Как построить развёртку конуса: угол сектора и чертёж

Дано: прямой круговой конус, радиус основания $R = 30$ мм, высота $H = 40$ мм. Найти: построить развёртку боковой поверхности, то есть определить радиус и центральный угол сектора.

Боковая поверхность конуса разворачивается в круговой сектор: его радиус равен образующей $L$, а центральный угол считается по формуле $\varphi = 360^\circ \cdot R / L$. Ответ: $L = 50$ мм, $\varphi = 216^\circ$, длина дуги развёртки $188{,}5$ мм, площадь боковой поверхности $4712$ мм². Калькулятор сверху перестраивает оба чертежа под любые размеры конуса, а ниже те же величины получены вручную.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим образующую. Образующая - это боковая сторона осевого сечения, а само сечение представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Высота делит его на два прямоугольных треугольника с катетами $R$ и $H$, поэтому образующая берётся из теоремы Пифагора:

$$L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ мм}.$$

Радиус развёртки найден: сектор нужно чертить раствором циркуля $50$ мм. Именно на этом шаге теряют больше всего баллов, подставляя дальше не $L$, а высоту.

Шаг 2. Считаем центральный угол сектора. Разворачивание - это изгибание поверхности без растяжения, поэтому дуга сектора обязана иметь ту же длину, что и окружность основания. Отсюда рабочая формула:

$$\varphi = 360^\circ \cdot \frac{R}{L} = 360^\circ \cdot \frac{30}{50} = 360^\circ \cdot 0{,}6 = 216^\circ.$$

Угол получился больше развёрнутого: сектор занимает $60\,\%$ круга, ровно столько же, сколько составляет отношение $R/L$.

Шаг 3. Чертим развёртку. Ставим точку $S$ - вершину конуса. Из неё раствором $50$ мм проводим дугу и от произвольного луча $SA$ откладываем транспортиром $216^\circ$, получая второй луч $SB$. Оба радиуса $SA$ и $SB$ - это одна и та же образующая, разрезанная при разворачивании, поэтому при склейке они совмещаются.

Шаг 4. Проверяем построение. Длина дуги считается двумя способами, и они обязаны совпасть:

$$\ell = \frac{\varphi}{360^\circ} \cdot 2\pi L = 0{,}6 \cdot 2\pi \cdot 50 = 60\pi \approx 188{,}50 \text{ мм}, \qquad C = 2\pi R = 2\pi \cdot 30 = 60\pi \approx 188{,}50 \text{ мм}.$$

Совпадение - главный контроль всей задачи. Для чертежа удобнее второй контроль, по хорде: расстояние $AB$ между концами дуги равно $2L\sin(\varphi/2) = 100 \cdot \sin 108^\circ \approx 95{,}11$ мм, и его достаточно измерить линейкой.

Шаг 5. Достраиваем полную развёртку и считаем площади. К дуге сектора в её середине пристраивают окружность основания радиуса $R = 30$ мм, касающуюся дуги. Площади считаются напрямую:

$$S_{\text{бок}} = \pi R L = \pi \cdot 30 \cdot 50 = 1500\pi \approx 4712 \text{ мм}^2, \qquad S_{\text{полн}} = \pi R (L + R) = 2400\pi \approx 7540 \text{ мм}^2.$$

Ответ: образующая $L = 50$ мм, угол сектора $\varphi = 216^\circ$, длина дуги $188{,}5$ мм, хорда $95{,}1$ мм, площадь боковой поверхности $\approx 4712$ мм², полной $\approx 7540$ мм².

Формула и откуда она берётся

Формула $\varphi = 360^\circ R / L$ выводится в одну строку и запоминать её отдельно не нужно. Развёртка - это изометрия: поверхность сгибают, но не растягивают, поэтому длины всех линий на ней сохраняются. Окружность основания длиной $2\pi R$ после разворачивания становится дугой сектора радиуса $L$ с углом $\varphi$, а длина такой дуги равна $2\pi L \cdot \varphi / 360^\circ$.

$$2\pi L \cdot \frac{\varphi}{360^\circ} = 2\pi R \quad \Longrightarrow \quad \varphi = 360^\circ \cdot \frac{R}{L}.$$

Два множителя $2\pi$ сокращаются, и остаётся чистое отношение размеров. Из формулы сразу видны границы: у любого конуса $L > R$, значит $\varphi < 360^\circ$ всегда. Чем ниже конус, тем ближе $L$ к $R$ и тем ближе развёртка к полному кругу; у высокого и узкого конуса угол наоборот стремится к нулю.

Полезно помнить и связь угла с осевым сечением. Половина угла при вершине $\alpha$ удовлетворяет $\sin\alpha = R/L$, поэтому $\varphi = 360^\circ \sin\alpha$. В нашей задаче $\sin\alpha = 0{,}6$, то есть $\alpha \approx 36{,}87^\circ$, а угол при вершине сечения около $73{,}74^\circ$. Если в условии дан именно он, отношение $R/L$ известно ещё до вычисления сторон.

Сама поверхность конуса развёртывается точно, без разрывов и складок, потому что она линейчатая и любые две соседние образующие лежат в одной плоскости. Тем же свойством обладают цилиндр и призма, а вот сфера развёртки не имеет вовсе - в задачах на неё строят только три проекции поверхности либо приближённые лепестки.

