Как построить развёртку пирамиды: пошаговое решение

Дано: треугольная пирамида $SABC$, вершины $A(10;\,10;\,0)$, $B(58;\,74;\,0)$, $C(78;\,10;\,0)$, $S(58;\,46;\,45)$, размеры в мм. Найти: натуральные величины рёбер, плоские углы при вершине $S$ и развёртку полной поверхности.

Развёртку пирамиды строят в два хода: сначала находят истинные длины рёбер, затем собирают грани как треугольники по трём сторонам. Ответ: боковые рёбра $SA = 75$ мм, $SB = 53$ мм, $SC = 61$ мм, стороны основания $AB = 80$ мм, $BC \approx 67{,}05$ мм, $CA = 68$ мм; плоские углы при $S$ равны $75{,}18^\circ$, $71{,}67^\circ$ и $58{,}93^\circ$, их сумма $205{,}77^\circ$. Калькулятор сверху перестраивает оба чертежа под любые координаты, а ниже те же числа получены вручную.

Решение по шагам

Шаг 1. Стороны основания. У всех трёх точек основания $z = 0$, значит треугольник $ABC$ лежит в горизонтальной плоскости проекций $H$. Его горизонтальная проекция совпадает с ним самим, и длины сторон снимаются с плана без дополнительных построений:

$$\begin{aligned} AB &= \sqrt{48^2 + 64^2} = \sqrt{6400} = 80 \text{ мм},\\ BC &= \sqrt{20^2 + 64^2} = \sqrt{4496} \approx 67{,}05 \text{ мм},\\ CA &= \sqrt{68^2 + 0^2} = 68 \text{ мм}. \end{aligned}$$

Шаг 2. Натуральные величины боковых рёбер. Боковые рёбра наклонены к обеим плоскостям проекций, и ни одна проекция не показывает их истинную длину. Применяем способ прямоугольного треугольника: первый катет равен длине горизонтальной проекции ребра, второй катет равен разности высот его концов, а гипотенуза даёт натуральную величину. Разность высот у всех трёх рёбер одна и та же, $\Delta z = 45$ мм, потому что основание горизонтально.

Для ребра $SA$ вычисление выглядит так:

$$SA = \sqrt{S_1A_1^{\,2} + \Delta z^2} = \sqrt{60^2 + 45^2} = \sqrt{3600 + 2025} = \sqrt{5625} = 75 \text{ мм}.$$

На чертеже все три треугольника удобно строить с общим вертикальным катетом $45$ мм: от его нижнего конца по горизонтали откладывают $60$, $28$ и $41{,}18$ мм, и три гипотенузы сразу дают все боковые рёбра. Именно так устроен правый график калькулятора.

Шаг 3. Плоские углы при вершине. Строить развёртку можно одним циркулем, но углы нужны для контроля. Каждый считается по теореме косинусов в своей грани:

$$\begin{aligned} \cos\angle ASB &= \frac{75^2 + 53^2 - 80^2}{2 \cdot 75 \cdot 53} = \frac{2034}{7950} \approx 0{,}2558, &\angle ASB &\approx 75{,}18^\circ,\\ \cos\angle BSC &= \frac{53^2 + 61^2 - 4496}{2 \cdot 53 \cdot 61} = \frac{2034}{6466} \approx 0{,}3146, &\angle BSC &\approx 71{,}67^\circ,\\ \cos\angle CSA &= \frac{61^2 + 75^2 - 68^2}{2 \cdot 61 \cdot 75} = \frac{4722}{9150} \approx 0{,}5161, &\angle CSA &\approx 58{,}93^\circ. \end{aligned}$$

Сумма $205{,}77^\circ$ меньше $360^\circ$, как и должно быть у любой выпуклой вершины. Значит, веер боковых граней на развёртке замкнётся без нахлёста.

Шаг 4. Чертим развёртку. Ставим точку $S_0$ и откладываем луч $S_0A_0 = 75$ мм. Точку $B_0$ находим засечками: дуга из $S_0$ радиусом $SB = 53$ и дуга из $A_0$ радиусом $AB = 80$, их пересечение и есть $B_0$. Так же строим $C_0$ (радиусы $SC = 61$ из $S_0$ и $BC = 67{,}05$ из $B_0$) и $A_0'$ (радиусы $SA = 75$ из $S_0$ и $CA = 68$ из $C_0$).

