Как найти следы плоскости: построение на эпюре

Дано: плоскость задана треугольником $ABC$ с вершинами $A(15; 10; 30)$, $B(25; 30; 10)$, $C(30; 20; 15)$, координаты в миллиметрах. Найти: горизонтальный след $h_0$ и фронтальный след $f_0$ плоскости, построить их на эпюре и найти точку схода на оси $x$.

След плоскости - прямая, по которой плоскость пересекает плоскость проекций, и строится он по двум точкам. Эти точки уже есть на чертеже: ими служат следы сторон треугольника. Ответ: $h_0$ проходит через $(90; 0; 0)$ и $(0; 60; 0)$, $f_0$ проходит через $(90; 0; 0)$ и $(0; 0; 45)$, точка схода $P_x(90; 0; 0)$. Калькулятор сверху строит оба следа по любым трём точкам.

Решение по шагам

Шаг 1. Следы стороны AB. Сторона задана двумя точками, а значит, к ней применим обычный приём поиска следов прямой. Разности координат: $\Delta x = 10$, $\Delta y = 20$, $\Delta z = -20$, откуда параметрическая запись

$$x = 15 + 10t, \qquad y = 10 + 20t, \qquad z = 30 - 20t.$$

Горизонтальный след стороны получается из условия $z = 0$: $30 - 20t = 0$, значит $t = 1{,}5$ и $M_1(30; 40; 0)$. Фронтальный след - из условия $y = 0$: $10 + 20t = 0$, значит $t = -0{,}5$ и $N_1(10; 0; 40)$.

Шаг 2. Следы стороны BC. Здесь $\Delta x = 5$, $\Delta y = -10$, $\Delta z = 5$, отсчёт ведём от точки $B$:

$$x = 25 + 5t, \qquad y = 30 - 10t, \qquad z = 10 + 5t.$$

Из $z = 0$ получаем $t = -2$ и $M_2(15; 50; 0)$. Из $y = 0$ получаем $t = 3$ и $N_2(40; 0; 25)$. Оба параметра вышли за отрезок, поэтому на чертеже стороны придётся продлевать: это нормально и почти всегда так и бывает.

Шаг 3. Проводим следы плоскости. Точки $M_1$ и $M_2$ лежат и в плоскости треугольника, и в плоскости $H$, то есть обе принадлежат горизонтальному следу. Прямая через них и есть $h_0$. Точно так же $N_1$ и $N_2$ задают фронтальный след $f_0$.

Продолжим $h_0$ до оси $x$. От $M_1(30; 40)$ до $M_2(15; 50)$ ордината растёт на $10$ мм при уменьшении абсциссы на $15$ мм, то есть на каждые $3$ мм вдоль оси приходится $2$ мм глубины. Чтобы погасить $40$ мм глубины точки $M_1$, надо пройти $60$ мм в сторону увеличения $x$: след выходит на ось в точке $x = 90$. Аналогично для $f_0$: от $N_1(10; 40)$ до $N_2(40; 25)$ высота падает на $15$ мм за $30$ мм вдоль оси, значит оставшиеся $25$ мм высоты точки $N_2$ погаснут ещё через $50$ мм, и след выйдет на ось тоже при $x = 90$.

Шаг 4. Точка схода. Обе прямые встретили ось $x$ в одной точке $P_x(90; 0; 0)$. Это не совпадение, а обязательное свойство: точка схода принадлежит и плоскости, и оси $x$, то есть лежит сразу в $H$ и в $V$, поэтому обязана попасть на оба следа. Если при построении следы пересекли ось в разных точках, где-то ошибка.

Шаг 5. Построение на эпюре. Наносим проекции вершин по правилам построения проекций точки и соединяем их: в поле $V$ получается треугольник $A''B''C''$, в поле $H$ - треугольник $A'B'C'$. Дальше работаем со стороной $AB$: продлеваем её фронтальную проекцию $A''B''$ до оси $x$ и получаем точку $M_1''$ при $x = 30$, опускаем линию связи вниз до продолжения $A'B'$ и получаем $M_1'(30; 40)$. Это и есть сам след $M_1$, потому что точка лежит в плоскости $H$.

