Как найти проекцию точки на плоскость: решение по шагам

Дано: точка $M(7;\ 2;\ 6)$ и плоскость $\pi:\ 2x - y + 2z - 6 = 0$. Найти: проекцию точки на плоскость, то есть основание $H$ перпендикуляра, опущенного из $M$ на $\pi$, а заодно расстояние от точки до плоскости.

Задача решается в три действия: читаем из уравнения нормальный вектор, пускаем из точки прямую вдоль этой нормали и находим, при каком значении параметра прямая протыкает плоскость. Никакой системы решать не нужно, всё сводится к одному делению. Ответ: $H(3;\ 4;\ 2)$, расстояние $d = 6$. Калькулятор сверху считает то же самое для любых коэффициентов: на графике плоскость показана «с ребра», в таком сечении перпендикуляр виден в натуральную величину.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем нормаль. Коэффициенты при $x$, $y$ и $z$ в общем уравнении плоскости - это готовые координаты нормального вектора:

$\mathbf{n} = (2;\ -1;\ 2), \qquad |\mathbf{n}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9, \qquad |\mathbf{n}| = 3.$

Дополнительно вычислять нечего, нормаль просто читается из уравнения. Если плоскость дана не в общем виде, её сначала приводят к виду $Ax + By + Cz + D = 0$; как это делается по трём точкам, разобрано в задаче про уравнение плоскости.

Шаг 2. Записываем перпендикуляр. Прямая, проходящая через $M$ перпендикулярно плоскости, идёт вдоль нормали, поэтому направляющий вектор у неё тот же $\mathbf{n}$. Параметрические уравнения:

$$\begin{aligned} x &= 7 + 2t, \\ y &= 2 - t, \\ z &= 6 + 2t. \end{aligned}$$

При $t = 0$ мы стоим в самой точке $M$, при других значениях параметра скользим по перпендикуляру в одну или другую сторону от неё.

Шаг 3. Находим параметр точки встречи. Проекция лежит и на перпендикуляре, и в плоскости, значит её координаты обязаны обратить уравнение плоскости в тождество. Подставляем:

$2(7 + 2t) - (2 - t) + 2(6 + 2t) - 6 = 0.$

Раскрываем скобки и собираем подобные: $14 + 4t - 2 + t + 12 + 4t - 6 = 0$, то есть $18 + 9t = 0$. Отсюда

$t = -\dfrac{18}{9} = -2.$

Число $18$ здесь не случайное: это результат подстановки самой точки $M$ в левую часть уравнения плоскости, а $9$ - квадрат длины нормали. Дальше увидим, что так будет всегда.

Шаг 4. Считаем координаты проекции. Возвращаем $t = -2$ в параметрические уравнения перпендикуляра:

$x = 7 + 2 \cdot (-2) = 3, \qquad y = 2 - (-2) = 4, \qquad z = 6 + 2 \cdot (-2) = 2.$

Получаем основание перпендикуляра $H(3;\ 4;\ 2)$. Это и есть искомая ортогональная проекция.

Шаг 5. Находим расстояние. Длина отрезка $MH$ и есть расстояние от точки до плоскости:

$d = |MH| = \sqrt{(3 - 7)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6.$

Ответ: проекция точки $M(7;\ 2;\ 6)$ на плоскость $2x - y + 2z - 6 = 0$ - точка $H(3;\ 4;\ 2)$, расстояние от точки до плоскости $d = 6$.

Формула и откуда она берётся

Разбор выше можно свернуть в одну формулу и больше не раскрывать скобки вручную. Пусть плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, а точка имеет координаты $M(x_0;\ y_0;\ z_0)$. Обозначим подстановку точки в левую часть уравнения:

$F(M) = A x_0 + B y_0 + C z_0 + D.$

Перпендикуляр записывается как $\mathbf{r}(t) = M + t\,\mathbf{n}$. Подставляя его координаты в уравнение плоскости, получаем $F(M) + t\,(A^2 + B^2 + C^2) = 0$, то есть

$t = -\dfrac{F(M)}{A^2 + B^2 + C^2}, \qquad H = M + t\,\mathbf{n}.$

Смысл слагаемых простой. Величина $F(M)$ показывает, насколько точка «не выполняет» уравнение плоскости: для точки на плоскости она равна нулю, а знак говорит, с какой стороны от плоскости лежит точка. Знаменатель $A^2 + B^2 + C^2$ - это $|\mathbf{n}|^2$, он переводит «невязку» в число шагов вдоль нормали. В нашей задаче $F(M) = 14 - 2 + 12 - 6 = 18$ и $|\mathbf{n}|^2 = 9$, поэтому $t = -2$: чтобы попасть в плоскость, из точки надо отойти на две длины нормального вектора против его направления.

