Как построить диметрическую проекцию: плита с отверстием

Дано: прямоугольная плита с габаритами $80 \times 60 \times 40$ мм, где 80 мм идут вдоль оси $x$, 60 мм вдоль оси $y$, 40 мм вдоль оси $z$; в верхней грани просверлено сквозное отверстие диаметром $40$ мм. Найти: построить прямоугольную диметрию этой детали.

Диметрия отличается от изометрии ровно одним: по оси $y$ размеры сокращают вдвое, а по двум другим осям откладывают как есть. Ответ: ось $z$ вертикальна, ось $x$ идёт под 7°10′ к горизонтали, ось $y$ под 41°25′; на чертеже откладываем 80 мм по $x$, 30 мм по $y$ и 40 мм по $z$; отверстие превращается в эллипс с горизонтальной большой осью 42,4 мм и вертикальной малой 14 мм, а само изображение крупнее натуры в 1,06 раза. Калькулятор сверху перестраивает чертёж под другие габариты и переносит отверстие на любую из трёх граней.

Решение по шагам

Шаг 1. Выбираем коэффициенты искажения. Задание не требует натуральной величины, значит берём приведённые коэффициенты по ГОСТ 2.317:

$$k_x = k_z = 1, \qquad k_y = 0{,}5.$$

Это и есть рабочая формулировка диметрии: два размера откладываются без пересчёта, третий вдвое короче. Действительные коэффициенты 0,94 и 0,47 понадобятся только в расчётной части ответа, строить по ним неудобно.

Шаг 2. Проводим аксонометрические оси. Ось $z$ ставим вертикально вверх. Ось $x$ отводим влево вниз под углом 7°10′ к горизонтали, ось $y$ вправо вниз под углом 41°25′. Углы удобно строить по катетам: для оси $x$ отмеряем 8 клеток вправо и 1 вниз, для оси $y$ - 8 клеток и 7 вниз. Ошибка такого построения меньше толщины линии.

Шаг 3. Строим основание плиты. От начала координат $O$ вдоль оси $x$ откладываем длину с её коэффициентом, из полученной точки проводим прямую параллельно оси $y$ и откладываем ширину:

$$x' = 80 \cdot 1 = 80 \text{ мм}, \qquad y' = 60 \cdot 0{,}5 = 30 \text{ мм}.$$

Замыкаем параллелограмм двумя прямыми, параллельными осям. Это и есть нижнее основание: на чертеже оно выглядит сплюснутым, и так и должно быть.

Шаг 4. Поднимаем деталь на высоту. Из каждой вершины основания проводим вертикальные прямые и откладываем $z' = 40 \cdot 1 = 40$ мм. Соединив четыре верхние точки, получаем верхнюю грань, конгруэнтную нижней. Все вертикальные рёбра на чертеже равны натуральной высоте, потому что $k_z = 1$.

Шаг 5. Строим отверстие. Центр отверстия лежит в середине верхней грани, то есть в точке, отстоящей от $O$ на 40 мм вдоль оси $x$ и на 15 мм вдоль оси $y$ (половина уже сокращённого отрезка, а не половина 60 мм). Окружность в горизонтальной плоскости изображается эллипсом, оси которого считают от диаметра:

$$A_{\text{б}} = 1{,}06 \cdot 40 = 42{,}4 \text{ мм}, \qquad A_{\text{м}} = 0{,}35 \cdot 40 = 14{,}0 \text{ мм}.$$

Большая ось горизонтальна, потому что она перпендикулярна изображению оси $z$, а та вертикальна. Малая ось соответственно вертикальна.

Шаг 6. Обводим и проверяем. Видимый контур обводим основной линией, три ребра, сходящиеся в начале координат, остаются невидимыми и показываются штриховой. Проверка простая: все рёбра чертежа параллельны одной из трёх осей, отрезки вдоль $y$ ровно вдвое короче размеров на эпюре, а эллипс вписан в ромб, стороны которого параллельны осям $x$ и $y$. Ответ: отрезки на чертеже 80, 30 и 40 мм, эллипс отверстия 42,4 на 14 мм с горизонтальной большой осью, масштаб изображения 1,06:1.

