Как составить уравнение плоскости: пошаговое решение

Дано: точки $A(1;\ 2;\ 0)$, $B(3;\ 0;\ 1)$, $C(2;\ -1;\ 3)$, найти общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$. Схема одна на все задачи такого типа: из точек получаем два вектора, лежащих в плоскости, их векторное произведение даёт нормаль, а подстановка любой из точек - свободный член. Ответ: $3x + 5y + 4z - 13 = 0$. Калькулятор сверху пересчитывает всё это под любые координаты и переключается между тремя способами задать плоскость.

Решение по шагам

Дано: $A(1;\ 2;\ 0)$, $B(3;\ 0;\ 1)$, $C(2;\ -1;\ 3)$. Найти: уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Шаг 1. Строим два вектора внутри плоскости. Берём точку $A$ за опорную и вычитаем её координаты из координат двух остальных точек:

$$\overrightarrow{AB} = (3-1;\ 0-2;\ 1-0) = (2;\ -2;\ 1), \qquad \overrightarrow{AC} = (2-1;\ -1-2;\ 3-0) = (1;\ -3;\ 3).$$

Оба вектора лежат в искомой плоскости: их начала и концы - точки этой же плоскости. Опорной можно взять любую из трёх точек, ответ не изменится.

Шаг 2. Находим нормаль через векторное произведение. Нормаль перпендикулярна обоим векторам сразу, а такой вектор и даёт векторное произведение:

$$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix}.$$

Раскрываем определитель по первой строке, не забывая про минус перед вторым слагаемым:

$$\vec{n} = \vec{i}\bigl((-2)\cdot 3 - 1\cdot(-3)\bigr) - \vec{j}\bigl(2\cdot 3 - 1\cdot 1\bigr) + \vec{k}\bigl(2\cdot(-3) - (-2)\cdot 1\bigr) = -3\vec{i} - 5\vec{j} - 4\vec{k}.$$

Получили $\vec{n} = (-3;\ -5;\ -4)$. Знак нормали зависит только от порядка сомножителей, поэтому уравнение можно домножить на $-1$ и работать с $\vec{n} = (3;\ 5;\ 4)$ - плоскость от этого не меняется.

Шаг 3. Считаем свободный член. Коэффициенты при переменных - это и есть координаты нормали, значит уравнение уже имеет вид $3x + 5y + 4z + D = 0$. Осталось подставить точку $A(1;\ 2;\ 0)$, которая обязана ему удовлетворять:

$$3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 4\cdot 0 + D = 0 \quad\Longrightarrow\quad 13 + D = 0 \quad\Longrightarrow\quad D = -13.$$

Шаг 4. Проверяем по всем трём точкам. Точка $A$ даёт ноль автоматически, поэтому смысл имеет проверка двух оставшихся:

$$B:\ 3\cdot 3 + 5\cdot 0 + 4\cdot 1 - 13 = 9 + 4 - 13 = 0, \qquad C:\ 3\cdot 2 + 5\cdot(-1) + 4\cdot 3 - 13 = 6 - 5 + 12 - 13 = 0.$$

Ответ: $3x + 5y + 4z - 13 = 0$.

Одна оговорка про буквы. В общем уравнении $A$, $B$, $C$ - это координаты нормали, а в условии теми же буквами названы точки. Совпадение обозначений традиционное, но в черновике легко перепутать: держи нормаль под именем $\vec{n}$, пока не дойдёшь до финальной записи.

Откуда берётся формула плоскости

Плоскость однозначно задаётся одной своей точкой $M_0(x_0;\ y_0;\ z_0)$ и перпендикулярным ей вектором $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$. Произвольная точка $M(x;\ y;\ z)$ лежит в плоскости тогда и только тогда, когда вектор $\overrightarrow{M_0M}$ перпендикулярен нормали, а перпендикулярность векторов означает равенство нулю их скалярного произведения:

$$\vec{n}\cdot\overrightarrow{M_0M} = A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.$$

Раскрыв скобки, получаем общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$, где $D = -(A x_0 + B y_0 + C z_0)$. Отсюда вытекает главное практическое правило: коэффициенты при $x$, $y$, $z$ читаются как координаты нормали, и наоборот. Именно на нём держится вся остальная аналитическая геометрия в пространстве - например, угол между прямой и плоскостью считают через нормаль и направляющий вектор прямой, а не через саму плоскость.