Тот же приём работает и для проекции на прямую, только там направляющий вектор не совпадает с нормалью и параметр ищется через скалярное произведение - сравните с разбором проекции точки на прямую в пространстве.

Расстояние до плоскости и симметричная точка

Расстояние можно не считать через длину отрезка. Смещение вдоль нормали равно $|t| \cdot |\mathbf{n}|$, а значит

$d = \dfrac{|F(M)|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \dfrac{|18|}{\sqrt{9}} = \dfrac{18}{3} = 6.$

Ответ совпал с расчётом по координатам, и это хорошая контрольная проверка: если два способа дали разные числа, ошибка либо в координатах $H$, либо в подстановке. Двумерный аналог этой формулы разобран в задаче про расстояние от точки до прямой - там знаменателем служит $\sqrt{A^2 + B^2}$.

Из того же параметра получается и точка $M_1$, симметричная $M$ относительно плоскости: пройти вдоль нормали надо вдвое дальше, до $t = -4$:

$M_1 = M + 2t\,\mathbf{n} = (7 - 8;\ 2 + 4;\ 6 - 8) = (-1;\ 6;\ -2).$

Проверка очевидная: середина отрезка $MM_1$ равна $\left(\frac{7 - 1}{2};\ \frac{2 + 6}{2};\ \frac{6 - 2}{2}\right) = (3;\ 4;\ 2)$, то есть совпадает с $H$. В калькуляторе сверху переключатель «Симметричная точка» показывает её крупно, а на графике она уходит на ту же глубину под плоскость, на какой $M$ стоит над ней.

Если плоскость задана иначе: три точки и координатные плоскости

Чаще всего в условии плоскости нет в готовом виде. Пусть она проходит через $A(1;\ 0;\ 2)$, $B(3;\ 2;\ 0)$ и $C(0;\ 1;\ 1)$, а спроецировать нужно точку $M(4;\ 5;\ 3)$. Считаем векторное произведение сторон:

$\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2;\ 2;\ -2) \times (-1;\ 1;\ -1) = (0;\ 4;\ 4).$

Нормаль можно сократить на общий множитель, взяв $\mathbf{n} = (0;\ 1;\ 1)$; уравнение плоскости получается $y + z - 2 = 0$. Дальше всё по алгоритму: $F(M) = 5 + 3 - 2 = 6$, $|\mathbf{n}|^2 = 2$, поэтому $t = -3$ и $H(4;\ 2;\ 0)$, а расстояние равно $6/\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$. Иррациональный ответ здесь нормален: целые числа получаются только при удачных коэффициентах.

Отдельный простой случай - координатные плоскости. Для $Oxy$ уравнение имеет вид $z = 0$, нормаль $(0;\ 0;\ 1)$, и проекция сводится к обнулению одной координаты: точка $M(7;\ 2;\ 6)$ переходит в $(7;\ 2;\ 0)$, расстояние равно $6$. Для плоскости $x = 3$ обнуляется разность по $x$: проекция равна $(3;\ 2;\ 6)$, расстояние $4$. Именно на таком отбрасывании координат строятся чертёжные виды, но там задача решается графически, а не формулой - это подход построения проекций точки на эпюре, и с аналитическим методом его смешивать не стоит.

Проверка ответа

Готовый ответ проверяется двумя короткими действиями, и оба стоит выполнять всегда.

Первое: подставить координаты $H$ в уравнение плоскости. У нас $2 \cdot 3 - 4 + 2 \cdot 2 - 6 = 6 - 4 + 4 - 6 = 0$, значит найденная точка действительно лежит в плоскости. Если получается не ноль, ошибка в параметре $t$ или в арифметике шага 4.

