Сечение куба плоскостью через три точки

Сечение куба плоскостью - одна из самых наглядных задач стереометрии: вы задаёте три точки на рёбрах куба, проводите через них плоскость и получаете плоский многоугольник внутри объёмного тела. Именно эта задача чаще всего появляется в ЕГЭ по математике (профиль) и в вузовских курсах начертательной геометрии. Ниже разберём три способа построения, научимся находить площадь сечения и разберём частые ошибки. Прежде чем читать теорию, покрути слайдеры в калькуляторе - видно, как форма и площадь сечения меняются при перемещении точек.

Что такое сечение куба плоскостью

Сечение - это фигура, которую получают, разрезая тело плоскостью. У куба шесть граней, и секущая плоскость последовательно пересекает те грани, которые она «встречает» на своём пути. Получившийся контур - это и есть сечение; он всегда является выпуклым многоугольником с числом сторон от 3 до 6.

Три точки однозначно определяют плоскость, если они не лежат на одной прямой. Типовая формулировка задачи: «через точки P, Q, R, лежащие на рёбрах куба, проведите секущую плоскость и найдите площадь сечения». Задача решается в два этапа:

1. Построение - найти все стороны многоугольника сечения.
2. Вычисление - найти площадь и, при необходимости, периметр или угол с гранью.

Главный принцип: секущая плоскость пересекает две параллельные грани куба вдоль параллельных прямых. Это свойство используется в методе следов.

Метод следов: пошаговое построение

Рассчитать для своей задачи

След плоскости на грани куба - это прямая линия пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани. Алгоритм:

1. Две из трёх заданных точек лежат на одной грани (или на продолжении грани) - соединяем их прямой. Это первый след.
2. Продолжаем следы до пересечения с рёбрами соседних граней - получаем новые точки на рёбрах куба.
3. Снова соединяем точки на одной грани прямой.
4. Повторяем, пока многоугольник не замкнётся.

Пример. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$. Точка $P$ - середина $AA_1$, точка $Q$ - середина $BB_1$, точка $R$ - в $\tfrac{1}{3}$ высоты ребра $DD_1$ от $D$. Тогда:

• На грани $ABB_1A_1$ проведём прямую $PQ$.
• На грани $ADD_1A_1$ проведём прямую $PR$ - она пересечёт ребро $D_1A_1$ в некоторой точке $S$.
• Соединим $Q$ и $R$: прямая $QR$ на грани $BCC_1B_1$ даст точку пересечения с $CC_1$ - точку $T$.
• Соединим $S$ и $T$ на верхней грани, получим $ST$.
• Контур $PQTSR$ - пятиугольное сечение.

Следовой метод универсален, но требует аккуратности: важно всегда работать с двумя точками, принадлежащими одной грани или её продолжению.

Векторный способ: формула площади через произведение

Если сечение является треугольником (три точки на трёх рёбрах, не принадлежащих одной грани), площадь удобно считать через векторное произведение:

$$S = \frac{1}{2}\,|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}|.$$

Для куба со стороной $a$ с точками $P(0,\,0,\,t_P\cdot a)$ на $AA_1$, $Q(a,\,0,\,t_Q\cdot a)$ на $BB_1$ и $R(0,\,a,\,t_R\cdot a)$ на $DD_1$:

$$\overrightarrow{PQ} = (a,\;0,\;(t_Q - t_P)\,a), \quad \overrightarrow{PR} = (0,\;a,\;(t_R - t_P)\,a).$$

Векторное произведение:

$$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & (t_Q-t_P)a \\ 0 & a & (t_R-t_P)a \end{vmatrix} = a^2\bigl(-(t_R-t_P),\;-(t_Q-t_P),\;1\bigr).$$

Площадь:

$$S = \frac{a^2}{2}\sqrt{(t_R-t_P)^2 + (t_Q-t_P)^2 + 1}.$$

При $t_P = t_Q = t_R = 0{,}5$ (все три точки - середины рёбер) получаем $S = \tfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$ - правильный треугольник.

Рассчитать для своей задачи

Частные случаи сечений куба

Форма сечения зависит от взаимного положения трёх точек:

Правильный шестиугольник получается, если секущая плоскость перпендикулярна главной диагонали куба и проходит через её середину; его площадь равна $\tfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ при стороне куба $a$.

Интерактивный калькулятор выше считает треугольный случай - наиболее частый в задачах ЕГЭ. Сдвигай точки, чтобы увидеть, как меняются площадь и форма.

Уравнение секущей плоскости

Для точного аналитического решения составляют уравнение плоскости через три точки. Общий вид уравнения плоскости:

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0,$$

где $(A,\,B,\,C)$ - нормальный вектор, равный $\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$.

