Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула

Скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях: они не параллельны и не пересекаются, поэтому привычный приём с опусканием перпендикуляра в одной плоскости здесь не работает. Тем не менее у любых двух скрещивающихся прямых есть единственный общий перпендикуляр, и его длина и есть искомое расстояние. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми сводится к одной компактной формуле через смешанное произведение векторов, и считать по ней быстрее, чем строить чертёж. Ниже разберём, откуда берётся формула, как применять её по шагам и где студенты теряют баллы. Чтобы сразу почувствовать связь координат и ответа, покрути калькулятор: он считает векторное и смешанное произведения и рисует обе прямые с отрезком расстояния между ними.

Что такое скрещивающиеся прямые

Две прямые в пространстве могут располагаться тремя способами: пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек и при этом не параллельны. Простой пример из жизни: ребро пола комнаты и не примыкающее к нему ребро потолка на противоположной стене. Они нигде не встретятся, но и не параллельны.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра, то есть отрезка, который перпендикулярен обеим прямым одновременно. Такой отрезок существует и единственен. Его концы лежат на самих прямых и являются ближайшими точками двух прямых друг к другу, поэтому это и есть кратчайшее расстояние.

Рассчитать для своей задачи

Формула через смешанное произведение

Зададим прямые параметрически. Первая проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{u}$, вторая через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v}$. Тогда расстояние между ними вычисляется по формуле:

$d = \frac{\left|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left|\vec{u} \times \vec{v}\right|}.$

В числителе стоит модуль смешанного произведения трёх векторов: соединяющего точки $\vec{P_1P_2}$ и двух направляющих $\vec{u}$, $\vec{v}$. В знаменателе модуль векторного произведения направляющих. Геометрический смысл прозрачен: вектор $\vec{u} \times \vec{v}$ перпендикулярен обеим прямым, то есть задаёт направление общего перпендикуляра. Расстояние равно проекции вектора $\vec{P_1P_2}$ на это направление, а деление на $|\vec{u} \times \vec{v}|$ как раз превращает нормаль в единичную.

Есть и наглядная трактовка через объём. Смешанное произведение по модулю равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{P_1P_2}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$. Векторное произведение $|\vec{u} \times \vec{v}|$ это площадь его основания. Объём, делённый на площадь основания, даёт высоту, а высота этого параллелепипеда и есть расстояние между прямыми.

Рассчитать для своей задачи

Алгоритм решения по шагам

Чтобы найти расстояние, удобно действовать строго по порядку. Возьмём прямые из калькулятора по умолчанию: $P_1 = (0;0;0)$, $\vec{u} = (1;0;0)$ и $P_2 = (0;0;2)$, $\vec{v} = (0;1;1)$.

1. Найти вектор между точками: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (0;0;2)$.
2. Найти векторное произведение направляющих:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0;-1;1).$

1. Вычислить его модуль: $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
2. Найти смешанное произведение (числитель): $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = 2$.
3. Поделить и взять модуль:

$d = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41.$

Тот же ответ показывает калькулятор: расстояние $\sqrt{2}$, нормаль $(0;-1;1)$, смешанное произведение 2. Если в условии прямые заданы каноническими уравнениями вида $\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$, то $(x_0; y_0; z_0)$ это точка прямой, а $(m; n; p)$ её направляющий вектор. Если заданы две точки на прямой, направляющий вектор это их разность.

Рассчитать для своей задачи

Когда прямые не скрещиваются

Формула срабатывает корректно не всегда, и важно понимать пограничные случаи. Если направляющие векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ коллинеарны, то $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$, знаменатель обращается в ноль, и формула неприменима. Это значит, что прямые параллельны (или совпадают), и расстояние ищут как расстояние от точки одной прямой до второй прямой.

Если же векторное произведение ненулевое, а смешанное произведение в числителе равно нулю, то $d = 0$: прямые лежат в одной плоскости и пересекаются. Скрещивающимися прямые являются тогда и только тогда, когда смешанное произведение $(\vec{P_1P_2}, \vec{u}, \vec{v})$ отлично от нуля. По сути это и есть критерий скрещивания: ненулевой объём параллелепипеда означает, что три вектора не лежат в одной плоскости. В калькуляторе оба вырожденных случая подсвечиваются отдельным пояснением.

Координаты ближайших точек

Иногда нужна не только длина, но и сами концы общего перпендикуляра. Их находят из условия, что вектор $\vec{H_1H_2}$ перпендикулярен обоим направляющим. Записав точки на прямых как $P_1 + s\vec{u}$ и $P_2 + t\vec{v}$ и потребовав $\vec{H_1H_2} \cdot \vec{u} = 0$ и $\vec{H_1H_2} \cdot \vec{v} = 0$, получаем систему двух линейных уравнений на параметры $s$ и $t$. Калькулятор решает её автоматически и выводит координаты оснований $H_1$ и $H_2$ под графиком, а длина отрезка $H_1H_2$ совпадает с $d$ из формулы. Это удобная самопроверка: если две величины разошлись, где-то ошибка в арифметике.

Частые ошибки

• Путают векторное и скалярное произведение в формуле. В знаменателе именно векторное произведение направляющих (вектор), а в числителе смешанное (число).
• Забывают взять модуль смешанного произведения. Без модуля можно получить отрицательное расстояние, чего не бывает.
• Используют формулу при коллинеарных направляющих. Тогда знаменатель нулевой, прямые параллельны, и нужен другой метод.
• Берут как $\vec{P_1P_2}$ вектор между произвольными точками неправильного знака или не из тех прямых. Вектор должен соединять точку первой прямой с точкой второй.
• Считают смешанное произведение нулевым и делают вывод о расстоянии, не проверив знаменатель: при нулевом числителе и ненулевом знаменателе прямые пересекаются, $d = 0$.

FAQ

Чем отличается расстояние между скрещивающимися прямыми от расстояния между параллельными? Для параллельных прямых направляющие коллинеарны, общего перпендикуляра в смысле единственного отрезка нет (их бесконечно много, все равной длины), поэтому расстояние ищут как расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой через формулу с векторным произведением вектора между точками и направляющего. Формула со смешанным произведением для параллельных не работает, так как делитель обращается в ноль.

Можно ли найти расстояние без векторов, через построение? Да, в стереометрии есть метод общего перпендикуляра и метод параллельных плоскостей: через одну прямую проводят плоскость, параллельную второй, и ищут расстояние от точки до плоскости. Но в координатной форме формула со смешанным произведением почти всегда короче и не требует чертежа.

Как понять, что прямые точно скрещиваются, а не пересекаются? Посчитайте смешанное произведение $(\vec{P_1P_2}, \vec{u}, \vec{v})$. Если оно не равно нулю, прямые скрещиваются. Если равно нулю, а направляющие не коллинеарны, прямые пересекаются. Если направляющие коллинеарны, прямые параллельны или совпадают.

Коротко

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра и считается по формуле $d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$. В числителе модуль смешанного произведения (объём параллелепипеда на трёх векторах), в знаменателе модуль векторного произведения направляющих (площадь основания), а их частное это высота, то есть расстояние. Перед применением убедитесь, что направляющие не коллинеарны и смешанное произведение ненулевое, иначе прямые параллельны или пересекаются.