Как найти следы прямой: пошаговое решение на эпюре

Дано: прямая проходит через точки $A(25; 10; 45)$ и $B(55; 30; 15)$, координаты в миллиметрах. Найти: горизонтальный след $M$ и фронтальный след $N$ прямой, построить их на эпюре и определить, через какие четверти пространства проходит прямая.

Следом прямой называют точку, в которой она пересекает плоскость проекций. У горизонтального следа нулю равна аппликата, у фронтального нулю равна ордината, поэтому задача сводится к двум линейным уравнениям на параметр прямой. Ответ: $M(70; 40; 0)$, $N(10; 0; 60)$; прямая приходит из II четверти, через след $N$ попадает в I четверть, а через след $M$ уходит в IV. Калькулятор сверху строит эпюр с обоими следами для любых координат точек.

Решение по шагам

Шаг 1. Разности координат и уравнение прямой. Из координат точки $B$ вычитаем координаты точки $A$:

$$\Delta x = 55 - 25 = 30, \qquad \Delta y = 30 - 10 = 20, \qquad \Delta z = 15 - 45 = -30.$$

Эти три числа задают направление прямой. Любая её точка получается, если отложить от $A$ вектор $(\Delta x; \Delta y; \Delta z)$ с множителем $t$: при $t = 0$ это сама точка $A$, при $t = 1$ точка $B$, остальные значения дают продолжение прямой в обе стороны.

$$x = 25 + 30t, \qquad y = 10 + 20t, \qquad z = 45 - 30t.$$

Шаг 2. Горизонтальный след $M$. Горизонтальная плоскость проекций $H$ состоит из точек с нулевой аппликатой. Приравниваем $z$ к нулю и находим параметр:

$$45 - 30t = 0 \quad\Rightarrow\quad t_M = 1{,}5.$$

Подставляем $t_M$ в два оставшихся уравнения:

$$x_M = 25 + 30 \cdot 1{,}5 = 70, \qquad y_M = 10 + 20 \cdot 1{,}5 = 40.$$

Значит, $M(70; 40; 0)$. Параметр больше единицы, поэтому след лежит на продолжении отрезка за точкой $B$, на расстоянии половины отрезка $AB$ от неё.

Шаг 3. Фронтальный след $N$. Фронтальная плоскость проекций $V$ состоит из точек с нулевой ординатой:

$$10 + 20t = 0 \quad\Rightarrow\quad t_N = -0{,}5,$$ $$x_N = 25 + 30 \cdot (-0{,}5) = 10, \qquad z_N = 45 - 30 \cdot (-0{,}5) = 60.$$

Получаем $N(10; 0; 60)$. Отрицательный параметр означает, что след лежит по другую сторону, на продолжении отрезка за точкой $A$, тоже в половине длины $AB$ от неё.

Шаг 4. Строим следы на эпюре. Сначала наносим проекции точек по правилам построения проекций точки: $A'$ и $B'$ в поле $H$ на глубине $10$ и $30$ мм, $A''$ и $B''$ в поле $V$ на высоте $45$ и $15$ мм. Через них проводим горизонтальную проекцию прямой $A'B'$ и фронтальную $A''B''$, а затем продлеваем обе до оси $x$.

Для горизонтального следа продлеваем фронтальную проекцию $A''B''$ до пересечения с осью $x$. Это точка $M''$, она стоит на расстоянии $70$ мм от начала координат. Из $M''$ проводим линию связи перпендикулярно оси до пересечения с продолжением $A'B'$ и получаем $M'$ на глубине $40$ мм. Сам след совпадает со своей горизонтальной проекцией, потому что лежит в плоскости $H$.

Фронтальный след строится зеркально. Продлеваем горизонтальную проекцию $A'B'$ до оси $x$ и получаем $N'$ на отметке $10$ мм. Линия связи вверх до продолжения $A''B''$ даёт $N''$ на высоте $60$ мм, и эта точка совпадает с самим следом $N$.

Шаг 5. Проверка. Обе найденные точки обязаны лежать на прямой, а значит, вектор $\overrightarrow{NM}$ должен быть параллелен вектору $\overrightarrow{AB}$:

$$\overrightarrow{NM} = (70 - 10;\ 40 - 0;\ 0 - 60) = (60; 40; -60) = 2 \cdot (30; 20; -30).$$

Координаты пропорциональны с множителем $2$, следы найдены верно. На эпюре есть и второй признак: $M''$ и $N'$ обязаны лежать на оси $x$, иначе в построении ошибка.

