Как найти пересекающиеся прямые: решение на эпюре

Дано: прямые $AB$ и $CD$ с координатами точек $A(10; 45; 20)$, $B(55; 15; 35)$, $C(20; 15; 50)$, $D(60; 35; 10)$. Найти: пересекаются ли эти прямые, и если да, то в какой точке.

Признак ровно один: точка встречи горизонтальных проекций и точка встречи фронтальных проекций обязаны лежать на одной вертикальной линии связи, то есть иметь одинаковую абсциссу $x$. Здесь одноимённые проекции встречаются при $x = 40$ и там, и там. Ответ: прямые пересекаются в точке $K(40; 25; 30)$. Калькулятор сверху строит эпюр по любым четырём точкам и сам проверяет линию связи, а ниже то же решение расписано по шагам.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем проекции точек. Горизонтальная проекция (вид сверху, плоскость $H$) хранит пару $(x; y)$, фронтальная (вид спереди, плоскость $V$) - пару $(x; z)$. Координата $x$ у обеих проекций одна и та же, поэтому они всегда стоят на общем перпендикуляре к оси $x$ - на линии связи.

Шаг 2. Находим точку встречи горизонтальных проекций. Запишем прямые $A'B'$ и $C'D'$ через координаты вида сверху:

$$\begin{aligned} A'B': \quad y &= 45 - \tfrac{2}{3}(x - 10), \\ C'D': \quad y &= 15 + \tfrac{1}{2}(x - 20). \end{aligned}$$

Приравниваем правые части и умножаем всё на $6$:

$$270 - 4(x - 10) = 90 + 3(x - 20) \;\Longrightarrow\; 310 - 4x = 30 + 3x \;\Longrightarrow\; x = 40.$$

Подставляем: $y = 15 + \tfrac{1}{2} \cdot 20 = 25$. Точка встречи горизонтальных проекций - $K'(40; 25)$.

Шаг 3. Находим точку встречи фронтальных проекций. Теперь то же самое на виде спереди:

$$\begin{aligned} A''B'': \quad z &= 20 + \tfrac{1}{3}(x - 10), \\ C''D'': \quad z &= 70 - x. \end{aligned}$$

Отсюда $60 + (x - 10) = 210 - 3x$, то есть $4x = 160$ и $x = 40$, а $z = 70 - 40 = 30$. Точка встречи фронтальных проекций - $K''(40; 30)$.

Шаг 4. Проверяем линию связи. У обеих точек встречи абсцисса одинаковая: $x_{K'} = x_{K''} = 40$. Значит, $K'$ и $K''$ лежат на одном перпендикуляре к оси $x$ и являются проекциями одной точки пространства. Прямые имеют общую точку.

Шаг 5. Собираем координаты точки пересечения. Горизонтальная проекция даёт $x$ и $y$, фронтальная - $x$ и $z$:

$$K(40; \; 25; \; 30).$$

Проверим принадлежность. На прямой $AB$ точке $K$ отвечает параметр $t = \frac{40 - 10}{45} = \frac{2}{3}$, и тогда $y = 45 - 30 \cdot \tfrac{2}{3} = 25$, $z = 20 + 15 \cdot \tfrac{2}{3} = 30$ - сходится. На прямой $CD$ параметр $s = \frac{40 - 20}{40} = \frac{1}{2}$, и $y = 15 + 20 \cdot \tfrac{1}{2} = 25$, $z = 50 - 40 \cdot \tfrac{1}{2} = 30$ - тоже сходится.

Ответ. Прямые $AB$ и $CD$ пересекающиеся, общая точка $K(40; 25; 30)$; на эпюре она делит отрезок $AB$ в отношении $2 : 1$, а отрезок $CD$ пополам.

Признак пересекающихся прямых и почему он работает

Эпюр - это две проекции одного пространства, развёрнутые в одну плоскость. Каждая точка пространства даёт на нём ровно две проекции, и они обязательно стоят на общем перпендикуляре к оси $x$: у обеих проекций абсцисса взята из одной и той же координаты точки. Этот перпендикуляр и называется линией связи.