Фронтальный след той же стороны строится зеркально: продлеваем горизонтальную проекцию $A'B'$ до оси и получаем $N_1'$ при $x = 10$, поднимаем линию связи до продолжения $A''B''$ и получаем $N_1''(10; 40)$. Повторяем для стороны $BC$ и получаем $M_2'(15; 50)$ и $N_2''(40; 25)$. Остаётся провести прямую через $M_1'$ и $M_2'$ в поле $H$ и прямую через $N_1''$ и $N_2''$ в поле $V$.

Шаг 6. Проверка по третьей стороне. Сторона $CA$ не нужна для построения, зато она даёт контроль. Её разности: $\Delta x = -15$, $\Delta y = -10$, $\Delta z = 15$ при отсчёте от $C$. Из $z = 0$ выходит $t = -1$ и $M_3(45; 30; 0)$, из $y = 0$ выходит $t = 2$ и $N_3(0; 0; 45)$.

Точка $M_3$ обязана лечь на уже проведённую прямую $h_0$, и она ложится: при $x = 45$ ордината следа равна $40 - \tfrac{2}{3}\cdot 15 = 30$. Точка $N_3$ ложится на $f_0$: при $x = 0$ высота равна $40 + \tfrac{1}{2}\cdot 10 = 45$. Три точки на одной прямой - надёжный признак, что арифметика сошлась.

Ответ. Горизонтальный след $h_0$ проходит через точки $(90; 0; 0)$ и $(0; 60; 0)$, фронтальный след $f_0$ - через $(90; 0; 0)$ и $(0; 0; 45)$. Точка схода $P_x(90; 0; 0)$. Наклон $h_0$ к оси $x$ составляет $33{,}7^\circ$, наклон $f_0$ - $26{,}6^\circ$.

Формула и откуда она берётся

Графическое решение повторяет одну алгебраическую подстановку. Составим уравнение плоскости по трём точкам через векторное произведение сторон: $\overrightarrow{AB} = (10; 20; -20)$, $\overrightarrow{AC} = (15; 10; -15)$, их произведение равно $(-100; -150; -200)$, что после сокращения на $-50$ даёт нормаль $(2; 3; 4)$. Свободный член находим подстановкой точки $A$:

$$2x + 3y + 4z = 2\cdot 15 + 3\cdot 10 + 4\cdot 30 = 180.$$

Теперь следы получаются мгновенно, потому что каждая плоскость проекций задаётся нулём одной координаты:

$$\begin{aligned} h_0:&\quad z = 0 \;\Rightarrow\; 2x + 3y = 180, \\ f_0:&\quad y = 0 \;\Rightarrow\; 2x + 4z = 180, \\ p_0:&\quad x = 0 \;\Rightarrow\; 3y + 4z = 180. \end{aligned}$$

Отсюда сразу видны отрезки, отсекаемые плоскостью на осях: $x = 90$, $y = 60$, $z = 45$. Первое число и есть абсцисса точки схода, а два других - те самые вторые точки следов. Именно эти числа мы получили построением, только там они выходили из подобия треугольников, а здесь из одной формулы.

Угол наклона каждого следа к оси $x$ тоже читается из уравнения. Тангенс угла для $h_0$ равен отношению отрезков $60/90$, откуда $33{,}7^\circ$; для $f_0$ отношение $45/90$ даёт $26{,}6^\circ$. Профильный след пригодится редко, но он строится по тому же правилу и проходит через $(0; 60; 0)$ и $(0; 0; 45)$.

Почему хватает двух точек? Плоскости $H$ и $\alpha$ пересекаются по прямой, а прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками. Следы сторон треугольника лежат в обеих плоскостях сразу, поэтому годятся без всяких дополнительных построений. Третья сторона даёт третью точку той же прямой и работает контролем.

Следы плоскостей частного положения

Если плоскость занимает частное положение, какой-то коэффициент нормали обращается в нуль и картина следов меняется. Нажми на чипы калькулятора, чтобы увидеть все три случая на чертеже.

Горизонтально проецирующая плоскость перпендикулярна $H$, у её нормали $n_3 = 0$. Подстановка $y = 0$ даёт уравнение вида $x = \text{const}$, то есть фронтальный след перпендикулярен оси $x$. Горизонтальный при этом остаётся наклонной прямой и вбирает в себя горизонтальные проекции всех точек плоскости - на нём лежит и проекция треугольника, вырожденная в отрезок.

