Как построить развёртку цилиндра: чертёж и расчёт

Дано: прямой круговой цилиндр, диаметр $d = 40$ мм, высота по оси $h = 60$ мм, цилиндр срезан плоскостью под углом $\alpha = 45^\circ$ к основанию. Найти: развёртку боковой поверхности, то есть размеры прямоугольника и натуральные длины двенадцати образующих.

Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник шириной $\pi d$, а косой срез превращает его верхнюю сторону в синусоиду. Ответ: ширина развёртки $125{,}66$ мм; у прямого цилиндра высота развёртки $60$ мм, после среза образующие меняются от $40$ до $80$ мм по закону $z = 60 + 20\cos\theta$; площадь боковой поверхности $\approx 7540$ мм². Калькулятор сверху перестраивает оба чертежа под любые размеры, а ниже те же числа получены вручную.

Решение по шагам

Шаг 1. Разворачиваем основание в отрезок. При разворачивании поверхность сгибают, но не растягивают, поэтому окружность основания превращается в прямую того же размера. Её длина и задаёт ширину развёртки:

$$W = \pi d = \pi \cdot 40 \approx 125{,}66 \text{ мм}.$$

Это единственный размер, который переносится с горизонтальной проекции. Высота развёртки берётся с фронтальной: у прямого цилиндра все образующие равны $h = 60$ мм, и развёртка на этом заканчивается - прямоугольник $125{,}66 \times 60$ мм.

Шаг 2. Делим основание на двенадцать частей. На плане окружность делят через $30^\circ$ и нумеруют точки от нуля до двенадцати, начиная с той образующей, которая после среза окажется самой длинной. Те же двенадцать точек откладывают на нижней стороне развёртки равными отрезками:

$$\Delta = \frac{W}{12} = \frac{125{,}66}{12} \approx 10{,}47 \text{ мм}.$$

Через каждую точку проводят вертикаль - это и есть образующая, вдоль которой дальше отложится её натуральная длина. Двенадцать делений берут не по традиции: именно столько частей даёт транспортир или циркуль без лишних построений, а кривая по тринадцати точкам уже читается как плавная.

Шаг 3. Снимаем натуральные длины образующих. Все образующие параллельны плоскости проекций $V$, поэтому на фронтальной проекции они изображаются в истинную величину - измерять их можно прямо линейкой по чертежу. Точка деления с угловой координатой $\theta$ стоит на фронтальной проекции в положении $x = R\cos\theta$, а линия среза проходит там по прямой $z = h + x\,\operatorname{tg}\alpha$. Отсюда рабочая формула:

$$z(\theta) = h + \frac{d}{2}\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\theta = 60 + 20\cos\theta \text{ мм}.$$

Амплитуда $A = R\operatorname{tg}\alpha = 20 \cdot \operatorname{tg}45^\circ = 20$ мм, значит образующие меняются от $60 - 20 = 40$ мм до $60 + 20 = 80$ мм. Считаем ординаты по всем точкам деления:

Вторая половина таблицы повторяет первую зеркально - это прямое следствие того, что секущая плоскость перпендикулярна плоскости $V$ и делит цилиндр симметрично.

Шаг 4. Строим верхнюю границу. На каждой вертикали развёртки откладываем от нижней стороны свою ординату и получаем тринадцать точек. Соединять их нужно лекалом, а не по линейке: верхняя граница развёртки - плавная кривая без изломов, и ломаная по хордам здесь считается ошибкой построения. Крайние точки $0$ и $12$ лежат на одной высоте $80$ мм, потому что это одна и та же образующая, разрезанная при разворачивании.