Теперь посмотрим на пересечение с этой стороны. Если прямые имеют общую точку $K$, то её горизонтальная проекция принадлежит горизонтальным проекциям обеих прямых, а значит совпадает с их точкой встречи. То же верно для фронтальной проекции. Получаем: точки встречи одноимённых проекций - это $K'$ и $K''$, а они по определению лежат на одной линии связи.

Обратное тоже верно. Если точки встречи стоят на одной вертикали, они восстанавливают единственную точку пространства $K(x; y; z)$, которая по построению лежит и на первой прямой, и на второй. Поэтому проверка сводится к сравнению одного числа - абсциссы. Именно поэтому решение никогда не требует третьей проекции, если только прямые не профильные.

Отдельно стоит запомнить, что видимое пересечение проекций само по себе ничего не доказывает. Проекции двух любых непараллельных прямых почти всегда где-нибудь пересекутся на чертеже: это лишь означает, что два проецирующих луча попали в одну точку плоскости, а не что прямые встретились в пространстве.

Проверка координатами: смешанное произведение

Графическое построение полезно перепроверить расчётом, тем более что в контрольных обычно требуют оба способа. Прямые пересекаются или параллельны тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости, а компланарность трёх векторов проверяется смешанным произведением:

$$(\vec{AB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{AC} = 0.$$

Считаем векторы: $\vec{AB} = (45; -30; 15)$, $\vec{CD} = (40; 20; -40)$, $\vec{AC} = (10; -30; 30)$. Векторное произведение первых двух:

$$\vec{AB} \times \vec{CD} = (900; \; 2400; \; 2100).$$

Скалярно умножаем его на $\vec{AC}$:

$$900 \cdot 10 + 2400 \cdot (-30) + 2100 \cdot 30 = 9000 - 72000 + 63000 = 0.$$

Ноль получен, прямые компланарны. Параллельными они быть не могут: координаты $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не пропорциональны, векторное произведение отлично от нуля. Остаётся единственный вариант - пересечение, что и подтвердил эпюр. Тот же аппарат направляющих векторов работает в задачах на угол между двумя пересекающимися прямыми и на угол между прямой и плоскостью.

Скрещивающиеся прямые: что меняется на чертеже

Сдвинем одну точку: пусть теперь $D(60; 35; 30)$, а остальные данные прежние. Горизонтальные проекции не изменились и по-прежнему встречаются при $x = 40$, а вот фронтальные встречаются уже при $x = 52$. Линии связи разошлись на $\Delta x = 12$, и общей точки у прямых нет - они скрещиваются. Смешанное произведение это подтверждает: оно равно $21000$, а не нулю. Переключи в калькуляторе сверху чип «Скрещивающиеся», чтобы увидеть на эпюре две разные вертикали вместо одной.

Точки, которые на проекции слились в одну, называются конкурирующими: это две разные точки пространства, лежащие на общем проецирующем луче. При $x = 40$ на прямой $AB$ находится точка с $z = 30$, а на прямой $CD$ - точка с $z = 40$. Обе имеют одну и ту же горизонтальную проекцию, но в пространстве вторая расположена выше.

Отсюда определяется видимость. На виде сверху видна та из конкурирующих точек, у которой больше координата $z$, то есть здесь прямая $CD$ проходит над $AB$. На виде спереди сравнивают координату $y$: при $x = 52$ у точки прямой $AB$ будет $y = 17$, у точки прямой $CD$ - $y = 31$, поэтому и на фронтальной проекции ближе к наблюдателю оказывается $CD$. На чертеже невидимый участок обводят штриховой линией или обрывают.

Третий возможный случай - параллельность. Тогда одноимённые проекции параллельны попарно, а точек встречи нет вовсе; критерий разобран в статье про условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми считают уже отдельной задачей.