Шаг 6. Четверти пространства. Следы делят прямую на три участка. Между $N$ и $M$, то есть при $-0{,}5 < t < 1{,}5$, обе координаты $y$ и $z$ положительны: это I четверть, в ней лежит и сам отрезок $AB$. За точкой $N$ ордината становится отрицательной, и прямая уходит за плоскость $V$ во II четверть. За точкой $M$ отрицательной становится аппликата, и прямая опускается под плоскость $H$ в IV четверть.

Ответ. Горизонтальный след $M(70; 40; 0)$, фронтальный след $N(10; 0; 60)$. На эпюре $M''$ и $N'$ лежат на оси $x$, а $M'$ и $N''$ на продолжениях проекций прямой. Прямая проходит через II, I и IV четверти, видимый участок $NM$ лежит в I четверти.

Формула и откуда она берётся

Всё решение держится на одном свойстве: каждая плоскость проекций задаётся нулём одной координаты. Для $H$ это $z = 0$, для $V$ это $y = 0$, для профильной плоскости $W$ это $x = 0$. Подстановка такого нуля в уравнение прямой в общем виде даёт готовые формулы:

$$\begin{aligned} t_M &= -\frac{z_A}{\Delta z}, & x_M &= x_A - z_A \frac{\Delta x}{\Delta z}, & y_M &= y_A - z_A \frac{\Delta y}{\Delta z}, \\ t_N &= -\frac{y_A}{\Delta y}, & x_N &= x_A - y_A \frac{\Delta x}{\Delta y}, & z_N &= z_A - y_A \frac{\Delta z}{\Delta y}. \end{aligned}$$

Проверим на нашем примере: $x_M = 25 - 45 \cdot \frac{30}{-30} = 70$ и $z_N = 45 - 10 \cdot \frac{-30}{20} = 60$. Числа совпали с шагами 2 и 3.

Графическое построение даёт то же самое, потому что за ним стоит подобие треугольников. Фронтальная проекция $A''B''$ теряет $30$ мм высоты на каждые $30$ мм вдоль оси $x$. От точки $B''$ ей осталось опуститься ещё на $15$ мм, значит, вдоль оси она пройдёт ещё $15$ мм и встретит ось на отметке $70$. Горизонтальная проекция на тех же $30$ мм вдоль оси уходит на $20$ мм вглубь, поэтому на отметке $70$ её глубина равна $30 + 20 \cdot \frac{15}{30} = 40$ мм.

Почему одна проекция следа всегда лежит на оси? Горизонтальный след находится в плоскости $H$, и его высота над ней нулевая. Фронтальная проекция показывает именно высоту, поэтому точка $M''$ садится туда, где высота равна нулю, то есть на ось $x$. По той же причине на ось ложится $N'$: у фронтального следа нулевая глубина, а горизонтальная проекция показывает глубину.

Следы прямых нужны не сами по себе. Через следы прямых, лежащих в плоскости, проходят следы самой плоскости, и так плоскость переводят из задания точками в задание следами. На этом держится, например, построение линии пересечения плоскостей методом следов.

Если прямая занимает частное положение

Формулы содержат деление на $\Delta z$ и $\Delta y$. Когда одна из этих разностей равна нулю, соответствующего следа нет. Прямая с $\Delta z = 0$ параллельна плоскости $H$, поэтому у горизонтали есть только фронтальный след. Например, у прямой через $A(40; 20; 30)$ и $B(70; 40; 30)$ фронтальный след $N(10; 0; 30)$, а горизонтального нет. Как по разностям координат опознать такое положение, подробно разобрано в задаче про положение прямой.

Фронталь с $\Delta y = 0$ зеркально имеет только горизонтальный след. Горизонтально и фронтально проецирующие прямые имеют по одному основному следу, и он совпадает с вырожденной проекцией. У профильно проецирующей прямой нет ни горизонтального, ни фронтального следа, только профильный.