Шаг 5. Проверяем построение. Три независимых контроля должны сойтись. Первый: полусумма крайних образующих равна высоте оси, $(40 + 80)/2 = 60$ мм. Второй: средняя линия синусоиды проходит на той же высоте $60$ мм, поэтому площадь боковой поверхности равна площади прямоугольника по средней образующей:

$$S_{\text{бок}} = \pi d \cdot h = 125{,}66 \cdot 60 \approx 7540 \text{ мм}^2.$$

Третий контроль - сумма ординат: у двенадцати образующих (точку $12$ не считаем, она совпадает с нулевой) она равна $720$ мм, то есть ровно $12h$. Если сумма отличается, потеряна или перепутана одна из высот.

Ответ: развёртка это прямоугольник шириной $125{,}66$ мм, у прямого цилиндра высотой $60$ мм; после среза под $45^\circ$ верхняя граница - синусоида с ординатами от $40$ до $80$ мм по закону $z = 60 + 20\cos\theta$, шаг между образующими $10{,}47$ мм, площадь боковой поверхности $\approx 7540$ мм².

Формула и откуда она берётся

Формулу удобнее записать не через угол $\theta$, а через саму координату на развёртке. Длина дуги от нулевой образующей до точки с угловой координатой равна $s = R\theta$, поэтому $\theta = s/R = 2\pi s / W$, и высота границы принимает вид

$$z(s) = h + A\cos\frac{2\pi s}{W}, \qquad A = R\operatorname{tg}\alpha .$$

Это косинусоида, у которой период в точности равен ширине развёртки. Отсюда и стандартная фраза учебника: линия среза цилиндра разворачивается в одну полную волну синусоиды. Волна ровно одна, потому что обход основания и есть один период; если бы точек среза было две, получились бы две волны, но плоскость пересекает каждую образующую только однажды.

Работает всё это потому, что цилиндр развёртывается точно: поверхность линейчатая, и любые две соседние образующие параллельны, то есть лежат в одной плоскости. Тем же свойством обладают конус и призма, и схема разбора у них та же, что здесь, хотя чертёж другой: у конуса получается сектор, у многогранника - цепочка плоских фигур. Сравнить полезно с задачами про развёртку конуса и развёртку пирамиды. А вот сфера развёртки не имеет вовсе, её раскраивают приближённо лепестками.

Второе следствие формулы полезно помнить для контроля: раз косинус за период в среднем даёт нуль, средняя высота развёртки равна $h$ при любом угле среза. Значит площадь боковой поверхности усечённого цилиндра считается по средней образующей и от наклона плоскости не зависит вовсе. Сам срез при этом даёт эллипс с полуосями $R$ и $R/\cos\alpha$: при $\alpha = 45^\circ$ это $20$ и $28{,}28$ мм, площадь эллипса $\approx 1777$ мм². Полная поверхность тела складывается из боковой, круга основания и этого эллипса: $7540 + 1257 + 1777 \approx 10\,574$ мм².

Разметка по хордам и точность построения

На чертеже ширину развёртки часто не вычисляют, а набирают циркулем: берут в раствор хорду одного деления с плана и откладывают её нужное число раз. Способ быстрый, но систематически занижает длину, потому что хорда короче стягиваемой дуги:

$$c = 2R\sin\frac{180^\circ}{n} = 40\sin 15^\circ \approx 10{,}35 \text{ мм}.$$

При двенадцати делениях недобор составляет полтора миллиметра на всю развёртку - на формате А4 это заметно, поэтому ширину правильнее отложить расчётом, а хорды использовать только для разметки точек внутри уже готового отрезка. В калькуляторе сверху переключатель числа делений показывает, как быстро падает эта погрешность.

Другие варианты условия

Если вместо угла даны крайние образующие, угол достают из них: $\operatorname{tg}\alpha = (h_{\max} - h_{\min})/d$. Для цилиндра диаметром $60$ мм с образующими $30$ и $70$ мм получается $\operatorname{tg}\alpha = 40/60$, то есть $\alpha \approx 33{,}69^\circ$, а высота оси равна полусумме, $50$ мм - дальше всё считается по той же формуле.

