Как найти пересечение прямой и плоскости на эпюре

Дано: плоскость задана треугольником $ABC$ с вершинами $A(10; 30; 15)$, $B(55; 45; 50)$, $C(45; 75; 20)$; прямая $EF$ проходит через точки $E(35; 35; 10)$ и $F(55; 75; 70)$. Найти: точку встречи прямой с плоскостью и определить видимость прямой на эпюре.

Прямая общего положения пересекает такую плоскость ровно в одной точке, но на чертеже эта точка ничем не отмечена. Приём всегда один: прямую заключают в проецирующую плоскость-посредник, строят линию пересечения посредника с заданной плоскостью и пересекают её с самой прямой. Ответ: $K(43; 51; 34)$, участок прямой от $E$ до точки встречи на обеих проекциях закрыт треугольником. Калькулятор сверху повторяет построение для любых координат и сам штрихует невидимые участки.

Решение по шагам

Шаг 1. Раскладываем данные по проекциям. На виде сверху точка хранит пару $(x; y)$, на виде спереди - пару $(x; z)$; абсцисса у обеих проекций общая, поэтому они стоят на одной линии связи. Если этот переход пока не автоматический, начните с разбора о том, как построить проекции точки.

Шаг 2. Заключаем прямую в плоскость-посредник. Через $EF$ проводим горизонтально проецирующую плоскость $\sigma$, перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций. Её горизонтальная проекция вырождена в прямую, и эта прямая совпадает с $E'F'$. Чертить ничего не нужно: посредник уже есть на эпюре, надо лишь читать $E'F'$ как проекцию целой плоскости.

Шаг 3. Находим линию пересечения посредника с плоскостью треугольника. На виде сверху $\sigma'$ пересекает контур треугольника в двух точках: сторону $A'B'$ в точке $1'(37; 39)$ и сторону $B'C'$ в точке $2'(49; 63)$. Каждая из них лежит на стороне треугольника, то есть в плоскости $ABC$, и одновременно в $\sigma$. Прямая через точки $1$ и $2$ и есть линия пересечения двух плоскостей.

Шаг 4. Поднимаем точки 1 и 2 на фронтальную проекцию. Из $1'$ проводим линию связи вверх до стороны $A''B''$ и получаем $1''(37; 36)$, из $2'$ - до $B''C''$, это $2''(49; 32)$. Числовой контроль: точка $1$ делит $AB$ в отношении $3:2$, поэтому $z_1 = 15 + 0{,}6\,(50 - 15) = 36$; точка $2$ делит $BC$ в том же отношении, и $z_2 = 50 + 0{,}6\,(20 - 50) = 32$. В пространстве это $1(37; 39; 36)$ и $2(49; 63; 32)$.

Шаг 5. Строим фронтальную проекцию точки встречи. Прямые $1''2''$ и $E''F''$ лежат в одной плоскости $\sigma$, поэтому их пересечение и даёт искомую точку. Запишем обе как функции абсциссы:

$$E''F'': \; z = 3x - 95, \qquad 1''2'': \; z = 36 - \frac{x - 37}{3}.$$

Приравниваем: $3x - 95 = 36 - \dfrac{x - 37}{3}$, откуда $9x - 285 = 145 - x$, то есть $x = 43$ и $z = 3 \cdot 43 - 95 = 34$. Получилась проекция $K''(43; 34)$.

Шаг 6. Возвращаем точку на горизонтальную проекцию. Линия связи из $K''$ вниз пересекает $E'F'$ в точке $K'$. Горизонтальная проекция прямой описывается уравнением $y = 2x - 35$, при $x = 43$ выходит $y = 51$. Ответ: точка встречи $K(43; 51; 34)$.

Шаг 7. Проверяем принадлежность. Уравнение плоскости треугольника - $3x - 2y - 3z = -75$ (вывод ниже). Подставляем найденные координаты: $3 \cdot 43 - 2 \cdot 51 - 3 \cdot 34 = 129 - 102 - 102 = -75$. Равенство выполняется, значит точка лежит в плоскости, а не рядом с ней.

Плоскость-посредник: почему построение работает

Задача «прямая и плоскость» сводится к задаче «две плоскости» одним ходом. Прямая лежит в бесконечном множестве плоскостей, и среди них есть проецирующие. У такой плоскости одна проекция вырождена в линию, поэтому её пересечение с любой другой плоскостью читается на чертеже даром.

