Как построить развёртку призмы: нормальное сечение

Дано: наклонная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, основание в горизонтальной плоскости $H$: $A(0;\,0;\,0)$, $B(60;\,0;\,0)$, $C(0;\,100;\,0)$, боковое ребро задано вектором $\overline{AA_1} = (0;\,60;\,80)$, размеры в мм. Найти: развёртку боковой поверхности и её площадь.

У призмы все боковые рёбра параллельны и равны, поэтому развёртку строят не веером, как у пирамиды, а полосой: поперёк рёбер проводят нормальное сечение, раскатывают его периметр в прямую и ставят к ней рёбра перпендикулярами. Ответ: боковое ребро $100$ мм под углом $53{,}13^\circ$ к основанию, нормальное сечение это прямоугольный треугольник со сторонами $60$, $80$ и $100$ мм, его периметр $240$ мм, площадь боковой поверхности $24\,000$ мм², полной $30\,000$ мм². Калькулятор сверху перестраивает оба чертежа под любые размеры, а ниже те же числа получены вручную.

Решение по шагам

Шаг 1. Натуральная величина бокового ребра. Ребро задано вектором, поэтому его длина считается сразу, без построений на эпюре:

$$L = \sqrt{0^2 + 60^2 + 80^2} = \sqrt{10\,000} = 100 \text{ мм}.$$

На чертеже ни одна проекция этой длины не показывает: на плане ребро выглядит отрезком $60$ мм, на фронтальной проекции $80$ мм. Угол наклона ребра к плоскости $H$ равен $\operatorname{arctg}(80/60) = 53{,}13^\circ$. Как определять положение такой прямой по двум проекциям, разобрано в задаче про положение прямой на эпюре.

Шаг 2. Нормальное сечение. Это сечение плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Его стороны получаются проецированием сторон основания на эту плоскость, поэтому каждая сторона укорачивается на свою составляющую вдоль ребра. Обозначим единичный вектор ребра $\vec{e} = (0;\,0{,}6;\,0{,}8)$, тогда для стороны с вектором $\vec{v}$

$$k = \sqrt{|\vec{v}|^2 - (\vec{v} \cdot \vec{e})^2}.$$

Сторона $AB$ направлена по оси $x$, её скалярное произведение с $\vec{e}$ равно нулю: она сама перпендикулярна ребру и в сечение входит без искажения. Две другие стороны укорачиваются.

Для стороны $CA$ вычисление выглядит так:

$$k_{31} = \sqrt{100^2 - 60^2} = \sqrt{6400} = 80 \text{ мм}.$$

Треугольник сечения со сторонами $60$, $80$ и $100$ мм прямоугольный: $60^2 + 80^2 = 100^2$, прямой угол приходится на ребро $AA_1$. Периметр сечения $P_{\text{н}} = 60 + 100 + 80 = 240$ мм.

Шаг 3. Раскатка периметра в прямую. Проводим горизонтальную прямую и откладываем на ней стороны сечения подряд, обходя треугольник по кругу: точка $1$ в нуле, точка $2$ на отметке $60$, точка $3$ на отметке $160$, точка $1'$ на отметке $240$. Через каждую отметку проводим перпендикуляр - это и есть будущие боковые рёбра, ведь в натуре они перпендикулярны плоскости сечения.

Шаг 4. Отрезки рёбер по обе стороны от сечения. Секущую плоскость удобно провести посередине призмы, на расстоянии $80$ мм от вершины $A$ вдоль ребра. Вершины $A$ и $B$ лежат на одном уровне вдоль ребра, а вершина $C$ сдвинута к сечению на $\overline{AC} \cdot \vec{e} = 100 \cdot 0{,}6 = 60$ мм. Отсюда длины отрезков:

$$\begin{aligned} \text{вниз: } & A \to 80, \quad B \to 80, \quad C \to 80 - 60 = 20 \text{ мм};\\ \text{вверх: } & A_1 \to 20, \quad B_1 \to 20, \quad C_1 \to 80 \text{ мм}. \end{aligned}$$

На каждом перпендикуляре сумма отрезков вверх и вниз равна $100$ мм, то есть длине ребра. Соединив нижние концы, получаем ломаную $A_0B_0C_0A_0'$, соединив верхние - такую же ломаную $A_1B_1C_1A_1'$. Именно ломаную, а не прямую: у наклонной призмы основание встречает рёбра на разной глубине.