Наклонный цилиндр так развернуть нельзя: его образующие не перпендикулярны основанию, и вместо окружности в прямую разворачивается нормальное сечение, построенное перпендикулярно образующим. Натуральную величину этого сечения сначала находят заменой плоскостей проекций, а для этого нужно уверенно строить три проекции точки по координатам.

Отдельный случай - трубный отвод, он же колено. Каждое звено это цилиндр, срезанный с двух сторон, и на развёртке получаются две синусоиды; звенья раскраивают из одной полосы, разворачивая соседние на $180^\circ$ так, чтобы гребень одного входил во впадину другого. Если же цилиндр срезан не плоскостью, а другой поверхностью, задача усложняется на один шаг: сначала строят линию пересечения тел вспомогательными плоскостями, как в разборе линии пересечения цилиндра и конуса, и только потом переносят её точки на развёртку. Наглядный чертёж тела рядом с развёрткой оформляют по правилам аксонометрической проекции.

Частые ошибки

• Берут ширину развёртки как $2\pi d$ или $\pi R$. Правильно $\pi d = 2\pi R$: при $d = 40$ мм это $125{,}66$ мм, а не $251{,}3$ и не $62{,}8$.
• Откладывают высоту наклонной длины среза. Линия среза на развёртке длиннее, чем на фронтальной проекции, но ординаты образующих остаются вертикальными отрезками и измеряются по вертикали.
• Путают высоту оси с наибольшей образующей. В площади $\pi d\,h$ стоит именно средняя высота $60$ мм; подстановка $80$ мм завышает результат на треть.
• Соединяют точки отрезками. Верхняя граница - лекальная кривая; ломаная по тринадцати точкам даёт видимые изломы и занижает площадь раскроя.
• Начинают деление с произвольной образующей. Нумерацию ведут от крайней, самой длинной или самой короткой: иначе симметрия таблицы теряется и ошибку в ординатах уже не видно.
• Пристраивают к развёртке два круга. Нижнее основание круг радиуса $20$ мм, а верхнее - эллипс с полуосями $20$ и $28{,}28$ мм; круг вместо эллипса не закроет срез.

FAQ

Почему линия среза разворачивается именно в синусоиду? Потому что высота образующей линейно зависит от её положения вдоль диаметра, $z = h + x\operatorname{tg}\alpha$, а само положение $x = R\cos\theta$ меняется по косинусу при обходе окружности. Подстановка одного в другое и даёт косинусоиду с периодом, равным длине окружности.

Сколько точек брать для построения? Двенадцать - стандарт учебных чертежей, этого хватает для плавной кривой. Для крупных раскроев берут двадцать четыре и обязательно добавляют точки экстремумов: наибольшая и наименьшая образующие должны попасть в число построенных, иначе лекало срежет вершину волны.

Нужно ли учитывать толщину стенки трубы? В задачах по начертательной геометрии нет, там поверхность считается бесконечно тонкой. В жестяных работах развёртку ведут по среднему диаметру, то есть по нейтральному слою металла, иначе после вальцовки шов не сойдётся.

Где разрезать поверхность при разворачивании? Обычно по наименьшей образующей: тогда обе крайние вертикали развёртки самые короткие, кривая начинается и заканчивается во впадине, а шов приходится на короткую линию. В нашей задаче разрез сделан по наибольшей образующей, чтобы волна читалась целиком; на итоговые размеры выбор не влияет.

Коротко

1. Ширина развёртки равна длине окружности основания: $W = \pi d = \pi \cdot 40 \approx 125{,}66$ мм.
2. Делим основание на 12 частей и переносим точки на развёртку с шагом $10{,}47$ мм.
3. Снимаем натуральные длины образующих с фронтальной проекции: $z = h + R\operatorname{tg}\alpha\cos\theta = 60 + 20\cos\theta$, то есть от $40$ до $80$ мм.
4. Соединяем точки лекальной кривой - одной полной волной синусоиды.
5. Проверяем: полусумма крайних образующих равна $60$ мм, площадь боковой поверхности $\pi d\,h \approx 7540$ мм².