Расстояние между параллельными плоскостями: формула

Определение расстояния между параллельными плоскостями - одна из базовых задач аналитической геометрии в пространстве, и решается она по короткой формуле, если плоскости заданы общими уравнениями. Главная идея простая: расстояние меряется по нормали, то есть по кратчайшему отрезку, перпендикулярному обеим плоскостям. Ниже разберём, как вывести формулу через нормальный вектор, что делать, если коэффициенты при переменных у двух уравнений не совпадают, как проверить параллельность и где студенты чаще всего теряют баллы. Чтобы сразу увидеть, как длина нормали и разность свободных членов задают итог, покрутите калькулятор ниже: он считает расстояние и рисует зазор между плоскостями по нормали.

Что значит расстояние между параллельными плоскостями

Две плоскости в пространстве параллельны, если у них общий (с точностью до множителя) нормальный вектор - направление, перпендикулярное каждой из них. Между такими плоскостями нет ни одной общей точки, и расстояние от любой точки первой плоскости до второй одно и то же. Именно это постоянство и позволяет говорить о расстоянии между плоскостями как о единственном числе: куда бы ни поставить точку на первой плоскости, кратчайший путь до второй всегда равен одной и той же величине и идёт строго вдоль нормали.

Если же провести отрезок не по нормали, а наискосок, он окажется длиннее. Поэтому расстояние между параллельными плоскостями - это длина перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую. Любой другой способ измерения завышает результат.

Формула расстояния через нормаль

Пусть две параллельные плоскости заданы уравнениями с одинаковой нормалью $n = (A; B; C)$:

$\pi_1: Ax + By + Cz + D_1 = 0, \qquad \pi_2: Ax + By + Cz + D_2 = 0.$

Расстояние между ними находится по формуле:

$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$

В числителе стоит модуль разности свободных членов, в знаменателе - длина нормального вектора $|n| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$. Модуль гарантирует, что расстояние неотрицательно: неважно, какую плоскость считать первой. Формула работает только тогда, когда коэффициенты $A$, $B$, $C$ у обоих уравнений буквально одинаковы - об этом ниже.

Рассчитать для своей задачи

Идея вывода такая. Возьмём произвольную точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ на первой плоскости, тогда $Ax_0 + By_0 + Cz_0 = -D_1$. Расстояние от этой точки до второй плоскости считается по стандартной формуле расстояния от точки до плоскости:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|-D_1 + D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$

Координаты конкретной точки сократились - остались только свободные члены и длина нормали. Это и доказывает, что расстояние не зависит от выбора точки.

Приведение к общей нормали

Самая частая ловушка: уравнения параллельных плоскостей даны с разными по величине коэффициентами. Например, $x + 2y - 2z + 5 = 0$ и $2x + 4y - 4z - 3 = 0$. Нормали здесь $(1; 2; -2)$ и $(2; 4; -4)$ - они пропорциональны (второй вектор вдвое длиннее первого), значит плоскости параллельны. Но подставлять $D_1 = 5$ и $D_2 = -3$ в формулу напрямую нельзя: знаменатели у плоскостей разные.

Рассчитать для своей задачи

Чтобы исправить это, приведём оба уравнения к одной нормали. Разделим второе уравнение на 2:

$2x + 4y - 4z - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x + 2y - 2z - 1{,}5 = 0.$

Теперь у обеих плоскостей нормаль $(1; 2; -2)$, и можно применить формулу: $|n| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$, разность свободных членов $|{-1{,}5} - 5| = 6{,}5$, расстояние $d = 6{,}5 / 3 \approx 2{,}17$. Альтернатива делению - проверить пропорциональность нормалей и работать с любым из уравнений, но единая нормаль надёжнее и нагляднее.

Как проверить, что плоскости параллельны

Перед применением формулы убедитесь, что плоскости действительно параллельны. Признак: их нормальные векторы коллинеарны, то есть компоненты пропорциональны:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}.$

Если это равенство выполняется, а свободные члены в той же пропорции не стоят - плоскости параллельны и не совпадают, расстояние между ними положительно. Если пропорция распространяется и на свободные члены ($D_1/D_2$ равно тому же отношению) - плоскости совпадают, расстояние равно нулю. А если хотя бы одно из отношений нормалей нарушено, плоскости пересекаются и говорить о расстоянии между ними бессмысленно: оно было бы нулём в линии пересечения.

Пример решения типовой задачи

Разберём классическую формулировку. Найти расстояние между плоскостями $2x - y + 2z + 3 = 0$ и $2x - y + 2z - 6 = 0$.

Шаг 1. Нормали совпадают: $n = (2; -1; 2)$ у обеих плоскостей. Значит они параллельны, и формула применима без приведения.

Шаг 2. Считаем длину нормали:

$|n| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3.$

Шаг 3. Находим модуль разности свободных членов: $|D_2 - D_1| = |-6 - 3| = 9$.

Шаг 4. Подставляем в формулу:

$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{9}{3} = 3.$

Расстояние между плоскостями равно 3. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку: длина нормали, разность свободных членов, итоговое деление, - оставляя вам контроль над числами и единицами.

Частые ошибки

• Подстановка уравнений с разными нормалями. Если коэффициенты $A$, $B$, $C$ у двух уравнений отличаются по величине, формулу нельзя применять как есть. Сначала приведите оба уравнения к общей нормали делением на нужный множитель.
• Забытый модуль в числителе. Расстояние неотрицательно, поэтому в числителе стоит $|D_2 - D_1|$. Без модуля при $D_2 < D_1$ получится отрицательное расстояние, что лишено смысла.
• Деление на сумму вместо корня. В знаменателе стоит длина нормали $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$, а не $A^2 + B^2 + C^2$ и не $A + B + C$. Корень забывают чаще всего.
• Измерение не по нормали. Расстояние между плоскостями - это перпендикуляр. Любой косой отрезок длиннее и даёт завышенный ответ.
• Спутать параллельность с совпадением. Если в одну пропорцию с нормалями встают и свободные члены, плоскости совпадают и расстояние равно нулю, а не вычисляется по формуле.

FAQ

Как найти расстояние между параллельными плоскостями, если они заданы разными уравнениями? Сначала проверьте пропорциональность нормалей, затем приведите оба уравнения к одной нормали (разделите одно из них на множитель). После этого подставьте одинаковые $A$, $B$, $C$ и оба свободных члена в формулу $d = |D_2 - D_1| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$.

Чему равно расстояние, если плоскости совпадают? Нулю. Совпадающие плоскости имеют пропорциональные не только нормали, но и свободные члены. После приведения к общей нормали разность $D_2 - D_1$ обращается в ноль, поэтому и расстояние равно нулю.

Можно ли найти расстояние между непараллельными плоскостями? Нет. Непараллельные плоскости пересекаются по прямой, и в точках этой прямой расстояние между ними равно нулю. Понятие постоянного расстояния определено только для параллельных плоскостей.

Коротко

Расстояние между параллельными плоскостями меряется по нормали и равно $d = |D_2 - D_1| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$, где $A$, $B$, $C$ - общая нормаль, а $D_1$, $D_2$ - свободные члены. Перед применением формулы убедитесь, что нормали совпадают: если коэффициенты разные, но пропорциональные, приведите уравнения к одной нормали делением. Не забывайте модуль в числителе и корень в знаменателе - это два места, где теряют баллы чаще всего.