Для точек $P(0,0,t_P)$, $Q(1,0,t_Q)$, $R(0,1,t_R)$ на кубе со стороной 1 нормаль:

$$\mathbf{n} = (-(t_R - t_P),\;-(t_Q-t_P),\;1).$$

Уравнение плоскости через $P$:

$$-(t_R - t_P)\,x - (t_Q - t_P)\,y + z = t_P.$$

По этому уравнению находят координаты точек пересечения плоскости с рёбрами куба - тех, у которых два из трёх значений $x,y,z$ фиксированы как 0 или 1.

Угол между секущей плоскостью и гранью куба

Угол $\varphi$ между секущей плоскостью (нормаль $\mathbf{n}$) и нижней гранью (нормаль $\mathbf{k} = (0,0,1)$) равен:

$$\sin\varphi = \frac{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{k}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{1}{\sqrt{(t_R-t_P)^2+(t_Q-t_P)^2+1}}.$$

Если $t_P = t_Q = t_R$ (горизонтальное сечение), угол равен $90°$ (плоскость параллельна основанию). Чем сильнее различаются высоты точек, тем меньше угол.

Для частного случая $t_P = 0$, $t_Q = 1$, $t_R = 0{,}5$ получаем $\sin\varphi = 1/\sqrt{0{,}25+1+1} = 1/\sqrt{2{,}25} = 2/3$, угол $\varphi \approx 41{,}8°$.

Площадь четырёхугольного и шестиугольного сечений

Если сечение - четырёхугольник $PQRS$, его площадь считают через диагонали формулой

$$S = \frac{1}{2}\,|\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{QS}|,$$

где $\overrightarrow{PR}$ и $\overrightarrow{QS}$ - диагонали четырёхугольника в пространстве. Формула верна для любого плоского четырёхугольника.

Для прямоугольного сечения (два ребра одной грани и два ребра противоположной) площадь проще: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ - стороны прямоугольника.

Наибольшая площадь среди всех возможных сечений куба - у правильного шестиугольника, проходящего через середины шести рёбер. Его площадь:

$$S_{\max} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}299\,a^2,$$

что больше, чем площадь любого диагонального сечения ($a^2\sqrt{2} \approx 1{,}414\,a^2$). Заметим, что диагональное прямоугольное сечение по площади ($a \cdot a\sqrt{2}$) всё-таки больше шестиугольного - это частый источник путаницы: правильный шестиугольник - наибольшее сечение только среди правильных многоугольников.

Частые ошибки

• Соединять точки, не лежащие на одной грани. Метод следов требует, чтобы каждый проведённый отрезок лежал строго в плоскости одной грани куба. Соединять «через воздух» нельзя - получится не след, а хорда.
• Путать сечение с диагональным разрезом. Диагональное сечение - частный случай, когда плоскость проходит через два ребра. В общей задаче ТРИ точки не обязательно лежат на диагонали.
• Не проверять, все ли грани пересечены. Студенты часто останавливаются на четырёхугольнике, не замечая, что плоскость ещё пересекает пятую грань.
• Применять формулу $S = \tfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$ к любому треугольному сечению. Эта формула верна только для правильного треугольника (точки - середины трёх попарно несмежных рёбер куба). При произвольных точках площадь другая.
• Забывать умножить на $a^2$. Если считать в координатах куба со стороной 1, а в задаче сторона $a$, итог нужно умножить на $a^2$.

FAQ

Может ли сечение куба быть правильным пятиугольником? Нет. Правильный пятиугольник имеет внутренний угол $108°$, но грани куба дают только $90°$ и кратные углы. Пятиугольное сечение куба всегда неправильное.

Как определить форму сечения, не строя его? Посчитайте, сколько граней куба пересекает секущая плоскость. Число пересечённых граней равно числу сторон многоугольника. Плоскость, параллельная одной паре граней, пересекает только четыре.

В чём разница метода следов и координатного метода? Метод следов - геометрический, даёт точный чертёж без координат. Координатный метод - аналитический: уравнение плоскости и поиск пересечений с рёбрами через систему уравнений. Первый нагляднее, второй удобнее для точных расчётов и проверки.

Коротко

Сечение куба плоскостью через три точки - треугольник, четырёхугольник, пятиугольник или шестиугольник в зависимости от положения точек. Строят сечение методом следов: последовательно проводят прямые пересечения секущей плоскости с каждой гранью. Площадь треугольного сечения вычисляется через векторное произведение $S = \tfrac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|$. Смежная задача - сечение призмы плоскостью через три точки - решается тем же методом следов.