Как определить параллельность прямых: разбор на эпюре

Дано: прямая $AB$ задана точками $A(70; 10; 15)$ и $B(20; 40; 45)$, прямая $CD$ - точками $C(55; 45; 20)$ и $D(30; 60; 35)$, координаты в миллиметрах. Найти: параллельны ли прямые $AB$ и $CD$.

Две прямые параллельны тогда, когда параллельны их одноимённые проекции: горизонтальная с горизонтальной, фронтальная с фронтальной. Наклон каждой проекции задают разности координат концов отрезка, поэтому вся проверка сводится к сравнению двух пар чисел. Ответ: прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а отрезок $CD$ ровно вдвое короче отрезка $AB$. Калькулятор сверху строит эпюр по любым четырём точкам и пишет вердикт по каждому полю чертежа отдельно.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем разности координат. Наклон проекции зависит не от того, где лежит отрезок, а от того, насколько меняются координаты при переходе от одного его конца к другому. Поэтому из координат второй точки вычитаем координаты первой.

Тройка $(\Delta x; \Delta y; \Delta z)$ - это направляющий вектор прямой. Знаки в ней зависят от того, какую точку взяли первой, и на параллельность не влияют: важны только отношения между разностями.

Шаг 2. Сравниваем горизонтальные проекции. Горизонтальная проекция точки собирается из абсциссы и ординаты, аппликата при этом теряется. Значит, наклон горизонтальной проекции отрезка к оси $x$ определяет отношение $\Delta y$ к $\Delta x$:

$$\operatorname{tg}\varphi_{1} = \frac{|{\Delta y_{1}}|}{|{\Delta x_{1}}|} = \frac{30}{50} = 0{,}6, \qquad \operatorname{tg}\varphi_{2} = \frac{|{\Delta y_{2}}|}{|{\Delta x_{2}}|} = \frac{15}{25} = 0{,}6 .$$

Оба отношения дали $0{,}6$, то есть угол наклона обеих проекций к оси $x$ равен $30{,}96^\circ$. Проекции $A'B'$ и $C'D'$ параллельны. Тот же вывод даёт проверка без деления, через косое произведение: $(-50) \cdot 15 - 30 \cdot (-25) = -750 + 750 = 0$. Такая запись удобнее, потому что не ломается, когда одна из разностей обращается в нуль.

Шаг 3. Сравниваем фронтальные проекции. Фронтальная проекция складывается из абсциссы и аппликаты, поэтому её наклон задаёт отношение $\Delta z$ к $\Delta x$:

$$\operatorname{tg}\psi_{1} = \frac{30}{50} = 0{,}6, \qquad \operatorname{tg}\psi_{2} = \frac{15}{25} = 0{,}6, \qquad (-50) \cdot 15 - 30 \cdot (-25) = 0 .$$

Фронтальные проекции $A''B''$ и $C''D''$ тоже параллельны, и угол их наклона к оси $x$ снова $30{,}96^\circ$. Обе пары одноимённых проекций сошлись, значит признак сработал в полную силу.

Шаг 4. Проверяем, не попали ли мы в исключение. Признак по двум проекциям отказывает ровно в одном случае - когда обе прямые профильные, то есть абсциссы у концов каждой из них одинаковы. Здесь $\Delta x_{1} = -50$ и $\Delta x_{2} = -25$, обе разности отличны от нуля, ни одна прямая не профильная, и двух полей чертежа достаточно для ответа.

Шаг 5. Убеждаемся, что прямые разные. Параллельность подразумевает две прямые, а не одну, заданную двумя парами точек. Проверяем, не лежит ли точка $C$ на прямой $AB$: вектор $AC$ равен $(-15; 35; 5)$, и для принадлежности он должен быть пропорционален направляющему вектору $(-50; 30; 30)$. Но $-15 : (-50) = 0{,}3$, тогда как $35 : 30 \approx 1{,}17$, пропорции нет. Прямые действительно разные.

