Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула

Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые не пересекаются и не параллельны, то есть не лежат в одной плоскости. У таких прямых всё равно есть вполне конкретное кратчайшее расстояние: длина общего перпендикуляра, который упирается сразу в обе. Считать его руками через построения долго, поэтому в аналитической геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят по короткой векторной формуле через смешанное произведение. Ниже разберём саму формулу, откуда она берётся, как применить её по шагам и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть связь между координатами и ответом, покрутите калькулятор ниже: он строит обе прямые, показывает красный отрезок кратчайшего расстояния и пересчитывает значение мгновенно.

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми

Пусть первая прямая задана точкой $A$ и направляющим вектором $\vec{u}$, а вторая - точкой $B$ и направляющим вектором $\vec{v}$. Тогда расстояние между ними равно:

$d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|},$

где $\vec{AB} = B - A$ - вектор, соединяющий точки прямых, $\vec{u} \times \vec{v}$ - векторное произведение направляющих векторов, а в числителе стоит модуль смешанного произведения трёх векторов. Числитель - это объём параллелепипеда, построенного на $\vec{AB}$, $\vec{u}$ и $\vec{v}$, а знаменатель - площадь его основания. Их отношение и есть высота, то есть искомое расстояние.

Рассчитать для своей задачи

Важная деталь: формула работает только тогда, когда $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$. Если векторное произведение равно нулю, направляющие векторы коллинеарны, значит прямые параллельны (или совпадают), и расстояние между параллельными прямыми ищут другой формулой. А если $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$, но смешанное произведение в числителе обращается в нуль, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются - тогда $d = 0$.

Откуда берётся эта формула

Геометрический смысл удобно представить через параллелепипед. На трёх векторах $\vec{AB}$, $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно построить параллелепипед. Его объём равен модулю смешанного произведения:

$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|.$

С другой стороны, объём любого параллелепипеда - это площадь основания, умноженная на высоту. За основание возьмём параллелограмм, построенный на направляющих векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$; его площадь равна $|\vec{u} \times \vec{v}|$. Тогда высота над этим основанием:

$h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}.$

Эта высота и есть кратчайшее расстояние между прямыми, потому что плоскость основания параллельна обеим прямым, а высота перпендикулярна ей. Именно поэтому в числителе появляется смешанное произведение, а в знаменателе - модуль векторного произведения.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно, почему формула так устроена: расстояние - это высота параллелепипеда, опущенная на грань, натянутую на направляющие векторы прямых. Чем «площе» этот параллелепипед при той же площади основания, тем ближе прямые друг к другу.

Как применять формулу по шагам

Разберём алгоритм, который работает для любых исходных данных. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями или точками с направляющими векторами.

1. Выпишите по точке на каждой прямой и направляющие векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Из канонического уравнения $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$ точка - это $(x_0, y_0, z_0)$, а направляющий вектор - $(m, n, p)$.
2. Найдите вектор между точками: $\vec{AB} = B - A$ покоординатно.
3. Вычислите векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$ через определитель. Если получился нулевой вектор - прямые параллельны, формула неприменима.
4. Найдите смешанное произведение $\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$ - это скалярное произведение вектора $\vec{AB}$ на найденный вектор.
5. Подставьте модули в формулу: разделите модуль смешанного произведения на длину векторного произведения.

Векторное произведение удобно считать как определитель:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}.$

Если переключать прямые в калькуляторе выше, столбчатая диаграмма показывает, как складывается смешанное произведение из трёх покомпонентных вкладов - это удобно для самопроверки промежуточных чисел.

Пример с числами

Возьмём данные по умолчанию из калькулятора. Прямая 1 проходит через точку $A = (1; 0; 0)$ с направляющим вектором $\vec{u} = (1; 1; 0)$, прямая 2 - через точку $B = (0; 1; 0)$ с вектором $\vec{v} = (0; 1; 1)$.

Шаг 1. Вектор между точками:

$\vec{AB} = B - A = (0-1;\ 1-0;\ 0-0) = (-1;\ 1;\ 0).$

Шаг 2. Векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1; -1; 1).$

Шаг 3. Его длина:

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$

Шаг 4. Смешанное произведение:

$\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1)\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot 1 = -2.$

Шаг 5. Подставляем модули в формулу:

$d = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15.$

Расстояние между этими прямыми равно $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}15$. Тот же ответ калькулятор показывает в плитке «Расстояние d», а красный отрезок на схеме демонстрирует, где именно проходит общий перпендикуляр между прямыми.

Когда прямые параллельны или пересекаются

Формула со смешанным произведением сама подсказывает, в каком случае она перестаёт работать. Если $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$, знаменатель обнуляется - это сигнал, что прямые параллельны. Для параллельных прямых расстояние ищут иначе: берут точку одной прямой и считают расстояние от неё до второй прямой по формуле $d = \frac{|\vec{AB} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$.

Если же $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$, но смешанное произведение в числителе равно нулю, три вектора компланарны: они лежат в одной плоскости. Это означает, что прямые пересекаются, и расстояние между ними равно нулю. Калькулятор распознаёт оба случая и пишет об этом в пояснении под графиком, так что проверить взаимное расположение прямых можно тем же инструментом.

Частые ошибки

• Берут разность точек в обратном порядке. Знак $\vec{AB}$ не важен: в числителе стоит модуль, поэтому $B - A$ и $A - B$ дают один и тот же ответ. А вот ошибка в координатах разности уже всё ломает.
• Делят на смешанное произведение, а не на векторное. В знаменателе формулы стоит модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$, а не смешанного. Смешанное произведение - только в числителе.
• Забывают взять модуль. Смешанное произведение может быть отрицательным, но расстояние всегда положительно. Без модуля числителя получится бессмысленный знак.
• Применяют формулу к параллельным прямым. Если направляющие векторы коллинеарны, векторное произведение равно нулю и формула даёт деление на ноль. Сначала проверьте, что прямые действительно скрещиваются.
• Путают направляющий вектор и точку прямой. Из канонического уравнения числа в знаменателях дробей - это координаты направляющего вектора, а не точки.

FAQ

Чем скрещивающиеся прямые отличаются от параллельных и пересекающихся? Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости: они не параллельны и не пересекаются. Параллельные лежат в одной плоскости и не пересекаются, а пересекающиеся имеют общую точку. Признак скрещивания: смешанное произведение $\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$ не равно нулю при ненулевом векторном произведении.

Можно ли найти расстояние без векторного произведения? Да, через общий перпендикуляр: составить параметрические уравнения прямых, потребовать, чтобы соединяющий вектор был перпендикулярен обоим направляющим векторам, и решить систему. Но векторная формула со смешанным произведением короче и почти не даёт места для арифметических ошибок.

Что делать, если прямые заданы двумя точками каждая? Возьмите по одной точке на прямую как $A$ и $B$, а направляющие векторы получите как разности пар точек на каждой прямой. Дальше применяйте ту же формулу со смешанным произведением - алгоритм не меняется.

Коротко

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$: модуль смешанного произведения делим на длину векторного произведения направляющих векторов. Геометрически это высота параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{AB}$, $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Если векторное произведение равно нулю, прямые параллельны и нужна другая формула; если нулю равно смешанное произведение, прямые пересекаются и расстояние равно нулю.