Ту же задачу можно записать в одну строку через определитель. Три вектора компланарны, когда их смешанное произведение равно нулю, и для точки $M(x;\ y;\ z)$ это выглядит так:

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix} = 0.$$

Разложение по первой строке даёт $-3(x-1) - 5(y-2) - 4z = 0$, то есть после умножения на $-1$ то же самое уравнение $3x + 5y + 4z - 13 = 0$. Форма с определителем короче в записи, но ошибок в ней делают больше: минус перед вторым минором теряется чаще, чем в развёрнутом счёте. У векторного произведения есть и геометрический смысл - его длина равна площади параллелограмма на векторах $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, а половина этой длины даёт площадь треугольника $ABC$.

Плоскость по точке и нормальному вектору

Это самый быстрый вариант: векторное произведение не нужно, нормаль уже дана. Пусть плоскость проходит через $M(2;\ -1;\ 4)$ перпендикулярно вектору $\vec{n} = (3;\ 5;\ 4)$. Подставляем всё в формулу шага и раскрываем скобки:

$$3(x - 2) + 5(y + 1) + 4(z - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 5y + 4z - 17 = 0.$$

Проверка: $3\cdot 2 + 5\cdot(-1) + 4\cdot 4 - 17 = 6 - 5 + 16 - 17 = 0$. Нормаль у этой плоскости та же, что у разобранной выше, значит плоскости параллельны, и отличаются они только свободным членом. Расстояние между параллельными плоскостями находится по разности свободных членов: $\dfrac{|-13 - (-17)|}{\sqrt{50}} = \dfrac{4}{5\sqrt{2}} \approx 0{,}57$.

Тот же приём решает задачу «через точку параллельно данной плоскости»: нормаль переписывается из готового уравнения без изменений, а $D$ пересчитывается под новую точку. Для $M(0;\ 1;\ -2)$ и плоскости $3x + 5y + 4z - 13 = 0$ получаем $3\cdot 0 + 5\cdot 1 + 4\cdot(-2) + D = 0$, откуда $D = 3$ и ответ $3x + 5y + 4z + 3 = 0$.

Плоскость по точке и двум векторам

Условие «через точку $A(1;\ 2;\ 0)$ параллельно векторам $\vec{a} = (2;\ -2;\ 1)$ и $\vec{b} = (1;\ -3;\ 3)$» решается тем же векторным произведением: $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = (-3;\ -5;\ -4)$, и после смены знака получается уже знакомое $3x + 5y + 4z - 13 = 0$. Это не совпадение: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - те самые $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ из первой задачи, просто заданные напрямую. Переключи чипы в калькуляторе сверху и увидишь, что все три способа сходятся к одному уравнению.

Из той же связки точки и двух векторов пишутся параметрические уравнения плоскости - по параметру на каждый вектор:

$$\begin{aligned} x &= 1 + 2t + s, \\ y &= 2 - 2t - 3s, \\ z &= 0 + t + 3s. \end{aligned}$$

При $t = 1$, $s = 0$ отсюда получается точка $(3;\ 0;\ 1)$, то есть $B$, а при $t = 0$, $s = 1$ - точка $(2;\ -1;\ 3)$, то есть $C$. Параметрическая форма удобна, когда в плоскости нужно провести прямую или перебрать её точки, а общее уравнение - когда нужно быстро проверить принадлежность точки или посчитать расстояние.

Как проверить ответ и что делать в особых случаях

Проверка всегда одна: подставь исходные данные обратно и получи нули. Если строил по трём точкам, подставляй все три, а не только опорную - она обнуляет уравнение по построению и ошибку в нормали не поймает. Если строил по точке и нормали, дополнительно убедись, что коэффициенты при переменных совпали с координатами нормали покоординатно, без перестановок.

Полезны и две производные формы. Уравнение в отрезках $\dfrac{x}{13/3} + \dfrac{y}{13/5} + \dfrac{z}{13/4} = 1$ сразу показывает, что плоскость отсекает на осях примерно $4{,}33$, $2{,}6$ и $3{,}25$ - по этим числам её легко нарисовать. Нормальное уравнение получается делением на длину нормали $|\vec{n}| = \sqrt{9 + 25 + 16} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$, и тогда свободный член по модулю равен расстоянию от начала координат: $13 / (5\sqrt{2}) \approx 1{,}84$.

