Сечение пирамиды через апофему: формула и пример

Сечение пирамиды плоскостью через апофему боковой грани - одна из самых частых задач в стереометрии: встречается и в школьных контрольных, и в ЕГЭ. Суть задачи в том, чтобы понять, какую именно фигуру выделяет такая секущая плоскость внутри тела, и уметь выразить её площадь через размеры пирамиды. Ниже разберём всё по порядку: что такое апофема, как плоскость её проходит, какой получается срез и как считать площадь. Попробуй сразу задать свои числа в калькуляторе - он мгновенно покажет апофему, площадь сечения и поверхности.

Что такое апофема пирамиды

У правильной пирамиды два разных отрезка называются апофемами, и их легко перепутать.

Апофема основания $r_{\text{вп}}$ - это апофема правильного многоугольника в основании, то есть радиус вписанной окружности. Для $n$-угольника со стороной $a$:

$r_{\text{вп}} = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}.$

Для квадрата $(n=4)$: $r_{\text{вп}} = a/2$. Для правильного треугольника $(n=3)$: $r_{\text{вп}} = a/(2\sqrt{3})$.

Апофема боковой грани $l$ - высота, опущенная из вершины пирамиды на среднюю линию боковой грани (середину ребра основания). Именно её имеют в виду, когда говорят просто «апофема пирамиды». По теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + r_{\text{вп}}^2},$

где $h$ - высота пирамиды, а $r_{\text{вп}}$ - апофема основания. Апофема $l$ одновременно является высотой каждой равнобедренной треугольной боковой грани.

Рассчитать для своей задачи

Какое сечение получается при разрезе через апофему

Секущая плоскость, проходящая через апофему боковой грани правильной пирамиды, одновременно:

• содержит апофему $l$ одной боковой грани,
• проходит через ось пирамиды (т.е. через высоту $h$).

Такая плоскость пересекает пирамиду и создаёт в сечении равнобедренный треугольник. Его элементы:

• Основание = сторона $a$ правильного $n$-угольника в основании (то ребро, к которому опущена апофема).
• Боковые стороны = апофема боковой грани $l$ (два симметричных отрезка от середины ребра основания до вершины пирамиды).
• Высота равнобедренного треугольника сечения = высота пирамиды $h$.

Ключевой момент: плоскость проходит через вершину пирамиды и середину одного из рёбер основания, значит, она обязательно содержит высоту $h$ как медиану срезного треугольника.

Рассчитать для своей задачи

Формула площади сечения

Площадь равнобедренного треугольника сечения вычисляется как половина произведения основания на высоту:

$S_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.$

Формула предельно простая: нужны только сторона основания $a$ и высота пирамиды $h$ - апофему боковой грани знать не обязательно. Это следствие того, что высота срезного треугольника совпадает с высотой пирамиды.

Если в условии дана апофема $l$, а не высота $h$, то высоту можно найти из той же формулы апофемы:

$h = \sqrt{l^2 - r_{\text{вп}}^2}.$

После этого подставь $h$ в формулу площади сечения.

Апофема и боковая поверхность пирамиды

Апофема боковой грани $l$ нужна не только для задач на сечения - она входит в формулу боковой поверхности правильной пирамиды.

Каждая из $n$ боковых граней - равнобедренный треугольник со стороной основания $a$ и боковыми сторонами, равными боковому ребру. Высота этого треугольника как раз равна апофеме $l$. Поэтому площадь одной боковой грани:

$S_{\text{гр}} = \frac{a \cdot l}{2}.$

Полная боковая поверхность:

$S_{\text{бок}} = n \cdot \frac{a \cdot l}{2} = \frac{P \cdot l}{2},$

где $P = na$ - периметр основания. Площадь правильного $n$-угольного основания:

$S_{\text{осн}} = \frac{n \cdot a \cdot r_{\text{вп}}}{2}.$

Сравни эти числа с результатом калькулятора выше: видно, что площадь сечения $S_{\text{сеч}}$ всегда много меньше боковой поверхности, хотя по форме это тоже треугольник.