Дальше работает элементарное рассуждение. Линия $1$–$2$ лежит и в посреднике $\sigma$, и в плоскости $ABC$; прямая $EF$ тоже лежит в $\sigma$. Две прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны, и если они пересеклись, общая точка принадлежит и $EF$, и плоскости $ABC$. Это и есть точка встречи.

Отсюда понятно, зачем нужна вторая проекция: на виде сверху линия $1'2'$ совпадает с $E'F'$, ведь обе лежат в вырожденной проекции посредника. Точку строят там, где посредник не вырожден, а обратно переносят линией связи. Тем же приёмом ищут линию пересечения двух плоскостей: там посредников берут два, и каждый даёт по точке искомой прямой.

Видимость прямой: конкурирующие точки

Точка встречи делит прямую на две части: одна проходит перед плоскостью или над ней, другая за ней. Там, где проекция прямой накладывается на проекцию треугольника, одну из частей не видно, и её обводят штриховой линией. Решает вопрос пара конкурирующих точек, то есть двух точек пространства, слившихся на одной проекции.

На виде сверху проекция прямой пересекает сторону $A'B'$ в точке $(37; 39)$. Здесь конкурируют точка $1$ стороны треугольника с высотой $z_1 = 36$ и точка прямой с той же проекцией и высотой $z = 3 \cdot 37 - 95 = 16$. Прямая ниже, поэтому она закрыта треугольником, и участок от входа в контур до $K'$ обводят штриховой линией. За точкой встречи картина обратная: у второго пересечения $(49; 63)$ у прямой $z = 52$ против $z_2 = 32$ у стороны $BC$, то есть она проходит над плоскостью и видна.

На виде спереди сравнивают глубину $y$: чем она больше, тем ближе точка к наблюдателю. Проекция прямой пересекает сторону $A''C''$ в точке $(38; 19)$, где конкурируют точка $(38; 66; 19)$ стороны $AC$ и точка прямой с $y = 2 \cdot 38 - 35 = 41$. Прямая дальше от наблюдателя, поэтому участок до $K''$ невидим; за точкой встречи она выходит вперёд и снова становится сплошной. Тот же способ различает пересекающиеся и скрещивающиеся прямые.

Здесь обе невидимые части легли по одну сторону от точки встречи, но это не правило: знак зависит от наклона плоскости, поэтому каждую проекцию разбирают отдельно своей парой конкурирующих точек.

Проверка расчётом: уравнение плоскости и параметрические уравнения

Построение полезно подкрепить арифметикой: она ловит ошибку в один шаг. Нормаль плоскости даёт векторное произведение сторон: $\vec{AB} = (45; 15; 35)$, $\vec{AC} = (35; 45; 5)$, их произведение равно $(-1500; 1000; 1500)$ и после сокращения на $-500$ превращается в $\vec{n} = (3; -2; -3)$. Свободный член находят подстановкой вершины $A$; подробнее выкладка разобрана в задаче про то, как составить уравнение плоскости.

Прямую записывают параметрически через направляющий вектор $\vec{s} = F - E = (20; 40; 60)$:

$$\begin{aligned} x &= 35 + 20u, \\ y &= 35 + 40u, \\ z &= 10 + 60u. \end{aligned}$$

Подстановка в уравнение плоскости сворачивает всё до линейного уравнения относительно $u$:

$$3(35 + 20u) - 2(35 + 40u) - 3(10 + 60u) = -75 \; \Longrightarrow \; 80 - 200u = 0 \; \Longrightarrow \; u = 0{,}4.$$

Параметр попал в промежуток от нуля до единицы, значит точка встречи лежит внутри отрезка $EF$, а не на продолжении. Подстановка $u = 0{,}4$ даёт $K(43; 51; 34)$ - тот же ответ, что и на чертеже. Заодно виден критерий параллельности: коэффициент при $u$ равен скалярному произведению $\vec{n} \cdot \vec{s} = -200$, и если бы он обратился в ноль, точки встречи не было бы вовсе. Насколько круто прямая входит в плоскость, показывает угол между прямой и плоскостью: здесь он равен $34{,}7^\circ$.