Ответ: прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Их длины при этом различаются: $|AB| = \sqrt{50^2 + 30^2 + 30^2} = \sqrt{4300} \approx 65{,}6$ мм, а $|CD| = \sqrt{25^2 + 15^2 + 15^2} = \sqrt{1075} \approx 32{,}8$ мм, то есть ровно вдвое меньше. Параллельность прямых и длина отрезков между собой не связаны.

Признак параллельности и откуда он берётся

Комплексный чертёж строится параллельным проецированием, а параллельное проецирование сохраняет параллельность. Через две параллельные прямые проведём проецирующие плоскости, перпендикулярные плоскости $H$: эти плоскости параллельны между собой, поэтому пересекают $H$ по двум параллельным прямым. Эти линии пересечения и есть горизонтальные проекции. Такое же рассуждение для плоскости $V$ даёт параллельность фронтальных проекций. Отсюда прямое утверждение: у параллельных прямых параллельны все одноимённые проекции.

Обратное утверждение доказывается алгеброй и заодно показывает своё исключение. Пусть параллельны горизонтальные и фронтальные проекции, то есть $\Delta x_{1}\Delta y_{2} = \Delta y_{1}\Delta x_{2}$ и $\Delta x_{1}\Delta z_{2} = \Delta z_{1}\Delta x_{2}$. Если $\Delta x_{1} \ne 0$, обозначим $k = \Delta x_{2} / \Delta x_{1}$ и получим сразу $\Delta y_{2} = k\,\Delta y_{1}$ и $\Delta z_{2} = k\,\Delta z_{1}$. Все три разности оказались пропорциональны, направляющие векторы коллинеарны, прямые параллельны.

А что если $\Delta x_{1} = 0$? Тогда при $\Delta x_{2} \ne 0$ оба равенства дают $\Delta y_{1} = \Delta z_{1} = 0$, то есть первая прямая выродилась в точку, и говорить не о чем. Остаётся единственный содержательный случай $\Delta x_{1} = \Delta x_{2} = 0$: обе прямые профильные. Именно он и есть исключение из признака.

Когда признак обманывает: профильные прямые

Профильная прямая уровня параллельна плоскости $W$, у неё абсциссы обоих концов равны. На эпюре её горизонтальная и фронтальная проекции перпендикулярны оси $x$ - а две прямые, перпендикулярные одной и той же оси, параллельны всегда, как бы ни были наклонены сами прямые в пространстве. Поэтому у любых двух профильных прямых одноимённые проекции в полях $H$ и $V$ параллельны автоматически, и признак превращается в пустую формальность.

Возьмём прямые $EF$ и $GK$: $E(50; 10; 15)$, $F(50; 40; 45)$, $G(20; 50; 20)$, $K(20; 65; 50)$. Направляющие векторы равны $(0; 30; 30)$ и $(0; 15; 30)$. В полях $H$ и $V$ все четыре проекции вертикальны, признак говорит «параллельны». Достраиваем профильные проекции: наклон $E'''F'''$ задаёт отношение $30 : 30 = 1$, то есть $45^\circ$, а наклон $G'''K'''$ - отношение $30 : 15 = 2$, то есть $63{,}43^\circ$. Проекции расходятся на $18{,}43^\circ$, и ровно такой угол образуют сами прямые. Ответ отрицательный: $EF$ и $GK$ не параллельны, они скрещиваются. Переключи калькулятор на пресет с профильными прямыми и на три поля чертежа, чтобы увидеть эту пару целиком.

Проверка по пропорции разностей

Чертёж нужен не всегда: если координаты известны, параллельность проверяется одной строкой. Прямые параллельны, когда все три разности пропорциональны, то есть когда существует число $k$, для которого выполняется система

$$\Delta x_{2} = k\,\Delta x_{1}, \qquad \Delta y_{2} = k\,\Delta y_{1}, \qquad \Delta z_{2} = k\,\Delta z_{1} .$$

В нашей задаче $-25 : (-50) = 15 : 30 = 15 : 30 = 0{,}5$, коэффициент один и тот же, прямые параллельны. Этот способ работает и для профильных прямых, где чертёжный признак бессилен: для $EF$ и $GK$ отношения дают $30 : 15 = 2$ по ординатам против $30 : 30 = 1$ по аппликатам, пропорции нет.

