Как провести прямую в плоскости: разбор на эпюре

Дано: плоскость общего положения задана треугольником $ABC$ с вершинами $A(5; 70; 40)$, $B(70; 30; 50)$, $C(50; 10; 10)$. Найти: провести в этой плоскости горизонталь $h$ через вершину $A$ и фронталь $f$ через вершину $B$.

Правило одно: прямая лежит в плоскости, если проходит через две её точки. Одна точка задана условием, вторую берут на контуре треугольника, а находят её на той проекции, где линия уровня параллельна оси $x$. Ответ: горизонталь проходит через $A$ и точку $1(65; 25; 40)$ на стороне $BC$, фронталь - через $B$ и точку $2(35; 30; 20)$ на стороне $AC$. Калькулятор сверху повторяет оба построения на эпюре для любых координат вершин и проверяет результат подстановкой в уравнение плоскости.

Решение по шагам

Шаг 1. Раскладываем вершины по проекциям. Горизонтальная проекция (вид сверху) хранит пару $(x; y)$, фронтальная (вид спереди) - пару $(x; z)$. Абсцисса у обеих проекций одна и та же, поэтому проекции каждой вершины стоят на общем перпендикуляре к оси $x$ - на линии связи.

Шаг 2. Начинаем горизонталь с фронтальной проекции. У горизонтали все точки лежат на одной высоте: $z$ постоянна. Через точку $A$ эта высота равна $z_A = 40$, поэтому фронтальная проекция $h''$ - прямая, параллельная оси $x$ на уровне $z = 40$. Она пересекает сторону $B''C''$ в точке, которую обозначим $1''$.

Запишем сторону $B''C''$ через параметр $t$, отсчитываемый от $B$ к $C$:

$$\begin{aligned} x &= 70 - 20t, \\ z &= 50 - 40t, \qquad t \in [0; 1]. \end{aligned}$$

Из условия $z = 40$ получаем $50 - 40t = 40$, то есть $t = 0{,}25$, и тогда $x = 70 - 5 = 65$. Фронтальная проекция вспомогательной точки найдена: $1''(65; 40)$.

Шаг 3. Опускаем линию связи и достраиваем $h'$. Точка $1$ лежит на стороне $BC$, значит её горизонтальная проекция обязана попасть на отрезок $B'C'$, причём на ту же абсциссу $x = 65$. Подставляем найденное $t = 0{,}25$ в горизонтальную проекцию стороны:

$$y = 30 - 20t = 30 - 5 = 25.$$

Получилось $1'(65; 25)$, а в пространстве - точка $1(65; 25; 40)$. Соединяем $A'$ с $1'$: это и есть $h'$. Горизонталь построена, у неё $h'' = A''1''$ параллельна оси $x$, а $h' = A'1'$ идёт наклонно.

Шаг 4. Фронталь начинаем, наоборот, с горизонтальной проекции. У фронтали постоянна глубина $y$, а глубина читается на виде сверху. Через точку $B$ уровень равен $y_B = 30$, поэтому параллельна оси $x$ теперь горизонтальная проекция $f'$. Она пересекает сторону $A'C'$ в точке $2'$. Параметризуем эту сторону от $A$ к $C$:

$$\begin{aligned} x &= 5 + 45t, \\ y &= 70 - 60t. \end{aligned}$$

Условие $y = 30$ даёт $70 - 60t = 30$, откуда $t = \tfrac{2}{3}$ и $x = 5 + 30 = 35$. Значит $2'(35; 30)$.

Шаг 5. Поднимаем линию связи и достраиваем $f''$. На фронтальной проекции та же сторона описывается тем же параметром: $z = 40 - 30t$. При $t = \tfrac{2}{3}$ высота равна $z = 40 - 20 = 20$, поэтому $2''(35; 20)$, а точка пространства - $2(35; 30; 20)$. Проводим $f'' = B''2''$, и фронталь готова.