Формула коэффициентов: откуда берутся 0,94 и 0,47

Для любой прямоугольной аксонометрии коэффициенты искажения по осям связаны одним соотношением: сумма их квадратов равна двум. В диметрии по определению два коэффициента равны между собой, а третий вдвое меньше, то есть $p = r$ и $q = p/2$. Подставляем:

$$p^2 + \frac{p^2}{4} + p^2 = 2, \qquad \frac{9p^2}{4} = 2, \qquad p = \sqrt{\frac{8}{9}} \approx 0{,}9428.$$

Отсюда действительные коэффициенты диметрии: $p = r \approx 0{,}94$ по осям $x$ и $z$, $q \approx 0{,}47$ по оси $y$. Именно эти числа стоят в ответе, если преподаватель требует изображение в натуральную величину: наша плита дала бы отрезки 75,2, 28,2 и 37,6 мм.

Умножать каждый размер на 0,94 руками мучительно, поэтому стандарт разрешает округлить коэффициенты до 1 и 0,5. Изображение при этом растёт в

$$\frac{1}{0{,}9428} \approx 1{,}06$$

раза по всем направлениям сразу, а значит форма детали и соотношение размеров не меняются. Точно такая же логика работает в изометрии, где приведённые коэффициенты дают увеличение 1,22; подробный вывод обоих чисел разобран в статье про коэффициенты искажения.

Углы 7°10′ и 41°25′: как построить без транспортира

Наклон осей не выдуман, он следует из тех же коэффициентов: чем сильнее искажается ось, тем ближе её изображение к горизонтали противоположной оси. Запоминать точные значения не нужно, достаточно тангенсов:

$$\operatorname{tg} 7^\circ 10' \approx 0{,}125 = \frac{1}{8}, \qquad \operatorname{tg} 41^\circ 25' \approx 0{,}875 = \frac{7}{8}.$$

Поэтому на клетчатой бумаге ось $x$ строят по катетам 1 и 8, а ось $y$ - по катетам 7 и 8. Углы между самими осями получаются такими: между $z$ и $x$ - 97°10′, между $x$ и $y$ - 131°25′, между $y$ и $z$ - 131°25′. Сумма трёх углов даёт 360°, и это первая проверка правильно проведённых осей.

Практическое следствие важнее арифметики: ось $x$ почти горизонтальна, поэтому длинная сторона детали на чертеже почти не наклонена, и размеры вдоль неё читаются легко. Если сильно наклонена именно ось $x$, оси перепутаны местами. Координаты для аксонометрии при этом снимают с того же эпюра, что и при построении проекций точки.

Окружность в диметрии: три разных эллипса

В изометрии все три эллипса одинаковы, в диметрии - нет, и это главное практическое отличие. Большая ось у всех трёх эллипсов одна и та же, 1,06 диаметра, а малая зависит от того, в какой плоскости лежит окружность.

Эллипс во фронтальной плоскости почти не отличается от окружности: 42,4 против 38 мм. Ради этого диметрию и выбирают. Если у детали много круглых элементов в одной плоскости - фланец, крышка, лицевая панель с отверстиями, - её разворачивают этой плоскостью вперёд и чертят в диметрии, потому что рисовать почти круглые эллипсы быстрее и точнее, чем сплюснутые. Переключи чипы граней в калькуляторе сверху: эллипс перестроится и повернётся, а числа в панели ответа изменятся вслед за плоскостью.

Правило направления осей одно для всех трёх случаев: большая ось эллипса перпендикулярна изображению той аксонометрической оси, которая перпендикулярна плоскости окружности, а малая ось этому изображению параллельна. Для верхней грани перпендикулярна ось $z$, она вертикальна, значит большая ось горизонтальна. Сравнение с изометрией, где такой мороки нет, разобрано в задаче про построение аксонометрической проекции.