Пример задачи: четырёхугольная пирамида

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида имеет сторону основания $a = 6$ см и высоту $h = 8$ см. Найдите площадь сечения, проходящего через апофему боковой грани.

Решение. Основание пирамиды - квадрат со стороной 6 см. Апофема основания (радиус вписанной окружности квадрата):

$r_{\text{вп}} = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}.$

Апофема боковой грани:

$l = \sqrt{h^2 + r_{\text{вп}}^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \approx 8{,}54 \text{ см}.$

Площадь сечения через апофему:

$S_{\text{сеч}} = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ см}^2.$

Результат: сечение - равнобедренный треугольник с основанием 6 см, боковыми сторонами $\approx 8{,}54$ см и площадью $24$ см².

Проверка через боковую грань. Площадь одной боковой грани при тех же параметрах:

$S_{\text{гр}} = \frac{a \cdot l}{2} = \frac{6 \cdot \sqrt{73}}{2} \approx 25{,}6 \text{ см}^2.$

Площадь сечения чуть меньше одной грани - логично, ведь сечение и грань имеют одно основание $a$, но высота пирамиды $h < l$, поэтому $S_{\text{сеч}} < S_{\text{гр}}$.

Как строить сечение: алгоритм

Построение сечения через апофему начинается с определения апофемы в конкретной пирамиде.

1. Найди середину $M$ одного из рёбер основания (например, $M$ - середина $AB$).
2. Соедини $M$ с вершиной $S$ пирамиды - это и есть апофема боковой грани $SM$.
3. Проведи секущую плоскость через отрезок $SM$; поскольку $SM$ содержит ось пирамиды (проходит через основание высоты $H$ и вершину $S$), плоскость однозначно определена.
4. Найди след секущей плоскости на основании: это прямая, проходящая через $M$ перпендикулярно ребру $AB$, то есть $MH$ (след в основании = высота основания из $M$).
5. Сечение ограничено треугольником $SAB$ - это и есть искомый равнобедренный треугольник.

Все вершины сечения ($S$, $A$, $B$) являются вершинами самой пирамиды - никаких дополнительных точек на рёбрах находить не нужно.

Связь апофемы с теоремой о трёх перпендикулярах

Апофема $l$ возникает в задачах не случайно - она связана с теоремой о трёх перпендикулярах. Пусть $H$ - основание высоты пирамиды, $M$ - середина ребра $AB$ основания. Тогда:

• $HM \perp AB$ (апофема основания перпендикулярна ребру, к которому опущена).
• $SH \perp$ плоскости основания (высота перпендикулярна плоскости).
• Из теоремы о трёх перпендикулярах следует: $SM \perp AB$, то есть апофема боковой грани $SM$ перпендикулярна ребру основания $AB$.

Именно это свойство позволяет утверждать, что $SM$ является высотой боковой грани $SAB$. А это значит, что формула площади грани $S_{\text{гр}} = al/2$ верна без каких-либо дополнительных условий - в правильной пирамиде теорема о трёх перпендикулярах гарантирует нужное перпендикулярное расположение.

На практике это свойство используют для доказательства: если в условии задачи сказано «апофема пирамиды $l$», значит автоматически $l \perp AB$ и можно использовать $l$ как высоту соответствующей грани.

Сечение через апофему в задачах с заданной боковой поверхностью

Нередко в условии задачи дана не высота, а боковая поверхность $S_{\text{бок}}$. Тогда алгоритм такой:

1. Из формулы $S_{\text{бок}} = \dfrac{P \cdot l}{2}$ находим апофему грани: $l = \dfrac{2 S_{\text{бок}}}{P} = \dfrac{2 S_{\text{бок}}}{na}$.
2. Находим апофему основания $r_{\text{вп}} = \dfrac{a}{2\tan(\pi/n)}$.
3. Из $l = \sqrt{h^2 + r_{\text{вп}}^2}$ выражаем высоту: $h = \sqrt{l^2 - r_{\text{вп}}^2}$.
4. Площадь сечения: $S_{\text{сеч}} = \dfrac{a \cdot h}{2}$.