Особый случай: профильные прямые

Признак линии связи даёт сбой ровно в одной ситуации - когда обе прямые профильные, то есть параллельны профильной плоскости проекций $W$. У таких прямых горизонтальная и фронтальная проекции перпендикулярны оси $x$, поэтому по двум видам взаимное положение не читается: проекции могут совпадать, ничего при этом не доказывая.

Выхода два. Первый - достроить профильные проекции и применить тот же критерий на паре видов, где прямые проецируются полноценно; о поведении таких прямых на трёх видах подробно написано в разборе профильно-проецирующей прямой. Второй - сравнить отношения, в которых предполагаемая общая точка делит оба отрезка: если на горизонтальной и фронтальной проекциях отношения совпадают, точка общая. Числовая проверка смешанным произведением в этом случае надёжнее графической и не требует третьего вида.

Частые ошибки

• Считают прямые пересекающимися по одному виду. Если проекции пересеклись только на виде сверху, это ничего не значит: нужен второй вид и совпадение абсцисс. Одна проекция - это всегда недостаточная информация.
• Проверяют линию связи на глаз. Разница в пару миллиметров на чертеже - это разница в несколько единиц координаты, и вывод меняется на противоположный. Абсциссы нужно считать, а не прикидывать.
• Путают координаты в проекциях. На виде сверху вторая координата - это $y$, на виде спереди - $z$. Если собрать точку как $K(x; z; y)$, ответ будет неверным при правильном построении.
• Проводят линию связи не перпендикулярно оси. Линия связи всегда строго вертикальна к оси $x$; наклонная линия связывает проекции разных точек и превращает решение в бессмыслицу.
• Забывают про случай параллельности. Нулевое смешанное произведение означает компланарность, а не пересечение. Прежде чем писать ответ, надо убедиться, что направляющие векторы не пропорциональны.
• Не определяют видимость у скрещивающихся прямых. Если по условию требуется чертёж, задача без разбора конкурирующих точек и штриховки невидимых участков считается недоделанной.

FAQ

Как отличить пересекающиеся прямые от скрещивающихся по эпюру? По абсциссам точек встречи одноимённых проекций. Совпали - прямые пересекаются, и эти точки являются проекциями общей точки. Не совпали - прямые скрещиваются, а видимые пересечения образованы конкурирующими точками.

Можно ли обойтись без построения чертежа? Да, если известны координаты. Достаточно проверить смешанное произведение векторов $\vec{AB}$, $\vec{CD}$ и $\vec{AC}$ на равенство нулю и убедиться, что направляющие векторы не коллинеарны. Ответ получится тот же, но чертёж обычно требуется по условию задания.

Что делать, если проекции прямых совпали полностью? Это признак либо совпадающих прямых, либо профильных прямых, лежащих в одной проецирующей плоскости. Нужно достроить третью проекцию или проверить координаты расчётом: на двух видах такая конфигурация неразличима.

Как найти координаты точки пересечения по чертежу? Снять абсциссу $x$ и ординату $y$ с горизонтальной проекции, а аппликату $z$ - с фронтальной, взяв ту же линию связи. Затем подставить полученную точку в параметрические уравнения обеих прямых и убедиться, что она им принадлежит.

Коротко

1. Построй горизонтальные и фронтальные проекции обеих прямых по координатам концов отрезков.
2. Найди точку встречи горизонтальных проекций и точку встречи фронтальных проекций.
3. Сравни их абсциссы: одинаковые $x$ означают одну линию связи и общую точку в пространстве, разные - скрещивание.
4. Перепроверь вывод смешанным произведением $(\vec{AB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{AC}$: ноль подтверждает компланарность, а непропорциональность направляющих векторов исключает параллельность.
5. Для данных $A(10; 45; 20)$, $B(55; 15; 35)$, $C(20; 15; 50)$, $D(60; 35; 10)$ прямые пересекаются в точке $K(40; 25; 30)$.