Частые ошибки

• Откладывать по оси $y$ полный размер. Самая частая ошибка: деталь выходит вытянутой в глубину вдвое и перестаёт быть диметрией. Коэффициент 0,5 применяется ко всем без исключения отрезкам, параллельным оси $y$, включая внутренние рёбра и расстояния до центров отверстий.
• Сокращать вдвое то, что оси $y$ не параллельно. Коэффициент работает только вдоль оси. Диаметр отверстия в верхней грани не делится на два: окружность превращается в эллипс, и его размеры считаются по формулам 1,06d и 0,35d, а не делением диаметра.
• Ставить эллипс с вертикальной большой осью. Если большую ось провести вдоль малой, отверстие ложится набок и вся деталь читается как перекошенная. Проверяйте по правилу перпендикулярности к изображению нормальной оси.
• Смешивать действительные и приведённые коэффициенты. Либо все размеры с 0,94 и 0,47, либо все с 1 и 0,5. Отложенная как есть длина при сокращённой вдвое ширине даёт чертёж, который не является ни диметрией, ни изометрией.
• Путать, какая ось идёт под каким углом. Под 7°10′ проводят ось $x$, почти горизонтально; под 41°25′ - ось $y$. Перестановка углов даёт формально красивый, но неверный чертёж, и её сразу видно по слишком наклонной длинной стороне.
• Брать одинаковые эллипсы для всех граней. Это привычка из изометрии, где все три эллипса совпадают: в диметрии фронтальный почти вдвое шире двух остальных по малой оси.

FAQ

Когда выбирают диметрию, а когда изометрию? Изометрию берут, когда деталь примерно одинакова по трём измерениям или круглые элементы разбросаны по разным плоскостям. Диметрию выбирают для вытянутых деталей и для деталей с окружностями во фронтальной плоскости: там эллипс почти круглый, а лишняя глубина не загромождает чертёж.

Почему деталь не выглядит сплющенной, если размер по $y$ уменьшен вдвое? Потому что глаз воспринимает сокращение вдоль глубины как перспективу. Ось $y$ на чертеже наклонена круто, под 41°25′, и укороченный отрезок читается как уходящий вдаль. При этом измерять по такому чертежу можно: достаточно умножить снятый размер на два.

Как быть, если отверстие не в координатной плоскости, а в наклонной грани? Тогда сначала строят саму грань по трём точкам, а окружность на ней заменяют вписанным многоугольником или строят по точкам: восемь точек окружности переносят по координатам, и через их изображения проводят лекальную кривую. Готовыми коэффициентами 1,06 и 0,35 пользоваться в этом случае нельзя.

Можно ли заменить эллипс овалом из дуг окружностей? На учебных чертежах это допускается: овал строят из четырёх сопряжённых дуг по осям эллипса. Но проверяющий обычно требует лекальную кривую или шаблон, поэтому в чистовой работе безопаснее строить эллипс по точкам.

Коротко

1. Возьми приведённые коэффициенты диметрии $k_x = 1$, $k_y = 0{,}5$, $k_z = 1$; действительные 0,94 и 0,47 нужны только для ответа о натуральной величине.
2. Проведи оси: $z$ вертикально, $x$ под 7°10′ (катеты 1 и 8), $y$ под 41°25′ (катеты 7 и 8) к горизонтали.
3. Отложи габариты с коэффициентами: для плиты 80 на 60 на 40 мм это 80, 30 и 40 мм, и замкни основание и верхнюю грань прямыми, параллельными осям.
4. Окружности замени эллипсами: большая ось 1,06d всегда перпендикулярна изображению оси, нормальной к плоскости окружности; малая - 0,35d для горизонтальной и профильной плоскости и 0,95d для фронтальной.
5. Для отверстия диаметром 40 мм в верхней грани получаем эллипс 42,4 на 14,0 мм с горизонтальной большой осью, масштаб изображения 1,06:1.