Приближённый способ построения по хордам

В чертёжных работах развёртку часто строят без транспортира. Основание делят на $n$ равных частей (обычно на 12), измеряют хорду одного деления и откладывают её $n$ раз вдоль дуги сектора. Хорда деления считается так:

$$c = 2R\sin\frac{180^\circ}{n} = 60 \cdot \sin 15^\circ \approx 15{,}53 \text{ мм}.$$

Каждая такая хорда стягивает при вершине развёртки угол $2\arcsin\bigl(c/(2L)\bigr) \approx 17{,}87^\circ$, поэтому двенадцать хорд дают не $216^\circ$, а примерно $214{,}41^\circ$. Недобор закономерен: ломаная всегда короче дуги, которую она стягивает. Величина ошибки зависит только от числа делений:

На чертеже формата А4 разница в полтора градуса при $n = 12$ даёт смещение около полумиллиметра - в пределах точности карандаша, поэтому способ считается рабочим. Но в расчётной части задачи угол всё равно указывают точный, полученный по формуле, а хорды используют только для разметки. Переключатель числа делений в калькуляторе сверху показывает, как быстро сходится приближение.

Другие варианты условия

Если вместо высоты дана образующая, шаг с теоремой Пифагора просто пропускают: при $R = 40$ мм и $L = 100$ мм сразу получается $\varphi = 360^\circ \cdot 0{,}4 = 144^\circ$. Если задана площадь боковой поверхности, образующую достают из неё: $L = S_{\text{бок}} / (\pi R)$.

Отдельный случай - усечённый конус. Его развёртка это не сектор, а кольцевая полоса между двумя дугами с общим центром. Образующие мысленно продолжают до вершины полного конуса, находят обе длины и строят дуги радиусами $L$ и $L - l$. Для нашего конуса с верхним радиусом $r = 15$ мм и образующей усечённой части $l = 25$ мм внешняя дуга имеет радиус 50 мм, внутренняя 25 мм, а угол у них общий и равен тем же $216^\circ$, поскольку $360^\circ \cdot 15 / 25$ даёт то же значение.

Наклонный конус точной развёртки в виде сектора не имеет: все его образующие разной длины, и поверхность разворачивают только приближённо, по треугольникам между соседними образующими. Натуральные величины этих образующих сначала снимают с эпюра, а для этого нужно уверенно строить три проекции точки по координатам. Снимают их способом прямоугольного треугольника, поэтому такая задача сводится к обычным построениям на двух проекциях, разобранным в задаче про прямую в плоскости. Такие задачи обычно идут после построения линий пересечения тел - например, после разбора линии пересечения цилиндра и конуса, где нужны те же вспомогательные секущие плоскости. Если конус вдобавок срезан плоскостью, дуга развёртки остаётся прежней, а вот верхняя граница становится кривой: её строят по точкам, перенося на развёртку высоты, снятые с сечения конуса плоскостью.

Частые ошибки

• Подставляют высоту вместо образующей. С $H = 40$ вместо $L = 50$ формула даёт $270^\circ$ - на 54 градуса больше правильного. Разворачивается боковая поверхность, а высота на ней вообще не лежит.
• Чертят сектор радиусом $R$. Радиус развёртки - это образующая, длина от вершины до края поверхности; радиус основания на развёртке появляется только у пристроенной окружности дна.
• Путают длину дуги с длиной окружности радиуса $L$. Дуга равна $2\pi R$, а не $2\pi L$: у нас 188,5 мм против 314,2 мм.
• Округляют образующую слишком рано. При $R = 30$ и $H = 45$ точное $L \approx 54{,}08$ даёт $199{,}69^\circ$, а округление до 54 мм - уже ровно $200^\circ$. Округлять нужно только конечный угол.
• Забывают перевести угол в градусы. Отношение $2\pi R / L \approx 3{,}77$ - это тот же угол в радианах, транспортиром его откладывать бессмысленно.
• В усечённом конусе берут радиусы дуг равными радиусам оснований. Радиусы дуг - это расстояния до вершины полного конуса, 50 и 25 мм, а не 30 и 15 мм.

FAQ

Может ли угол развёртки быть больше 360 градусов? У прямого кругового конуса нет: образующая всегда длиннее радиуса основания, значит $R/L < 1$ и $\varphi < 360^\circ$. Угол приближается к полному кругу только когда высота стремится к нулю и конус вырождается в плоский диск.

Как построить развёртку, если известен только угол при вершине? Через синус его половины: $R/L = \sin\alpha$, и сразу $\varphi = 360^\circ\sin\alpha$. Абсолютные размеры для этого не нужны - форма развёртки зависит только от отношения $R$ к $L$, поэтому все подобные конусы разворачиваются в одинаковый по углу сектор.

Нужен ли припуск на склейку? На чертеже по начертательной геометрии - нет, там строят теоретическую развёртку. В раскрое листового материала к одной образующей добавляют полосу 5-10 мм на шов, и её показывают тонкой линией с отбортовкой, не меняя расчётный угол.

Почему в задачнике угол выходит дробным? Потому что «красивые» ответы получаются лишь у пифагоровых троек вроде 30-40-50 или 6-8-10. При $R = 25$ и $H = 60$ образующая равна 65 мм и угол $138{,}46^\circ$ - это нормальный ответ, его округляют до сотых градуса или до минут.

Коротко

1. Находим образующую: $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ мм.
2. Считаем угол сектора: $\varphi = 360^\circ R / L = 360^\circ \cdot 30/50 = 216^\circ$.
3. Чертим дугу радиусом $L = 50$ мм и откладываем от неё $216^\circ$ между двумя образующими.
4. Проверяем: длина дуги $0{,}6 \cdot 2\pi \cdot 50 \approx 188{,}5$ мм равна длине окружности основания $2\pi \cdot 30$; хорда $AB \approx 95{,}1$ мм.
5. Ответ: сектор радиуса 50 мм с углом $216^\circ$, площадь боковой поверхности $\approx 4712$ мм², полной $\approx 7540$ мм².