Ответ. Горизонталь плоскости: $h = A1$, где $1(65; 25; 40)$; её фронтальная проекция параллельна оси $x$ на уровне $z = 40$. Фронталь плоскости: $f = B2$, где $2(35; 30; 20)$; её горизонтальная проекция параллельна оси $x$ на уровне $y = 30$.

Правило принадлежности и почему построение идёт крест-накрест

Прямая принадлежит плоскости в единственном случае: если у неё с плоскостью есть две общие точки. Другого условия не существует, поэтому любая задача «провести прямую в плоскости» сводится к поиску второй точки. Брать её удобнее всего на сторонах треугольника: сторона целиком лежит в плоскости, а значит и любая её точка тоже.

Отсюда и порядок действий, который путают чаще всего. Горизонталь параллельна горизонтальной плоскости проекций $H$, постоянна у неё аппликата $z$, а высота видна на фронтальной проекции. Поэтому первой проводят $h''$ и только потом по линии связи получают $h'$. У фронтали постоянна глубина $y$, которая читается на горизонтальной проекции, - с неё и начинают, а достраивают $f''$.

Запоминается это одной фразой: горизонталь начинают сверху чертежа, фронталь - снизу. Название прямой уровня говорит, какой плоскости проекций она параллельна, а построение всегда стартует с противоположного вида. Именно здесь чаще всего параллельно оси проводят не ту проекцию и получают прямую, плоскости не принадлежащую.

Линия связи в этом построении не оформительская деталь, а рабочий механизм. Она переносит абсциссу без искажения, и только благодаря ей найденная на одном виде точка остаётся той же точкой пространства на другом. Тот же приём отвечает и на вопрос о взаимном положении двух прямых на эпюре: там совпадение абсцисс у точек встречи проекций доказывает, что прямые пересекаются.

Проверка расчётом: уравнение плоскости

Графическое построение полезно продублировать координатами, тем более что в контрольных обычно требуют оба способа. Нормаль плоскости - векторное произведение двух её направляющих:

$$\vec{AB} = (65; \; -40; \; 10), \qquad \vec{AC} = (45; \; -60; \; -30),$$ $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (1800; \; 2400; \; -2100) \sim (6; \; 8; \; -7).$$

Уравнение плоскости записываем через вершину $A$:

$$6x + 8y - 7z = 6 \cdot 5 + 8 \cdot 70 - 7 \cdot 40 = 310.$$

Подставляем найденные точки. Для $1(65; 25; 40)$ получаем $390 + 200 - 280 = 310$, для $2(35; 30; 20)$ - $210 + 240 - 140 = 310$. Обе точки удовлетворяют уравнению, значит обе прямые лежат в плоскости; ровно это и показывает нулевая невязка в панели калькулятора.

Заодно уравнение закрывает смежный вопрос. Точка $M(40; 25; 20)$ даёт $240 + 200 - 140 = 300 \ne 310$, в плоскости она не лежит, хотя на эпюре её проекции спокойно попадают внутрь контура треугольника. Попадание проекций внутрь контура не доказывает ничего: доказательством служит либо построение по двум точкам плоскости, либо подстановка в уравнение.

Прямая общего положения, линия ската и другие способы задать плоскость

Линии уровня - только частный случай. Прямая общего положения строится тем же правилом двух точек, просто без требования постоянства координаты: соединив $A$ с серединой $M(60; 20; 30)$ стороны $BC$, получаем прямую плоскости, у которой ни одна проекция оси $x$ не параллельна. Переключи третий чип в калькуляторе - эпюр перестроится, а невязка останется нулевой.

Особая прямая плоскости - линия наибольшего ската: её горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали. Здесь $h'$ имеет направление $(60; -45)$, то есть $(4; -3)$, поэтому проекция линии ската идёт по направлению $(3; 4)$. Угол наклона этой линии к плоскости $H$ и есть угол наклона самой плоскости: $\operatorname{arctg} \tfrac{10}{7} \approx 55^\circ$. Тот же ответ даёт нормаль: $\cos \alpha = 7 / \sqrt{149}$. Похожие расчёты подробно разобраны в задаче про угол между прямой и плоскостью.