Шаг 5. Проверка и достройка оснований. Расстояния между соседними вершинами на развёртке обязаны совпасть с натуральными сторонами основания. Проверяем по катетам: $A_0B_0 = 60$ мм, $B_0C_0 = \sqrt{100^2 + 60^2} \approx 116{,}62$ мм, $C_0A_0' = \sqrt{80^2 + 60^2} = 100$ мм - всё сходится с таблицей из шага 2.

Основание пристраиваем засечками к средней стороне $B_0C_0$: дуга радиусом $AB = 60$ мм из $B_0$ и дуга радиусом $CA = 100$ мм из $C_0$ дают вершину $A_0$. Верхнее основание конгруэнтно нижнему и пристраивается так же к стороне $B_1C_1$. Площади считаем по нормальному сечению и по граням:

$$S_{\text{бок}} = P_{\text{н}} \cdot L = 240 \cdot 100 = 24\,000 \text{ мм}^2, \qquad S_{\text{осн}} = \tfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 100 = 3000 \text{ мм}^2.$$

Отдельные грани дают ту же сумму: $60 \cdot 100 + 100 \cdot 100 + 80 \cdot 100 = 6000 + 10\,000 + 8000 = 24\,000$ мм².

Ответ: $L = 100$ мм, нормальное сечение $60 \times 80 \times 100$ мм с периметром $240$ мм, отрезки рёбер $80/20$, $80/20$ и $20/80$ мм, площадь боковой поверхности $24\,000$ мм², полной поверхности $30\,000$ мм² (300 см²).

Формула и откуда она берётся

Каждая боковая грань призмы это параллелограмм: две его стороны - боковые рёбра длиной $L$, две другие - стороны основания. Высота такого параллелограмма, проведённая к ребру, перпендикулярна ребру, а значит лежит в плоскости нормального сечения и равна соответствующей стороне сечения. Отсюда площадь грани $k \cdot L$, а сумма по всем граням даёт

$$S_{\text{бок}} = P_{\text{н}} \cdot L.$$

Периметр основания сюда не подставляют. У нас он равен $60 + 116{,}62 + 100 = 276{,}62$ мм, и произведение $276{,}62 \cdot 100 = 27\,662$ мм² завышает ответ на $15\,\%$. Совпадают эти два периметра только у прямой призмы, где основание само перпендикулярно рёбрам.

Почему линия сечения на развёртке выпрямляется? При развёртывании поверхность не растягивают, поэтому все углы граней сохраняются. Нормальное сечение подходит к каждому ребру под прямым углом с обеих сторон, а два прямых угла по разные стороны от прямой дают развёрнутый угол $180^\circ$. Значит, ломаная сечения на чертеже становится отрезком, а его длина равна периметру сечения.

Двугранные углы призмы при этом равны углам нормального сечения - у нас $90^\circ$, $53{,}13^\circ$ и $36{,}87^\circ$, в сумме $180^\circ$. Классический эпюр находит эти величины не расчётом, а заменой плоскостей проекций: новую плоскость ставят перпендикулярно ребру, и сечение проецируется в натуральную величину. Общий приём разобран в статье про натуральную величину сечения многогранника, а построение самой фигуры сечения - в разборе сечения призмы плоскостью через три точки.

Способ раскатки и случай прямой призмы

Второй путь к тому же чертежу - раскатка: призму мысленно катят по плоскости, поворачивая вокруг каждого бокового ребра по очереди, и каждая грань оставляет свой отпечаток. Параллелограмм грани по двум сторонам не построить, нужна ещё диагональ в натуральную величину. Для нашей призмы это $AB_1 \approx 116{,}62$, $B_1C \approx 107{,}70$ и $CA_1 \approx 89{,}44$ мм - три дополнительных построения прямоугольным треугольником. Нормальное сечение экономнее: там достаточно одного вспомогательного чертежа на всю призму.