Если параллельности нет, стоит доопределить взаимное положение. Непараллельные прямые либо пересекаются, либо скрещиваются, и различает их одна проверка: лежат ли они в общей плоскости. На эпюре это видно по конкурирующим точкам, а по координатам - по смешанному произведению векторов $d_{1}$, $d_{2}$ и $AC$. Разбор такой проверки есть в задаче про пересекающиеся прямые, а опознать частное положение каждой прямой по разностям координат помогает разбор положения прямой на эпюре.

Частые ошибки

• Сравнивают разноимённые проекции. Горизонтальную одной прямой с фронтальной другой сравнивать нельзя: это разные плоскости проекций и разные пары координат. Параллельность проверяется только между одноимёнными.
• Забывают про профильные прямые. Если у обеих прямых обе основные проекции перпендикулярны оси $x$, признак ничего не доказывает. Нужна третья проекция или пропорция разностей.
• Меряют наклон линейкой на глаз. Разница в пару градусов на чертеже неразличима, а ответ меняет. Считай отношение разностей координат, а не прикладывай угольник.
• Путают параллельность с равенством длин. У параллельных прямых отрезки бывают любой длины, как $65{,}6$ мм и $32{,}8$ мм в этой задаче. Совпадение длин параллельности не доказывает.
• Берут разности в разном порядке. Для одной прямой считают от $A$ к $B$, для другой от $D$ к $C$ и пугаются отрицательного коэффициента. Знак $k$ значения не имеет, противоположно направленные векторы задают ту же пару параллельных прямых.
• Принимают совпавшие прямые за параллельные. Если все разности пропорциональны и вдобавок вектор $AC$ коллинеарен направляющему, прямые слились в одну. Проверка из шага 5 отсекает этот случай.

FAQ

Достаточно ли двух проекций, чтобы доказать параллельность? В общем случае да: параллельность горизонтальных и фронтальных проекций влечёт параллельность прямых. Исключение одно - обе прямые профильные. Поэтому перед выводом всегда смотри, не равны ли абсциссы концов у каждой прямой.

Как провести через точку прямую, параллельную данной? Через одноимённые проекции точки проводят прямые, параллельные одноимённым проекциям исходной прямой: через горизонтальную проекцию точки - параллель к горизонтальной проекции, через фронтальную - к фронтальной. По координатам это означает, что к точке прибавляют направляющий вектор исходной прямой с любым множителем.

Чем параллельность на эпюре отличается от условия параллельности в аналитической геометрии? Содержательно ничем: и там и там речь о пропорциональности направляющих векторов. На плоскости условие записывают короче, через равенство угловых коэффициентов, и этот вариант разобран в статье про условия параллельности и перпендикулярности прямых. Эпюр просто раскладывает пространственную пропорцию на две плоские проверки.

Что делать, если прямые заданы не точками, а следами или проекциями на чертеже? Снимите с чертежа координаты двух точек каждой прямой и дальше действуйте по той же схеме. Если чертёж дан без размеров, сравнивайте наклоны проекций построением: проведите через конец одной проекции параллель к другой и посмотрите, совпадёт ли она с самой проекцией.

Коротко

1. Выпиши разности координат концов для каждой прямой: тройка $(\Delta x; \Delta y; \Delta z)$ - это направляющий вектор.
2. Сравни горизонтальные проекции через отношение $\Delta y$ к $\Delta x$, затем фронтальные через отношение $\Delta z$ к $\Delta x$. Проще считать косое произведение и смотреть, равно ли оно нулю.
3. Обе пары одноимённых проекций параллельны - прямые параллельны. Хотя бы одна пара не параллельна - ответ отрицательный.
4. Проверь исключение: если обе прямые профильные, то есть $\Delta x = 0$ у каждой, признак по двум проекциям не работает, нужна профильная проекция или пропорция всех трёх разностей.
5. В разобранной задаче отношения дали $0{,}6$ в обоих полях, а разности оказались пропорциональны с коэффициентом $0{,}5$: прямые $AB$ и $CD$ параллельны, причём $|AB| \approx 65{,}6$ мм и $|CD| \approx 32{,}8$ мм.