Особые случаи стоит узнавать в лицо. Если три точки лежат на одной прямой, векторное произведение обращается в нулевой вектор: например, для $A(1;\ 2;\ 0)$, $B(3;\ 0;\ 1)$ и $C'(5;\ -2;\ 2)$ вектор $\overrightarrow{AC'} = 2\overrightarrow{AB}$, и плоскость через такие точки проходит не одна, а бесконечно много. Если в готовом уравнении какой-то коэффициент нулевой, плоскость параллельна соответствующей оси: при $C = 0$ она параллельна оси $Oz$. А при $D = 0$ плоскость проходит через начало координат, и уравнения в отрезках у неё не существует. Взаимное расположение двух плоскостей тоже читается по нормалям: параллельность и перпендикулярность проверяются пропорциональностью координат и равенством нулю скалярного произведения.

Частые ошибки

• Векторное произведение берут от координат точек, а не от разностей. Нормаль строится по векторам $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$; радиус-векторы самих точек к плоскости отношения не имеют.
• Теряется минус перед вторым минором. В разложении определителя знаки чередуются: плюс, минус, плюс. Ошибка здесь портит только координату $B$, поэтому проверка по одной точке её иногда пропускает.
• Забывают про свободный член. Найдя нормаль, записывают $3x + 5y + 4z = 0$ и на этом останавливаются: такая плоскость параллельна нужной, но проходит через начало координат.
• Путают знак в $D$. По формуле $D = -(A x_0 + B y_0 + C z_0)$, то есть подстановка точки даёт $13$, а свободный член равен $-13$.
• Проверяют только по опорной точке. Она обнуляет уравнение при любой нормали, потому что через неё уравнение и составлялось.
• Сокращают коэффициенты частично. Делить на общий множитель нужно все четыре числа сразу, включая $D$, иначе плоскость сместится.
• Берут нормаль там, где нужен направляющий вектор. У плоскости коэффициенты уравнения дают перпендикуляр, у прямой знаменатели канонического вида дают направление вдоль неё.

FAQ

Можно ли взять нормаль с противоположным знаком? Да. Умножение всего уравнения на любое ненулевое число даёт то же множество точек, поэтому $3x + 5y + 4z - 13 = 0$ и $-3x - 5y - 4z + 13 = 0$ описывают одну плоскость. Порядок сомножителей в векторном произведении меняет знак нормали, и это не ошибка.

Что делать, если три точки оказались на одной прямой? Векторное произведение выйдет нулевым, и задача не имеет единственного решения: через прямую проходит бесконечно много плоскостей. Проверить это можно заранее - если координаты $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ пропорциональны, точки коллинеарны и условие задачи некорректно.

Чем общее уравнение отличается от параметрического? Общее $Ax + By + Cz + D = 0$ отвечает на вопрос «лежит ли точка в плоскости»: подставил координаты и посмотрел на ноль. Параметрическое, наоборот, порождает точки плоскости по двум параметрам. Переход от параметрического к общему - это как раз векторное произведение направляющих векторов.

Как быстро проверить готовый ответ на экзамене? Подставить все исходные точки и убедиться, что каждая даёт ноль, а затем сверить коэффициенты с нормалью. На две проверки уходит меньше минуты, а ловят они и арифметику в миноре, и потерянный знак свободного члена.

Коротко

1. Из трёх точек получи два вектора: $\overrightarrow{AB} = (2;\ -2;\ 1)$ и $\overrightarrow{AC} = (1;\ -3;\ 3)$.
2. Найди нормаль как векторное произведение: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-3;\ -5;\ -4)$, при желании смени знак на $(3;\ 5;\ 4)$.
3. Запиши $3x + 5y + 4z + D = 0$ и подставь любую из точек: $D = -13$.
4. Проверь по двум оставшимся точкам, что левая часть обращается в ноль.
5. Ответ задачи: $3x + 5y + 4z - 13 = 0$; те же шаги работают для точки с нормалью и для точки с двумя векторами.