У прямой призмы оба способа вырождаются в одно действие. Рёбра перпендикулярны основанию, нормальное сечение совпадает с самим основанием, все отрезки рёбер одинаковы, и развёртка становится обычным прямоугольником со сторонами $P_{\text{осн}}$ и $h$. Для нашего основания с вертикальным ребром $100$ мм это прямоугольник $276{,}62 \times 100$ мм и площадь $27\,662$ мм² - переключатель «Прямая призма» в калькуляторе показывает, как ломаные распрямляются в стороны прямоугольника.

Четырёхугольную и шестиугольную призму разворачивают точно так же, меняется только число перпендикуляров. Основание с числом сторон больше трёх при достройке делят диагональю на треугольники: четыре стороны не задают фигуру однозначно. У тел вращения логика другая - там периметр заменяется длиной окружности, как в разборах развёрток цилиндра и конуса, а у пирамиды рёбра не параллельны, и грани раскладывают веером вокруг вершины.

Если призма усечённая, то есть рёбра обрезаны на разной длине, нормальное сечение и расстояния между перпендикулярами не меняются вовсе. Меняются только отрезки, отложенные вверх и вниз от линии сечения: их берут с фронтальной проекции для каждого ребра отдельно. Грани превращаются из параллелограммов в трапеции, и площадь каждой равна стороне сечения, умноженной на полусумму двух её рёбер.

Частые ошибки

• Умножают периметр основания на ребро. Получается $27\,662$ вместо $24\,000$ мм², ошибка на $15\,\%$. Периметр основания годится только для прямой призмы.
• Берут за длину ребра его проекцию. На плане ребро $60$ мм, на фронтальной проекции $80$ мм, а натуральная величина $100$ мм. Развёртка с ребром $80$ мм не свернётся в призму.
• Проводят сечение перпендикулярно основанию, а не ребру. У наклонной призмы это разные плоскости, и такое сечение на развёртке в прямую не разворачивается.
• Откладывают нижние вершины по одной прямой. Тогда выходит прямоугольник прямой призмы. У наклонной нижняя граница развёртки - ломаная, её точки лежат на разной глубине: $80$, $80$ и $20$ мм.
• Пристраивают основание по сторонам сечения. Засечки делают радиусами $60$ и $100$ мм, то есть натуральными сторонами основания, а не $60$ и $80$ мм из нормального сечения.
• Теряют порядок обхода. После стороны $1\text{-}2$ идёт $2\text{-}3$, у которой с ней общая вершина. Если переставить отрезки местами, соседние грани развёртки перестанут иметь общее ребро.

FAQ

Где именно проводить плоскость нормального сечения? Где угодно, лишь бы она пересекала все боковые рёбра в пределах призмы. Сдвиг плоскости вдоль рёбер поднимает или опускает всю развёртку целиком, но длины и форма не меняются. В калькуляторе сечение ставится посередине, на $80$ мм от вершины $A$.

Можно ли найти площадь боковой поверхности без развёртки? Да, формула $S_{\text{бок}} = P_{\text{н}} \cdot L$ работает независимо от чертежа. Развёртка нужна, когда требуется выкройка для склейки модели или разметка листа под гибку.

Почему у наклонной призмы обе границы развёртки ломаные, а боковые рёбра параллельны? Рёбра параллельны в натуре и остаются параллельными после развёртывания, ведь все они перпендикулярны линии сечения. А вершины оснований сидят на рёбрах на разной глубине, поэтому концы перпендикуляров не выстраиваются в одну прямую.

Нужно ли достраивать оба основания? Только если в задании сказано «полная развёртка» или нужна выкройка. Для боковой поверхности хватает полосы между двумя ломаными, а основания показывают отдельно в натуральную величину.

Коротко

1. Находим натуральную длину бокового ребра: $L = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100$ мм, наклон к основанию $53{,}13^\circ$.
2. Строим нормальное сечение: стороны $60$, $100$ и $80$ мм, периметр $P_{\text{н}} = 240$ мм.
3. Раскатываем периметр в прямую, ставим перпендикуляры на отметках $0$, $60$, $160$, $240$ мм.
4. Откладываем отрезки рёбер: вниз $80$, $80$, $20$ мм, вверх $20$, $20$, $80$ мм, и соединяем концы ломаными.
5. Ответ: $S_{\text{бок}} = 240 \cdot 100 = 24\,000$ мм², с двумя основаниями $30\,000$ мм².