Плоскость не обязана задаваться треугольником. Три точки, две пересекающиеся или две параллельные прямые, прямая и точка вне неё переводятся в треугольник за один шаг, и дальше построение не меняется. Если плоскость задана следами, горизонталь проводят параллельно горизонтальному следу, а фронталь - параллельно фронтальному: следы сами являются линиями уровня с нулевым уровнем. А когда в плоскости нужна не произвольная прямая, а линия пересечения с другой плоскостью, работают те же вспомогательные точки - этот случай разобран в статье про линию пересечения двух плоскостей общего положения.

Частые ошибки

• Проводят параллельно оси $x$ не ту проекцию. У горизонтали оси параллельна фронтальная проекция, у фронтали - горизонтальная. Зеркальная ошибка даёт прямую, которая плоскости не принадлежит, хотя чертёж выглядит правдоподобно.
• Берут вторую точку наугад внутри контура. Точка плоскости надёжно находится только на её контуре: на стороне треугольника или на уже построенной прямой плоскости. Точка, поставленная внутри треугольника на глаз, в плоскости не лежит.
• Ломают линию связи. Проекции вспомогательной точки обязаны стоять на общем перпендикуляре к оси $x$: у нас $x_{1'} = x_{1''} = 65$. Наклонная линия связи переносит абсциссу неверно и портит и чертёж, и ответ.
• Путают, какая координата на какой проекции. На виде сверху вторая координата - глубина $y$, на виде спереди - высота $z$. Точка, собранная как $1(65; 40; 25)$, провалит любую проверку подстановкой.
• Молча продлевают сторону треугольника. Если уровень выбран вне диапазона стороны, вспомогательная точка ляжет на её продолжение. Это допустимо, но продолжение нужно показать на чертеже штрихом, иначе построение читается как ошибка.
• Останавливаются на одной проекции. Прямая на эпюре задана только парой проекций: $h''$ без $h'$ - это половина ответа, а не построенная горизонталь.

FAQ

Сколько прямых можно провести в плоскости через одну точку? Бесконечно много: через точку плоскости проходит целый пучок лежащих в ней прямых. Условие «горизонталь» или «фронталь» выделяет из пучка ровно одну прямую, поэтому у такой задачи единственный ответ.

Как проверить, что построенная прямая действительно лежит в плоскости? Графически - убедиться, что обе её точки взяты на контуре плоскости, а линии связи вертикальны. Аналитически - подставить координаты обеих точек в уравнение плоскости: результат должен совпасть со свободным членом $310$.

Чем горизонталь плоскости отличается от произвольной горизонтальной прямой? Только принадлежностью. Горизонталь плоскости - это её прямая, параллельная плоскости $H$; слово «плоскости» уточняет, что прямая взята не сама по себе, а лежит в заданной плоскости, поэтому и строится через вспомогательную точку на контуре.

Что делать, если сторона треугольника сама оказалась горизонталью? Тогда искомая горизонталь параллельна этой стороне, и точки пересечения с ней не существует. Достаточно провести через заданную точку прямую, параллельную стороне, сразу в обеих проекциях; калькулятор в этом случае выводит соответствующее пояснение вместо координат вспомогательной точки.

Коротко

1. Прямая принадлежит плоскости, если проходит через две её точки: одна берётся из условия, вторая - на стороне треугольника.
2. Горизонталь начинай с фронтальной проекции: проведи $h''$ параллельно оси $x$ через заданную точку и найди на стороне точку $1''$.
3. Опусти линию связи на ту же сторону в горизонтальной проекции, получи $1'$ и соедини с горизонтальной проекцией исходной точки.
4. Фронталь строй зеркально: сначала $f'$ параллельно оси $x$ на виде сверху, затем $2''$ по линии связи на виде спереди.
5. Для $A(5; 70; 40)$, $B(70; 30; 50)$, $C(50; 10; 10)$ горизонталь через $A$ проходит через точку $1(65; 25; 40)$, фронталь через $B$ - через точку $2(35; 30; 20)$, и обе удовлетворяют уравнению плоскости $6x + 8y - 7z = 310$.