Основание пристраиваем к любой из сторон $A_0B_0$, $B_0C_0$, $C_0A_0'$, обычно к средней. К отрезку $B_0C_0$ с внешней стороны прикладываем треугольник с вершиной $A_0''$, которую дают засечки $AB = 80$ из $B_0$ и $CA = 68$ из $C_0$. Отрезки $S_0B_0$, $S_0C_0$ и $B_0C_0$ станут линиями сгиба: на чертеже их проводят штрихпунктирной линией с двумя точками, в калькуляторе они показаны пунктиром.

Шаг 5. Проверяем и считаем площадь. Последний луч $S_0A_0'$ обязан получиться равным первому, $75$ мм, а угол $A_0S_0A_0'$ совпасть с суммой $205{,}77^\circ$. Площади граней считаются по формуле Герона или через высоты: у грани $SCA$ сторона $CA$ параллельна оси $x$, поэтому высота из $S$ равна $\sqrt{36^2 + 45^2} \approx 57{,}63$ мм, и площадь $0{,}5 \cdot 68 \cdot 57{,}63 \approx 1959$ мм².

$$S_{\text{бок}} \approx 1921{,}3 + 1534{,}4 + 1959{,}4 \approx 5415 \text{ мм}^2, \qquad S_{\text{осн}} = \tfrac{1}{2} \cdot 68 \cdot 64 = 2176 \text{ мм}^2.$$

Ответ: $SA = 75$, $SB = 53$, $SC = 61$, $AB = 80$, $BC \approx 67{,}05$, $CA = 68$ мм; углы при вершине $75{,}18^\circ + 71{,}67^\circ + 58{,}93^\circ = 205{,}77^\circ$; развёртка из трёх боковых граней и основания, площадь полной поверхности $\approx 7591$ мм².

Формула и откуда она берётся

Через ребро $SA$ проведём вертикальную плоскость. В ней лежат само ребро, его горизонтальная проекция и две вертикали, опущенные из концов ребра на $H$. В общем случае это прямоугольная трапеция. Горизонталь через нижний конец ребра отсекает от неё прямоугольный треугольник: один катет равен проекции, второй равен $\Delta z$, гипотенуза равна ребру. У нас точка $A$ лежит в самой плоскости $H$, поэтому трапеция сразу вырождается в этот треугольник. Отсюда общая формула длины отрезка по координатам:

$$L = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}.$$

Графический способ прямоугольного треугольника ровно это и делает, только на чертеже, без чисел. Подробный разбор с углами наклона и положением прямой есть в задаче про натуральную величину отрезка прямой, здесь нам нужна лишь сама длина.

Почему развёртку можно строить по трём сторонам? Каждая грань пирамиды плоская, а треугольник однозначно задаётся своими сторонами. Разворачивание не растягивает поверхность, поэтому на развёртке сохраняются длины всех рёбер, а вместе с ними и все углы граней. Как только известны шесть натуральных длин, развёртка определена полностью.

Сумма плоских углов при вершине всегда меньше $360^\circ$. Недостающие $154{,}23^\circ$ и есть тот зазор, который закрывается, когда развёртку сворачивают обратно в пирамиду. Чем выше вершина над основанием, тем уже грани и тем меньше сумма. Если опускать $S$ к плоскости основания, а её проекция лежит внутри треугольника $ABC$, сумма растёт к $360^\circ$ и пирамида вырождается в плоскую фигуру.

Второй способ: вращение вокруг проецирующей оси

Натуральную величину ребра можно получить и вращением. Через вершину $S$ проводят ось, перпендикулярную плоскости $H$, и поворачивают вокруг неё ребро $SA$, пока его горизонтальная проекция не станет параллельной оси $x$. Точка $A$ при этом движется по окружности радиусом $60$ мм на плане, а на фронтальной проекции скользит по горизонтали $z = 0$.

После поворота ребро параллельно фронтальной плоскости $V$, и его фронтальная проекция показывает истинную длину: катеты $60$ и $45$, гипотенуза $75$ мм. Результат тот же, что и у треугольника, только построение идёт прямо на эпюре. Для трёх рёбер с общей вершиной удобно вращать все сразу вокруг одной оси через $S$.

Ребро $SB$ показательно само по себе. У него $\Delta x = 0$, то есть это профильная прямая: на фронтальной проекции она вертикальна и имеет длину $45$ мм, на горизонтальной $28$ мм. Истинные $53$ мм видны только на профильной проекции $W$, которую строят по трём проекциям точки, или через тот же треугольник.