Особый случай даёт прямая, пересекающая ось $x$. Тогда оба следа сливаются в одну точку оси. У прямой через $A(30; 10; 20)$ и $B(60; 30; 60)$ параметры $t_M$ и $t_N$ оба равны $-0{,}5$, и $M = N = (15; 0; 0)$. Такая прямая проходит только через две четверти, III и I, а на эпюре обе её проекции пересекают ось в одной точке.

Профильный след находят тем же приёмом из условия $x = 0$. Для нашей прямой $t_P = -\frac{25}{30} \approx -0{,}83$, откуда $P(0; -6{,}7; 70)$. Ордината отрицательна, поэтому профильный след лежит на участке прямой во II четверти, уже за фронтальным следом.

Отдельная ловушка возникает с профильной прямой, у которой $\Delta x = 0$. Обе её основные проекции лежат на одной линии связи, поэтому $M''$ и $N'$ попадают в одну точку оси, а положение $M'$ и $N''$ с чертежа не снять. Такие следы строят через профильную проекцию или считают по формулам выше, где на $\Delta x$ ничего не делится.

Частые ошибки

• Продлевают не ту проекцию. Для горизонтального следа до оси $x$ продлевают фронтальную проекцию $A''B''$, а не горизонтальную. Ищем нулевую высоту, а высоту показывает именно фронтальная проекция.
• Ставят на ось весь след. На оси лежит только одна проекция следа: $M''$ у горизонтального и $N'$ у фронтального. Вторая проекция находится по линии связи и в общем случае от оси удалена, в нашей задаче на $40$ и $60$ мм.
• Теряют знак у $\Delta z$. Если записать $\Delta z = 30$ вместо $-30$, параметр выйдет $t_M = -1{,}5$, и след «найдётся» в точке $(-20; -20; 0)$, которая на прямой не лежит.
• Ищут след только между точками $A$ и $B$. След почти всегда лежит на продолжении отрезка, как здесь при $t_M = 1{,}5$ и $t_N = -0{,}5$. Проекции нужно продлевать за пределы отрезка в обе стороны.
• Забывают пересчитать нулевую координату. Из $t_M$ находят $x$ и $y$, а аппликату стоит тоже пересчитать: если вышел не ноль, параметр найден с ошибкой.
• Путают параллельность с ошибкой в арифметике. Деление на нуль при поиске $t_M$ значит, что прямая параллельна плоскости $H$ и горизонтального следа у неё нет.

FAQ

Что такое след прямой в начертательной геометрии? Это точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Горизонтальный след $M$ лежит в плоскости $H$, фронтальный след $N$ в плоскости $V$, профильный в плоскости $W$.

Сколько следов может быть у прямой? Не больше трёх, по числу плоскостей проекций. Прямая общего положения пересекает все три плоскости, прямые уровня по две, проецирующие прямые одну. Если прямая лежит в плоскости проекций целиком, следа в этой плоскости как отдельной точки нет.

Как найти следы прямой, если координат нет, а дан только эпюр? Графически, как в шаге 4: фронтальную проекцию продлевают до оси $x$ и по линии связи переходят на горизонтальную, так получают горизонтальный след. Фронтальный строят в обратном порядке, а координаты следов снимают с чертежа.

Можно ли найти следы через каноническое уравнение прямой? Да, это то же решение в другой записи. Уравнение $\frac{x - 25}{30} = \frac{y - 10}{20} = \frac{z - 45}{-30}$ приравнивают к $t$ и получают параметрическую форму. Подстановка $z = 0$ делает третью дробь равной $1{,}5$, и две другие координаты находятся из той же пропорции.

Коротко

1. Найди разности координат $\Delta x = 30$, $\Delta y = 20$, $\Delta z = -30$ и запиши прямую параметрически.
2. Горизонтальный след: реши $z = 0$, здесь $t_M = 1{,}5$ и $M(70; 40; 0)$.
3. Фронтальный след: реши $y = 0$, здесь $t_N = -0{,}5$ и $N(10; 0; 60)$.
4. На эпюре продли $A''B''$ до оси $x$ и получишь $M''$, продли $A'B'$ до оси и получишь $N'$; вторые проекции следов найди по линиям связи.
5. Проверь пропорциональность векторов $\overrightarrow{NM}$ и $\overrightarrow{AB}$ и определи четверти: прямая идёт из II через I в IV.