Фронтально проецирующая плоскость устроена зеркально: $n_2 = 0$, горизонтальный след перпендикулярен оси $x$, а фронтальная проекция фигуры вырождается в отрезок, лежащий на фронтальном следе. Такие плоскости удобны как посредники, например при определении двугранного угла между плоскостями.

У плоскости уровня нормаль направлена по одной из осей. Горизонтальная плоскость $z = 25$ параллельна $H$, поэтому горизонтального следа у неё нет вовсе, а фронтальный идёт параллельно оси $x$ на высоте $25$ мм. У фронтальной плоскости уровня $y = \text{const}$ картина обратная. Отдельный случай - плоскость, параллельная оси $x$: точки схода нет, оба следа параллельны оси и встретились бы только в бесконечности.

Когда следы уже построены, в плоскости легко провести прямую или найти точку пересечения плоскости с прямой: следы служат готовым каркасом, к которому привязывают горизонтали и фронтали плоскости.

Частые ошибки

• Продлевают не ту проекцию. Чтобы получить горизонтальный след стороны, до оси $x$ продлевают её фронтальную проекцию: ищем нулевую высоту, а высоту показывает поле $V$. Для фронтального следа продлевают горизонтальную проекцию.
• Проводят след через одну точку и ось. Прямую $h_0$ строят по двум найденным следам сторон, а совпадение с осью в точке $P_x$ используют как проверку. Если сразу соединить одну точку $M$ с наугад взятой точкой оси, ошибка не вылезет.
• Забывают продлить стороны. У треугольника $ABC$ все три следа лежат вне отрезков: параметры вышли $1{,}5$, $-2$, $-1$ и $-0{,}5$, $3$, $2$. Проекции надо продлевать в обе стороны, а не искать пересечения внутри фигуры.
• Путают следы плоскости со следами прямой. След прямой - точка, след плоскости - прямая. Точки $M_1$ и $M_2$ это следы сторон, а не плоскости, сама плоскость оставляет след $h_0$.
• Теряют знак у разностей координат. Если записать $\Delta z = 20$ вместо $-20$ у стороны $AB$, параметр станет $-1{,}5$, и «след» окажется в точке $(0; -20; 0)$, которой на прямой нет.
• Не проверяют точку схода. Расхождение $h_0$ и $f_0$ на оси $x$ на пару миллиметров означает не погрешность чертежа, а ошибку в одном из следов стороны.

FAQ

Что такое след плоскости? Это линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. Горизонтальный след $h_0$ лежит в плоскости $H$, фронтальный $f_0$ в плоскости $V$, профильный $p_0$ в плоскости $W$. На эпюре вторая проекция каждого следа совпадает с осью $x$, поэтому её отдельно не подписывают.

Сколько точек нужно, чтобы провести след? Две. Обычно берут следы двух сторон фигуры, лежащей в плоскости. Третьей точкой можно считать точку схода $P_x$, но её лучше оставить для проверки, а не использовать при построении.

Всегда ли следы пересекаются на оси x? У плоскости общего положения и у проецирующих плоскостей - да. Исключение составляют плоскости, параллельные оси $x$: у них оба следа параллельны оси, и точки схода на чертеже нет. У плоскостей уровня один из следов просто отсутствует.

Как найти следы, если плоскость задана прямой и точкой или двумя параллельными прямыми? Так же. Через заданные элементы проводят любые две прямые плоскости, находят их следы и соединяют одноимённые. Если плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, удобнее всего брать следы именно этих прямых. Тот же приём лежит в основе метода следов при поиске линии пересечения двух плоскостей.

Коротко

1. Найди следы двух сторон треугольника: для $AB$ это $M_1(30; 40; 0)$ и $N_1(10; 0; 40)$, для $BC$ это $M_2(15; 50; 0)$ и $N_2(40; 0; 25)$.
2. Проведи $h_0$ через обе точки $M$ в поле $H$, а $f_0$ через обе точки $N$ в поле $V$.
3. Продли оба следа до оси $x$: они обязаны сойтись в точке схода, здесь $P_x(90; 0; 0)$.
4. Проверь построение третьей стороной: $M_3(45; 30; 0)$ ложится на $h_0$, $N_3(0; 0; 45)$ ложится на $f_0$.
5. Тот же ответ даёт уравнение плоскости $2x + 3y + 4z = 180$: отрезки на осях $90$, $60$ и $45$ мм задают оба следа полностью.