Другие варианты условия

У правильной пирамиды все боковые рёбра равны, и считать нужно одну длину. Для четырёхугольной пирамиды со стороной $40$ мм и высотой $60$ мм ребро равно $\sqrt{60^2 + (20\sqrt{2})^2} = \sqrt{4400} \approx 66{,}33$ мм, апофема $\sqrt{60^2 + 20^2} \approx 63{,}25$ мм, а развёртка состоит из четырёх одинаковых равнобедренных треугольников с углом при вершине $35{,}10^\circ$. Площадь такой поверхности удобнее считать через апофему, как в статье про площадь поверхности правильной пирамиды.

Если основание не лежит в $H$, стороны основания тоже искажены на плане, и их находят тем же прямоугольным треугольником, каждую со своей $\Delta z$. Четырёхугольное основание неправильной формы сначала делят диагональю на два треугольника: иначе четыре стороны не задают фигуру однозначно.

Когда пирамида срезана плоскостью, на развёртку переносят точки сечения. Их расстояния от вершины измеряют по натуральным величинам рёбер, а не по проекциям, и соединяют ломаной. Саму фигуру сечения в натуральную величину строят отдельно, способами из разбора натуральной величины сечения многогранника; площадь сечения через апофему разобрана в статье про сечение пирамиды. Для тел вращения схема другая, там считают угол сектора, как в разборе развёртки конуса.

Частые ошибки

• Берут длину горизонтальной проекции за длину ребра. Для $SA$ это $60$ мм вместо $75$: грань выйдет узкой, и развёртка не свернётся в пирамиду.
• Берут фронтальную проекцию. У $SA$ она равна $\sqrt{48^2 + 45^2} \approx 65{,}80$ мм, у $SB$ всего $45$ мм. Ни одна из этих величин не натуральная, если ребро не параллельно $V$.
• Во втором катете ставят координату $z$ вершины, а не разность высот. Пока основание в $H$, это совпадает, но при наклонном основании даёт ошибку на каждом ребре.
• Чертят треугольники граней по углам с транспортира. Погрешность в полградуса на каждой грани копится, и последний луч не совпадает с первым. Засечки циркулем по трём сторонам точнее.
• Пристраивают основание не к той стороне ребра. Треугольник основания должен лежать снаружи веера, по другую сторону ребра от $S_0$, иначе он наложится на боковую грань.
• Нарушают порядок граней в веере. После $SAB$ должна идти $SBC$, у которой с ней общее ребро $SB$. Если приложить к $SAB$ грань $SCA$, соседние треугольники не имеют общего ребра, и развёртка не свернётся.

FAQ

Сколько вариантов развёртки у пирамиды? Много: основание можно пристроить к любой из трёх сторон, а грани раскладывать веером вокруг вершины или звездой вокруг основания. Все варианты правильные, если соседние грани на чертеже имеют общее ребро. Переключатель в калькуляторе показывает обе раскладки.

Нужно ли строить развёртку основания, если спрашивают только боковую поверхность? Нет, тогда чертят один веер из боковых граней. Основание добавляют, когда в задании стоит «полная развёртка» или нужна выкройка для склейки модели.

Что делать, если вершина проецируется вне основания? Ничего особенного: способ не меняется, меняются только числа. Наклонная пирамида даёт более вытянутые грани и меньшую сумму углов при вершине, в калькуляторе это видно на готовом варианте «Вершина вне основания».

Можно ли обойтись без эпюра и считать всё по координатам? Для расчётной части да, формула $L = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ даёт те же длины. Но в задании по начертательной геометрии обычно требуют показать построение на чертеже, поэтому числа служат проверкой графики.

Коротко

1. Стороны основания в плоскости $H$ снимаем с плана: $AB = 80$, $BC \approx 67{,}05$, $CA = 68$ мм.
2. Боковые рёбра находим прямоугольным треугольником с катетом $\Delta z = 45$ мм: $SA = 75$, $SB = 53$, $SC = 61$ мм.
3. Строим веер граней засечками от $S_0$: $SAB$, $SBC$, $SCA$, затем пристраиваем основание к $B_0C_0$.
4. Проверяем: последний луч равен $75$ мм, сумма углов при вершине $205{,}77^\circ < 360^\circ$.
5. Ответ: развёртка из четырёх треугольников, площадь боковой поверхности $\approx 5415$ мм², полной $\approx 7591$ мм².