Второе: убедиться, что вектор $\overrightarrow{MH}$ параллелен нормали. Здесь $\overrightarrow{MH} = (3 - 7;\ 4 - 2;\ 2 - 6) = (-4;\ 2;\ -4)$, и это ровно $-2\,\mathbf{n}$, то есть коэффициент пропорциональности совпал с найденным $t$. Если бы координаты не делились на $\mathbf{n}$ с одним и тем же множителем, отрезок не был бы перпендикуляром. Кстати, угол между $\overrightarrow{MH}$ и плоскостью равен $90^\circ$ по построению, а вот угол произвольной прямой с плоскостью считается иначе - это разобрано в задаче про угол между прямой и плоскостью.

Частые ошибки

• Знак параметра. В формуле $t = -F(M)/|\mathbf{n}|^2$ минус теряется чаще всего. Признак ошибки: точка $H$ оказалась дальше от плоскости, чем $M$, а подстановка её координат даёт удвоенное значение вместо нуля.
• Деление на $|\mathbf{n}|$ вместо $|\mathbf{n}|^2$. В параметре стоит квадрат длины нормали, а в формуле расстояния - сама длина. Смешение этих двух знаменателей даёт координаты $H$, завышенные ровно в $|\mathbf{n}|$ раз.
• Свободный член забыт. $D$ обязан войти в $F(M)$ со своим знаком. Если в уравнении стоит $-6$, подставляется именно $-6$, а не $6$.
• Нормаль перепутана с направляющим вектором. Для плоскости нормаль берётся прямо из коэффициентов, а для прямой то же самое неверно: у прямой в пространстве коэффициенты канонического уравнения задают направление, а не перпендикуляр.
• Ненормированное уравнение. Если плоскость записана как $4y + 4z - 8 = 0$, сокращать на $4$ можно и полезно, но сокращать надо все члены сразу, включая свободный.
• Проекция принята за расстояние. В ответ идут и координаты точки $H$, и число $d$; за «проекцию точки» иногда по невнимательности выдают длину перпендикуляра.

FAQ

Чем проекция точки на плоскость отличается от проекции на прямую? Объектом, на который опускается перпендикуляр. На плоскость перпендикуляр идёт вдоль нормали, и параметр находится подстановкой в уравнение. На прямую перпендикуляр ищется через условие ортогональности направляющему вектору, то есть через скалярное произведение. Формулы разные, идея одна: параметр подбирается так, чтобы отрезок стал перпендикулярным.

Что означает знак $F(M)$? Он показывает полупространство. Если подстановка положительна, точка лежит с той стороны, куда направлена нормаль $\mathbf{n}$; если отрицательна - с противоположной; ноль означает, что точка принадлежит плоскости и совпадает со своей проекцией. Само расстояние берётся по модулю, поэтому знак на него не влияет.

Можно ли решать через систему уравнений? Да, можно составить систему из уравнения плоскости и двух уравнений перпендикуляра в каноническом виде. Ответ получится тот же, но выкладок будет втрое больше, и на экзамене такой путь чаще приводит к арифметическим ошибкам.

Как быть, если точка лежит в плоскости? Тогда $F(M) = 0$, параметр $t = 0$, проекция совпадает с самой точкой, а расстояние равно нулю. Это не вырожденный случай и не ошибка условия: формулы работают без оговорок.

Коротко

1. Выписать нормаль $\mathbf{n} = (A;\ B;\ C)$ прямо из общего уравнения плоскости и посчитать $|\mathbf{n}|^2 = A^2 + B^2 + C^2$.
2. Подставить точку в левую часть уравнения: $F(M) = A x_0 + B y_0 + C z_0 + D$.
3. Найти параметр $t = -F(M) / |\mathbf{n}|^2$ и координаты проекции $H = M + t\,\mathbf{n}$.
4. Посчитать расстояние $d = |F(M)| / |\mathbf{n}|$ и при необходимости симметричную точку $M_1 = M + 2t\,\mathbf{n}$.
5. Для точки $M(7;\ 2;\ 6)$ и плоскости $2x - y + 2z - 6 = 0$: $F(M) = 18$, $t = -2$, проекция $H(3;\ 4;\ 2)$, расстояние $d = 6$, симметричная точка $M_1(-1;\ 6;\ -2)$.