удвоения такой. Продав дополнительную единицу, фирма получает за неё текущую цену $P$, но, чтобы её продать, приходится опустить цену на весь прежний объём. Первый эффект добавляет $P$, второй отнимает $bQ$, и в сумме остаётся $MR = P - bQ$, что совпадает с $a - 2bQ$. Отсюда и главное неравенство: у фирмы, влияющей на цену, предельный доход всегда меньше цены.

Важно не путать $MR$ со средним доходом $AR = TR / Q$. Средний доход совпадает с ценой при любой функции спроса, потому что $TR / Q = P \cdot Q / Q = P$. Значит, кривая спроса - это и есть кривая среднего дохода, а $MR$ проходит под ней. Совпадают они только в одном случае: если цена не зависит от объёма, то есть у фирмы на совершенно конкурентном рынке. Тогда $TR = PQ$ при постоянном $P$, и $MR = P$ - именно поэтому в задачах про ценополучателя условие оптимума пишут как $P = MC$.

Разделение затрат на постоянные и переменные в этой схеме работает так же, как в маржинальном анализе CVP: в $MC$ входит только переменная часть, а постоянные издержки влияют лишь на величину прибыли, но не на оптимальный объём.

Предельный доход по таблице продаж

Если функция спроса не задана, а есть только точки, предельный доход считают через приросты. Возьмём ту же прямую с шагом 5 тыс. шт.:

Каждое значение последней строки получено делением прироста выручки на прирост объёма: например, на переходе от 20 к 25 тыс. шт. выручка выросла с 1600 до 1750 тыс. руб., то есть $MR = 150 / 5 = 30$ руб./шт. Значение относится к интервалу, а не к его концу, поэтому на графике его ставят в середине шага.

Сверим дискретный расчёт с формулой. Середина интервала от 20 до 25 тыс. шт. равна 22,5, и $MR(22{,}5) = 120 - 4 \cdot 22{,}5 = 30$ руб./шт. - в точности табличное число. Для линейного спроса такое совпадение не случайно и выполняется на любом шаге.

Отдельно стоит последний столбец: при переходе от 30 к 35 тыс. шт. предельный доход стал отрицательным. Выручка не просто перестала расти, она пошла вниз: снижение цены на весь объём перевесило прибавку от новых продаж. Работать в этой зоне бессмысленно при любых издержках, даже нулевых.

Предельный доход и эластичность спроса

Знак предельного дохода жёстко связан с эластичностью спроса по цене. Связь выражается одной формулой:

$$MR = P\left(1 - \frac{1}{|E|}\right).$$

Проверим её на нашем оптимуме. Для линейного спроса $|E| = \dfrac{P}{bQ} = \dfrac{70}{2 \cdot 25} = 1{,}4$, тогда $MR = 70 \left(1 - 1/1{,}4\right) = 70 \cdot 0{,}2857 = 20$ руб./шт., что совпадает с $MC$ и подтверждает расчёт.

Из формулы читаются три режима. При $|E| > 1$ спрос эластичен, скобка положительна, и $MR > 0$: снижение цены увеличивает выручку. При $|E| = 1$ предельный доход обращается в ноль - это вершина параболы выручки, у нас она при $Q = 30$ и $P = 60$ руб./шт. При $|E| < 1$ спрос неэластичен и $MR < 0$. Отсюда практическое правило: фирма с рыночной властью никогда не работает на неэластичном участке спроса, потому что там $MR$ отрицателен и не может сравняться с положительными $MC$.

Та же формула объясняет наценку над издержками. Из $MR = MC$ следует $P = MC \cdot \dfrac{|E|}{|E| - 1}$, в нашей задаче $P = 20 \cdot 1{,}4 / 0{,}4 = 70$ руб./шт. Относительный разрыв между ценой и предельными издержками равен $(70 - 20)/70 \approx 0{,}71$ и совпадает с $1/|E|$ - это индекс Лернера, стандартная мера рыночной власти.

Частые ошибки

• Путают предельный доход со средним. $TR / Q$ равно цене и всегда лежит выше $MR$. В точке оптимума средний доход 70 руб./шт., а предельный 20 руб./шт.
• Берут цену с прямой MR. Найдя $Q^{*} = 25$, подставляют его в $MR$ и получают 20 руб. вместо 70. Цену всегда снимают с кривой спроса.
• Забывают удвоить коэффициент. Из $P = 120 - 2Q$ пишут $MR = 120 - 2Q$ и получают выпуск 50 тыс. шт. вместо 25 - ровно вдвое больше верного.
• Считают максимум выручки максимумом прибыли. Выручка максимальна при 30 тыс. шт., прибыль - при 25 тыс. шт. Совпадают они только при нулевых предельных издержках.
• Включают постоянные издержки в MC. Слагаемое 200 тыс. руб. при дифференцировании исчезает; если его оставить, оптимум сместится, хотя на деле $FC$ меняют только величину прибыли.
• Игнорируют размерность. Здесь $Q$ измеряется в тысячах штук, поэтому $MR$ и $MC$ выходят в руб./шт., а выручка и прибыль - в тыс. руб. Смешение единиц даёт ошибку в тысячу раз.

FAQ

Чем предельный доход отличается от выручки? Выручка - это накопленная сумма от всех проданных единиц, предельный доход - прибавка к ней от последней единицы. При 25 тыс. шт. выручка равна 1750 тыс. руб., а предельный доход всего 20 руб./шт. Первое измеряется в рублях, второе - в рублях за штуку.

Может ли предельный доход быть отрицательным? Да, и в таблице он становится равным минус 10 руб./шт. после 30 тыс. шт. Это значит, что дополнительные продажи уменьшают общую выручку: скидка распространяется на весь объём и перевешивает прибавку. Отрицательный $MR$ всегда соответствует неэластичному участку спроса.

Как найти MR, если спрос задан как функция количества от цены? Сначала выразите цену через объём. Из $Q = 60 - 0{,}5P$ следует $P = 120 - 2Q$, и дальше расчёт идёт как в разборе выше. Брать производную от исходной записи нельзя: предельный доход всегда считается по объёму.

Что делать, если предельные издержки не постоянны? Схема не меняется: приравнивают $MR(Q)$ к $MC(Q)$ и решают уравнение, просто оно перестаёт быть линейным. Например, при $MC = 0{,}4Q + 10$ условие $120 - 4Q = 0{,}4Q + 10$ даёт $Q = 25$ тыс. шт. Дальше так же находят цену по спросу и считают прибыль от продаж.

Коротко

1. Предельный доход - производная выручки по объёму: $MR = TR'(Q)$, где $TR = P(Q) \cdot Q$.
2. Для линейного спроса $P = a - bQ$ формула даёт $MR = a - 2bQ$: та же точка на оси цен, вдвое круче наклон. В задаче $MR = 120 - 4Q$.
3. Оптимум ищут из условия $MR = MC$: $120 - 4Q = 20$, откуда $Q^{*} = 25$ тыс. шт.
4. Цену снимают с кривой спроса: $P^{*} = 120 - 2 \cdot 25 = 70$ руб./шт.; выручка 1750 тыс. руб., прибыль 1050 тыс. руб.
5. Знак $MR$ задаётся эластичностью: $MR = P(1 - 1/|E|)$, при $|E| = 1{,}4$ получается ровно 20 руб./шт., а при $MR = 0$ выручка максимальна.