Второй посредник и особые случаи

Посредник можно взять и фронтально проецирующий: тогда с $E''F''$ совпадает проекция $\sigma''$, а строить придётся на виде сверху. Такая плоскость пересекает контур в точках $3(38; 66; 19)$ на стороне $AC$ и $4(46; 42; 43)$ на стороне $AB$; их горизонтальные проекции задают прямую $y = 42 - 3\,(x - 46)$, которая пересекает $E'F'$ при $x = 43$, то есть в точке $K'(43; 51)$. Ответ совпал - это лучшая проверка построения, и переключатель в калькуляторе показывает оба варианта на одном эпюре. Выбирают обычно тот посредник, у которого линия $1$–$2$ пересекает проекцию прямой под большим углом: точка получается чёткой, а не размазанной вдоль почти совпавших линий.

Особых случаев три. Если прямая параллельна плоскости, линия посредника выходит параллельной проекции прямой и точки встречи нет. Если прямая лежит в плоскости, линия посредника с ней сливается: тогда проверяют две точки прямой на принадлежность плоскости приёмом из разбора про то, как провести прямую в плоскости. Если же сама плоскость проецирующая, посредник не нужен: её вырожденная проекция сразу пересекает одноимённую проекцию прямой в точке встречи.

Найденную точку часто требуют показать ещё и наглядно - тогда по тем же координатам с эпюра строят аксонометрическую проекцию, где прямая и плоскость видны одним изображением.

Частые ошибки

• Ищут точку встречи на виде сверху. При горизонтально проецирующем посреднике $1'2'$ совпадает с $E'F'$, и пересекать там нечего: точку строят на противоположной проекции, а назад возвращают линией связи.
• Берут точки 1 и 2 не на сторонах треугольника. Только точка стороны гарантированно принадлежит плоскости; попадание на продолжение стороны означает, что точка встречи выйдет за контур фигуры.
• Поднимают точку не на свою сторону. Если $1'$ взята на $A'B'$, то $1''$ ищут строго на $A''B''$: линия связи обязана упереться в проекцию той же самой стороны.
• Соединяют проекции из разных видов. Прямую $1''2''$ строят по точкам $1''$ и $2''$, а не по $1'$ и $2''$: каждая проекция собирается из проекций одного имени.
• Определяют видимость одной парой на обе проекции. Вид сверху решается сравнением высот $z$, вид спереди - глубин $y$. Это разные пары конкурирующих точек, и совпадение выводов не гарантировано.
• Считают задачу решённой без видимости. Если по условию нужен чертёж, невидимые участки обязаны быть штриховыми: без них работу возвращают, даже когда координаты найдены верно.

FAQ

Чем горизонтально проецирующий посредник отличается от фронтально проецирующего? Только тем, какая проекция у него вырождена: у первого вид сверху, у второго вид спереди. Построение точки идёт на противоположной проекции. Ответ обязан совпасть, поэтому второй посредник удобен как проверка.

Что делать, если линия 1-2 не пересекает проекцию прямой? Значит прямая параллельна плоскости и общей точки нет. Проверяется это одной строкой: скалярное произведение нормали плоскости и направляющего вектора прямой равно нулю. Если при этом точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости, прямая не параллельна, а лежит в плоскости.

Точка встречи вышла за контур треугольника. Это ошибка? Нет. Треугольник задаёт бесконечную плоскость, и её приходится мысленно продлить, а точки посредника ложатся на продолжения сторон. Видимость в этом случае не определяют: за контуром прямую ничто не закрывает.

Нужна ли третья проекция? В общем случае нет: двух видов хватает и для точки, и для видимости. Профильная проекция нужна, когда прямая или сторона треугольника профильная: на виде сверху и спереди такие элементы вырождаются, и построение перестаёт работать.

Коротко

1. Заключить прямую в проецирующую плоскость-посредник: её вырожденная проекция совпадает с одноимённой проекцией прямой.
2. Отметить точки $1$ и $2$ там, где проекция посредника пересекает контур треугольника, и перенести их линиями связи на вторую проекцию.
3. Пересечь прямую $1''2''$ с проекцией $E''F''$ - это проекция точки встречи; вторую её проекцию получить линией связи.
4. Проверить ответ подстановкой в уравнение плоскости или параметрически: $80 - 200u = 0$, $u = 0{,}4$, значит $K(43; 51; 34)$ лежит внутри отрезка $EF$.
5. Определить видимость конкурирующими точками отдельно для каждой проекции: на виде сверху выше находится точка с большей высотой $z$, на виде спереди ближе та, у которой больше глубина $y$.