Такой путь чуть длиннее, но логика одна и та же - нужно свести всё к паре $(a, h)$ или $(a, l)$.

Пример. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды $S_{\text{бок}} = 60$ см², сторона основания $a = 5$ см. Найдём площадь сечения через апофему.

Апофема грани: $l = \dfrac{2 \cdot 60}{3 \cdot 5} = 8$ см.

Апофема основания: $r_{\text{вп}} = \dfrac{5}{2\sqrt{3}} \approx 1{,}44$ см.

Высота: $h = \sqrt{64 - 2{,}08} \approx \sqrt{61{,}92} \approx 7{,}87$ см.

Площадь сечения: $S_{\text{сеч}} = \dfrac{5 \cdot 7{,}87}{2} \approx 19{,}7$ см².

Частые ошибки

• Путают апофему основания и апофему грани. Апофема основания $r_{\text{вп}}$ - свойство многоугольника в основании, апофема грани $l$ - свойство пирамиды в целом. В формуле площади сечения нужна высота $h$, а не $l$.
• Берут боковое ребро вместо апофемы. Боковое ребро - отрезок от вершины до угла основания, апофема - от вершины до середины ребра. Это разные отрезки, боковое ребро длиннее.
• Применяют формулу только к квадратной пирамиде. Формула $S_{\text{сеч}} = ah/2$ верна для любой правильной $n$-угольной пирамиды, не только квадратной.
• Забывают, что сечение проходит через вершину. Если плоскость не содержит вершину пирамиды, она не проходит через апофему (апофема начинается в вершине).
• Путают сечение через апофему и сечение параллельное основанию. Параллельное основанию сечение даёт подобный многоугольник, а не треугольник.

FAQ

Что такое апофема пирамиды в задачах ЕГЭ? В задачах ЕГЭ «апофема пирамиды» - это апофема боковой грани $l$, то есть высота треугольной боковой грани. Её находят по формуле $l = \sqrt{h^2 + r_{\text{вп}}^2}$, где $r_{\text{вп}}$ - радиус вписанной окружности основания. Апофему основания в задачах иногда называют «апофемой основания» или «инрадиусом».

Всегда ли сечение через апофему даёт равнобедренный треугольник? Да, для правильной пирамиды - всегда. Плоскость проходит через вершину пирамиды и через середину одного ребра основания; она пересекает пирамиду по равнобедренному треугольнику, у которого основание $a$ и боковые стороны $l$. Для неправильной пирамиды апофемы боковых граней разные, и сечение может быть несимметричным треугольником.

Чему равна площадь сечения, если апофема грани $l = 10$ см и сторона основания $a = 8$ см? Из апофемы грани сначала найдём $r_{\text{вп}}$: для квадратного основания $r_{\text{вп}} = a/2 = 4$ см, тогда $h = \sqrt{l^2 - r_{\text{вп}}^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} \approx 9{,}17$ см. Площадь сечения: $S = ah/2 = 8 \cdot 9{,}17 / 2 \approx 36{,}7$ см². Подстановку в калькулятор выше можно проверить мгновенно.

Коротко

Сечение правильной пирамиды плоскостью через апофему боковой грани - это равнобедренный треугольник с основанием $a$ (сторона многоугольника в основании), боковыми сторонами $l$ (апофема боковой грани) и высотой $h$ (высота пирамиды). Площадь сечения: $S_{\text{сеч}} = ah/2$. Апофема боковой грани связана с высотой и апофемой основания формулой $l = \sqrt{h^2 + r_{\text{вп}}^2}$, где $r_{\text{вп}} = a/(2\tan(\pi/n))$ для правильного $n$-угольника.